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1. $\tan30°$的值等于（）
A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.1
D.2
A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.1
D.2
答案
A
解析
【分析】
这道题考查特殊锐角的正切值，解题有两种思路：一是直接记忆30°的正切值快速选择答案；二是结合含30°角的直角三角形的边长特征，根据正切的定义推导计算。首先明确正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边长度除以邻边长度。再结合含30°角直角三角形的性质：30°角所对直角边是斜边的一半，设定边长后用勾股定理算出邻边长度，代入正切定义即可得到结果。
【解析】
方法1：直接记忆特殊角的三角函数值，$\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，对应选项A。
方法2：推导计算：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，设$∠ A$的对边$BC=1$。
根据含30°角直角三角形的性质，斜边$AB=2BC=2$。
由勾股定理得$∠ A$的邻边$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
根据正切的定义：$\tan A=\dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，即$\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值、正切的定义、含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题是基础题型，主要考查对特殊锐角三角函数值的掌握情况，熟练记忆30°、45°、60°等常见特殊角的三角函数值即可快速解答，属于三角函数板块的必掌握基础内容。
【难度系数】
0.9
这道题考查特殊锐角的正切值，解题有两种思路：一是直接记忆30°的正切值快速选择答案；二是结合含30°角的直角三角形的边长特征，根据正切的定义推导计算。首先明确正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边长度除以邻边长度。再结合含30°角直角三角形的性质：30°角所对直角边是斜边的一半，设定边长后用勾股定理算出邻边长度，代入正切定义即可得到结果。
【解析】
方法1：直接记忆特殊角的三角函数值，$\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，对应选项A。
方法2：推导计算：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，设$∠ A$的对边$BC=1$。
根据含30°角直角三角形的性质，斜边$AB=2BC=2$。
由勾股定理得$∠ A$的邻边$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
根据正切的定义：$\tan A=\dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，即$\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值、正切的定义、含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题是基础题型，主要考查对特殊锐角三角函数值的掌握情况，熟练记忆30°、45°、60°等常见特殊角的三角函数值即可快速解答，属于三角函数板块的必掌握基础内容。
【难度系数】
0.9
2. $2\sin60°+\sqrt{3}$等于（）
A.$2\sqrt{3}$
B.$2$
C.$3$
D.$3\sqrt{3}$
A.$2\sqrt{3}$
B.$2$
C.$3$
D.$3\sqrt{3}$
答案
A
解析
【分析】
本题需要先明确特殊锐角60°的正弦值，再代入原式进行二次根式的运算即可得出结果。解题时首先回忆特殊角的三角函数值，得到sin60°的具体数值，接着按照先乘除后加减的运算顺序计算，最后合并同类二次根式得到答案。
【解析】
根据特殊角的三角函数值可知：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，将其代入原式计算：
$\begin{aligned}2\sin60°+\sqrt{3}&=2×\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}+\sqrt{3}\\&=2\sqrt{3}\end{aligned}$
故选A。
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值；二次根式的运算
【点评】本题属于基础计算题，解题核心是准确记忆特殊角的三角函数值，再按照基本运算规则计算即可，是考试中常见的得分类题型。
【难度系数】0.9
本题需要先明确特殊锐角60°的正弦值，再代入原式进行二次根式的运算即可得出结果。解题时首先回忆特殊角的三角函数值，得到sin60°的具体数值，接着按照先乘除后加减的运算顺序计算，最后合并同类二次根式得到答案。
【解析】
根据特殊角的三角函数值可知：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，将其代入原式计算：
$\begin{aligned}2\sin60°+\sqrt{3}&=2×\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}+\sqrt{3}\\&=2\sqrt{3}\end{aligned}$
故选A。
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值；二次根式的运算
【点评】本题属于基础计算题，解题核心是准确记忆特殊角的三角函数值，再按照基本运算规则计算即可，是考试中常见的得分类题型。
【难度系数】0.9
3. 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,cosA=$\frac{4}{5}$,则BC的长为 ()
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
A
解析
【分析】
本题是直角三角形中求边长的问题，解题思路分两步：第一步，根据锐角余弦的定义，cosA等于∠A的邻边与斜边的比值，结合已知的AC长度和cosA的值，先求出斜边AB的长度；第二步，利用直角三角形的勾股定理，已知两条边的长度即可求出第三条边BC的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，根据锐角余弦的定义可得：
$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$
已知$AC=4$，$\cos A=\frac{4}{5}$，代入得：
$\frac{4}{AB}=\frac{4}{5}$，解得$AB=5$
