3. 已知$ a ＞ 0 $，$ x_{1} $，$ x_{2} $是方程$ ax^{2} + bx + c = 0 $的两个实数根且$ x_{1} ＜ x_{2} $，则$ \frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}} $的值是()

A.$ \pm \frac{b}{c^{2}}\sqrt{b^{2} - 4ac} $
B.$ \frac{1}{c}\sqrt{b^{2} - 4ac} $
C.$ -\frac{b}{c^{2}}\sqrt{b^{2} - 4ac} $
D.$ \pm \frac{b}{c^{2}}\sqrt{b^{2} - 2ac} $

B

由韦达定理得$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。$\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 - x_1}{x_1x_2}$，其中$x_2 - x_1 = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{(-\frac{b}{a})^2 - 4×\frac{c}{a}} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}$（$a＞0$）。代入得$\frac{\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}}{\frac{c}{a}} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{c}$。

4. 已知点$ A(2m, m + 1) $，$ B(m + 3, m + 2) $都在反比例函数$ y = \frac{k}{x} $的图象上，则$ m = $.

$\frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$

因为点$A(2m, m + 1)$，$B(m + 3, m + 2)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以$k = 2m(m + 1) = (m + 3)(m + 2)$。展开得$2m^2 + 2m = m^2 + 5m + 6$，移项化简得$m^2 - 3m - 6 = 0$，解得$m = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$。

5. 如果一元二次方程$ (3m + 6)x^{2} + 4x + m^{2} - 4 = 0 $的常数项为0，则$ m = $.

2

由题意，常数项为 $m^2 - 4 = 0$，解得 $m = \pm 2$。
又因为二次项系数 $3m + 6 \neq 0$，即 $m \neq -2$，所以 $m = 2$。

6. 当$ x $，$ y $取何值时，多项式$ x^{2} + 4x + 4y^{2} - 4y + 1 $取得最小值？求出最小值.

解：
1. 配方变形
$ x^{2} + 4x + 4y^{2} - 4y + 1 $
$ = (x^{2} + 4x + 4) + (4y^{2} - 4y + 1) - 4 $
$ = (x + 2)^{2} + (2y - 1)^{2} - 4 $.
2. 求最小值
因为 $ (x + 2)^{2} \geq 0 $，$ (2y - 1)^{2} \geq 0 $，
所以当 $ (x + 2)^{2} = 0 $ 且 $ (2y - 1)^{2} = 0 $ 时，多项式取得最小值.
3. 求解$x$，$y$的值
$ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 $，
$ 2y - 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2} $.
4. 计算最小值
最小值为 $ 0 + 0 - 4 = -4 $.
结论：
当 $ x = -2 $，$ y = \frac{1}{2} $ 时，多项式取得最小值，最小值为 $-4$.

7. 如图，点$ A(a, 2) $在反比例函数$ y = \frac{3}{x} $（$ x ＞ 0 $）的图象上，$ AB $垂直于$ x $轴，垂足为点$ B $.将$ \mathrm{Rt} \triangle ABO $沿$ x $轴向右平移2个单位长度，得到$ \mathrm{Rt} \triangle DEF $，点$ D $落在反比例函数$ y = \frac{k}{x} $（$ x ＞ 0 $）的图象上.
(1)求点$ A $的坐标.
(2)求$ k $的值.

(1) 已知点 $ A(a, 2) $ 在反比例函数 $ y = \frac{3}{x} $ 的图象上，
代入得：$2 = \frac{3}{a}$，
解得：$a = \frac{3}{2}$，
因此，点 $ A $ 的坐标为 $ ( \frac{3}{2}, 2 ) $。
(2) 由于 $ \mathrm{Rt} \triangle ABO $ 向右平移 2 个单位长度得到 $ \mathrm{Rt} \triangle DEF $，
点 $ A $ 的对应点 $ D $ 的横坐标为 $ \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2} $，
点 $ D $ 的纵坐标与点 $ A $ 的纵坐标相同，即 $ 2 $，
因此，点 $ D $ 的坐标为 $ ( \frac{7}{2}, 2 ) $。
点 $ D $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上，
代入得：$2 = \frac{k}{\frac{7}{2}}$，
解得：$k = 7$。