12. 若点$A(a + 2,a^{2}-4)$在坐标轴上，则点$A$的坐标为()

A.$(0,0)$
B.$(4,0)$
C.$(0,0)$或$(4,0)$
D.$(0,0)$或$(-4,0)$

12.C　分两种情况:当点$A(a+2,a^{2}-4)$在x轴上时，$a^{2}-4=0$，可得$a=\pm2$，
∴$a+2=4$或$a+2=0$，
∴点A的坐标为$(4,0)$或$(0,0)$；当点$A(a+2,a^{2}-4)$在y轴上时，$a+2=0$，解得$a=-2$，
∴$a^{2}-4=0$，
∴点A的坐标为$(0,0)$。综上所述，点A的坐标为$(0,0)$或$(4,0)$，故选C。

13. 如果$a$是任意实数，则点$P(a - 4,a - 2)$一定不在第象限()

A.一
B.二
C.三
D.四

13.D　【解法一】推理法：因为$a-4-(a-2)=-2＜0$，
∴点P的横坐标一定小于点P的纵坐标，
∴点$P(a-4,a-2)$一定不在第四象限。故选D。
　【解法二】分类讨论法：当$a＞4$时，$a-4＞0$，$a-2＞0$，这时点P在第一象限；当$2＜a＜4$时，$a-4＜0$，$a-2＞0$，这时点P在第二象限；当$a＜2$时，$a-4＜0$，$a-2＜0$，这时点P在第三象限；当$a=4$或$a=2$时，点P在坐标轴上。所以点$P(a-4,a-2)$一定不在第四象限。

14. 已知点$P$的坐标为$(a,b)$，其中$a$，$b$均为实数，若$a$，$b$满足$3a = 2b + 5$，则称点$P$为“和谐点”。若点$M(m + 1,3m - 7)$是“和谐点”，则点$M$所在的象限是()

A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限

14.D
∵点$M(m+1,3m-7)$是“和谐点”，
∴$3(m+1)=2(3m-7)+5$，解得$m=4$，
∴$m+1=4+1=5$，$3m-7=3×4-7=12-7=5$，
∴$M(5,5)$，
∴点M在第一象限。故选D。

15. 在平面直角坐标系中，已知点$A$的坐标为$(a,b)$，且$a$，$b$满足$(a - 2)^{2}+b + 3 = 0$，则点$A$在第象限。

15.答案　四
　解析
∵$(a-2)^{2}+|b+3|=0$，
∴$a-2=0$，$b+3=0$，
∴$a=2$，$b=-3$，
∴点A的坐标为$(2,-3)$，
∴点A在第四象限。

16. 如图，已知$A_{1}(1,-\sqrt{3})$，$A_{2}(3,-\sqrt{3})$，$A_{3}(4,0)$，$A_{4}(6,0)$，$A_{5}(7,\sqrt{3})$，$A_{6}(9,\sqrt{3})$，$A_{7}(10,0)$，$A_{8}(11,-\sqrt{3})$，$···$，依此规律，点$A_{2024}$的坐标为。

16.答案　$(2891,-\sqrt{3})$
　解析　由题可知，点$A_{1}$的坐标为$(1,-\sqrt{3})$，点$A_{2}$的坐标为$(3,-\sqrt{3})$，点$A_{3}$的坐标为$(4,0)$，点$A_{4}$的坐标为$(6,0)$，点$A_{5}$的坐标为$(7,\sqrt{3})$，点$A_{6}$的坐标为$(9,\sqrt{3})$，点$A_{7}$的坐标为$(10,0)$，点$A_{8}$的坐标为$(11,-\sqrt{3})$，点$A_{9}$的坐标为$(13,-\sqrt{3})$，点$A_{10}$的坐标为$(14,0)$，点$A_{11}$的坐标为$(16,0)$，点$A_{12}$的坐标为$(17,\sqrt{3})$，点$A_{13}$的坐标为$(19,\sqrt{3})$，点$A_{14}$的坐标为$(20,0)$，……，由此可见，每七个点为一个循环，每增加一个循环，循环中对应位置的点的横坐标增加10，且纵坐标按$-\sqrt{3}$，$-\sqrt{3}$，0，0，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，0循环出现。因为$2024÷7=289······1$，所以$A_{2024}$的横坐标为$1+289×10=2891$，纵坐标为$-\sqrt{3}$，即点$A_{2024}$的坐标为$(2891,-\sqrt{3})$。

17. 已知点$P(2m - 6,m + 2)$是平面直角坐标系中的点。
（1）若点$P$在$y$轴上，求点$P$的坐标。
（2）若点$P$的纵坐标比横坐标大$6$，求点$P$在第几象限。
（3）若点$P$在第二、四象限的角平分线上，求$m$的值。

17.解析　(1)因为点P在y轴上，所以$2m-6=0$，
　解得$m=3$，所以$m+2=5$，所以点P的坐标为$(0,5)$。
　(2)因为点P的纵坐标比横坐标大6，
　所以$m+2-(2m-6)=6$，解得$m=2$，
　所以$2m-6=-2$，$m+2=4$，
　所以点P的坐标为$(-2,4)$，
　所以点P在第二象限。
　(3)因为点P在第二、四象限的角平分线上，
　所以$2m-6+m+2=0$，解得$m=\frac{4}{3}$。

18. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点$P$到$x$轴、$y$轴的距离的较大值称为点$P$的“长距”，点$Q$到$x$轴、$y$轴的距离相等时，称点$Q$为“角平分线点”。
(1)点$A(-3,5)$的“长距”为。
(2)若点$B(4 - 2a,-2)$是“角平分线点”，求$a$的值。
(3)若点$C(-2,3b - 2)$的“长距”为$4$，且点$C$在第二象限内，点$D$的坐标为$(9 - 2b,-5)$，请判断点$D$是不是“角平分线点”，并说明理由。

18.解析　(1)
∵点$A(-3,5)$到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，$3＜5$，
∴点A的“长距”为5。故答案为5。
　(2)
∵点$B(4-2a,-2)$是“角平分线点”，
∴$|4-2a|=|-2|$，
∴$4-2a=2$或$4-2a=-2$，
　解得$a=1$或$a=3$。
　(3)点D是“角平分线点”。理由：
∵点$C(-2,3b-2)$的“长距”为4，且点C在第二象限内，
∴$3b-2=4$，解得$b=2$，
∴$9-2b=5$，
∴点D的坐标为$(5,-5)$，
∴点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴点D是“角平分线点”。