再根据勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，变形得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对锐角三角函数定义的理解和勾股定理的应用，只要熟练掌握余弦的定义，就能快速理清解题步骤完成求解。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中求边长的问题，解题思路分两步：第一步，根据锐角余弦的定义，cosA等于∠A的邻边与斜边的比值，结合已知的AC长度和cosA的值，先求出斜边AB的长度；第二步，利用直角三角形的勾股定理，已知两条边的长度即可求出第三条边BC的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，根据锐角余弦的定义可得：
$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$
已知$AC=4$，$\cos A=\frac{4}{5}$，代入得：
$\frac{4}{AB}=\frac{4}{5}$，解得$AB=5$
再根据勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，变形得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对锐角三角函数定义的理解和勾股定理的应用，只要熟练掌握余弦的定义，就能快速理清解题步骤完成求解。
【难度系数】
0.8
4. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$,设$∠ A,∠ B,∠ C$所对的边分别为$a,b,c$,则（）
A.$c=b\sin B$
B.$b=c\sin B$
C.$a=b\tan B$
D.$b=c\tan B$
A.$c=b\sin B$
B.$b=c\sin B$
C.$a=b\tan B$
D.$b=c\tan B$
答案
B
解析
【分析】
这道题是直角三角形中锐角三角函数的应用类题目，解题核心是熟练掌握锐角正弦、正切的定义。我们可以先结合直角三角形的边长对应关系，确定∠B的对边、邻边、斜边，再写出∠B的正弦、正切的边比值表达式，变形后和各个选项逐一对比，就能判断选项对错。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B$的对边是$b$，邻边是$a$，斜边是$c$。
1. 根据锐角正弦的定义：$\sin B=\frac{∠ B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{b}{c}$，变形可得$b=c\sin B$，因此A选项错误，B选项正确。
2. 根据锐角正切的定义：$\tan B=\frac{∠ B\mathrm{的对边}}{∠ B\mathrm{的邻边}}=\frac{b}{a}$，变形可得$b=a\tan B$、$a=\frac{b}{\tan B}$，因此C、D选项错误。
【答案】
B
【知识点】
锐角正弦的定义；锐角正切的定义
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的基本应用，解题关键是准确区分锐角对应的对边、邻边和斜边，牢记三角函数的边比值关系，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
这道题是直角三角形中锐角三角函数的应用类题目，解题核心是熟练掌握锐角正弦、正切的定义。我们可以先结合直角三角形的边长对应关系，确定∠B的对边、邻边、斜边，再写出∠B的正弦、正切的边比值表达式，变形后和各个选项逐一对比，就能判断选项对错。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B$的对边是$b$，邻边是$a$，斜边是$c$。
1. 根据锐角正弦的定义：$\sin B=\frac{∠ B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{b}{c}$，变形可得$b=c\sin B$，因此A选项错误，B选项正确。
2. 根据锐角正切的定义：$\tan B=\frac{∠ B\mathrm{的对边}}{∠ B\mathrm{的邻边}}=\frac{b}{a}$，变形可得$b=a\tan B$、$a=\frac{b}{\tan B}$，因此C、D选项错误。
【答案】
B
【知识点】
锐角正弦的定义；锐角正切的定义
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的基本应用，解题关键是准确区分锐角对应的对边、邻边和斜边，牢记三角函数的边比值关系，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
5. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a,b,c$分别为$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边. 若$b^2 = ac$，则$\sin A$的值为.
答案
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$
解析
【分析】
本题是直角三角形与锐角三角函数结合的题型，解题思路如下：首先明确直角三角形中勾股定理的关系，再结合锐角正弦的定义，将已知条件$b^2=ac$代入勾股定理公式，消去$b$后转化为关于$\sin A$的一元二次方程，最后结合锐角三角函数的取值范围求解即可。
【解析】
∵ 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ 根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$
又已知$b^2 = ac$，将其代入上式得：
$a^2 + ac = c^2$
∵ 斜边$c ≠ 0$，等式两边同时除以$c^2$得：
$(\frac{a}{c})^2 + \frac{a}{c} - 1 = 0$
根据锐角正弦的定义，$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{a}{c}$，设$x = \sin A$（$x＞0$，因为∠A是锐角），则方程变为：
$x^2 + x - 1 = 0$
用求根公式解得：$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 + 4×1×1}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
∵ $x＞0$，故舍去负根$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$
∴ $\sin A = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
勾股定理，锐角正弦的定义，一元二次方程的求解
【点评】
本题属于综合性基础题，将直角三角形的性质、锐角三角函数和一元二次方程的知识点结合考查，解题的核心是通过等量代换建立关于$\sin A$的方程，同时要注意锐角三角函数值为正，需舍去不符合题意的负根。
【难度系数】
0.6
本题是直角三角形与锐角三角函数结合的题型，解题思路如下：首先明确直角三角形中勾股定理的关系，再结合锐角正弦的定义，将已知条件$b^2=ac$代入勾股定理公式，消去$b$后转化为关于$\sin A$的一元二次方程，最后结合锐角三角函数的取值范围求解即可。
【解析】
∵ 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ 根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$
又已知$b^2 = ac$，将其代入上式得：
$a^2 + ac = c^2$
∵ 斜边$c ≠ 0$，等式两边同时除以$c^2$得：
$(\frac{a}{c})^2 + \frac{a}{c} - 1 = 0$
根据锐角正弦的定义，$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{a}{c}$，设$x = \sin A$（$x＞0$，因为∠A是锐角），则方程变为：
$x^2 + x - 1 = 0$
用求根公式解得：$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 + 4×1×1}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
∵ $x＞0$，故舍去负根$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$
∴ $\sin A = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
勾股定理，锐角正弦的定义，一元二次方程的求解
【点评】
本题属于综合性基础题，将直角三角形的性质、锐角三角函数和一元二次方程的知识点结合考查，解题的核心是通过等量代换建立关于$\sin A$的方程，同时要注意锐角三角函数值为正，需舍去不符合题意的负根。
【难度系数】
0.6
6. 如图2，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$\sin A = \frac{4}{5}$，$BC = 8$，则$AB=$。
答案
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
由锐角正弦的定义可知：
$\sin A = \frac{BC}{AB}$
将$\sin A = \frac{4}{5}$，$BC = 8$代入得：
$\frac{4}{5}=\frac{8}{AB}$
解得$AB=10$。
由锐角正弦的定义可知：
$\sin A = \frac{BC}{AB}$
将$\sin A = \frac{4}{5}$，$BC = 8$代入得：
$\frac{4}{5}=\frac{8}{AB}$
解得$AB=10$。
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知sinA的值和∠A的对边BC的长度，要求斜边AB的长度。解题时先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。接下来对应边的关系：∠A的对边是BC，斜边是AB，因此可得到sinA=BC/AB的等量关系，将已知数值代入该式解方程即可求出AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
根据锐角正弦的定义可得：$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，
将$\sin A = \frac{4}{5}$，$BC = 8$代入上式得：$\frac{4}{5}=\frac{8}{AB}$，
交叉相乘计算：$4AB=8×5=40$，解得$AB=10$。
【答案】
$10$
【知识点】
1. 锐角正弦的定义
2. 解直角三角形
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，主要考查对正弦定义的理解与应用，解题的关键是准确对应直角三角形中角和边的关系，代入数值计算即可，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
首先梳理题目已知条件：△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知sinA的值和∠A的对边BC的长度，要求斜边AB的长度。解题时先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。接下来对应边的关系：∠A的对边是BC，斜边是AB，因此可得到sinA=BC/AB的等量关系，将已知数值代入该式解方程即可求出AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
根据锐角正弦的定义可得：$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，
将$\sin A = \frac{4}{5}$，$BC = 8$代入上式得：$\frac{4}{5}=\frac{8}{AB}$，
交叉相乘计算：$4AB=8×5=40$，解得$AB=10$。
【答案】
$10$
【知识点】
1. 锐角正弦的定义
2. 解直角三角形
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，主要考查对正弦定义的理解与应用，解题的关键是准确对应直角三角形中角和边的关系，代入数值计算即可，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
7. 如图3,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C = 90°, AB = 10, BC = 6$, 求 $\sin A, \cos A, \tan A$ 的值.
答案
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
解析
【分析】
要求Rt△ABC中∠A的三个三角函数值，首先要明确锐角三角函数的本质是角对应的对边、邻边与斜边的比值。题中已知斜边AB和∠A的对边BC的长度，但∠A的邻边AC长度未知，因此第一步需要用勾股定理求出AC的长度，再分别代入正弦、余弦、正切的定义式计算，就能得到对应的三角函数值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
【答案】
$\sin A=\frac{3}{5}$，$\cos A=\frac{4}{5}$，$\tan A=\frac{3}{4}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，解题核心是准确记忆勾股定理的计算方法，以及各锐角三角函数对应的边的比值关系，计算时注意区分角的对边和邻边即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要求Rt△ABC中∠A的三个三角函数值，首先要明确锐角三角函数的本质是角对应的对边、邻边与斜边的比值。题中已知斜边AB和∠A的对边BC的长度，但∠A的邻边AC长度未知，因此第一步需要用勾股定理求出AC的长度，再分别代入正弦、余弦、正切的定义式计算，就能得到对应的三角函数值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
【答案】
$\sin A=\frac{3}{5}$，$\cos A=\frac{4}{5}$，$\tan A=\frac{3}{4}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，解题核心是准确记忆勾股定理的计算方法，以及各锐角三角函数对应的边的比值关系，计算时注意区分角的对边和邻边即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
