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1[2025安徽安庆期中,中]在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=kx+b$和二次函数$y=k(x+b)^2$的图象大致为 (
D
)答案
1. D 【解析】选项A和选项B中的一次函数的图象经过第一、二、三象限,可得$k＞0,b＞0$,则二次函数$y=k(x+b)^2$的图象应开口向上,与x轴的交点在x轴的负半轴上,故选项A和选项B错误. 选项C和选项D中的一次函数的图象经过第一、二、四象限,可得$k＜0,b＞0$,则二次函数$y=k(x+b)^2$的图象应开口向下,与x轴的交点在x轴的负半轴上,故选项C错误,选项D正确. 故选D.
解析
【分析】
本题需结合一次函数与二次函数的图象性质，通过“同参数符号一致”的原则判断：首先根据一次函数图象经过的象限，确定参数k、b的正负性；再依据k的正负判断二次函数的开口方向，依据b的正负判断二次函数顶点（在x轴上）的位置，逐一验证选项是否符合即可。
【解析】
① 先分析选项A、B：
一次函数图象经过第一、二、三象限，可得$k＞0$，$b＞0$；
此时二次函数$y=k(x+b)^2$的$k＞0$，图象应开口向上，顶点坐标为$(-b,0)$，即与x轴交点在x轴负半轴上。
选项A中二次函数顶点在x轴正半轴，选项B中二次函数开口向下，均不符合，故A、B错误。
② 再分析选项C、D：
一次函数图象经过第一、二、四象限，可得$k＜0$，$b＞0$；
此时二次函数$y=k(x+b)^2$的$k＜0$，图象应开口向下，顶点坐标为$(-b,0)$，即与x轴交点在x轴负半轴上。
选项C中二次函数开口向上，不符合；选项D中二次函数开口向下、顶点在x轴负半轴，符合要求，故C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数顶点式图象性质，函数图象综合判断
【点评】
本题是函数图象判断的常见题型，核心是抓住两个函数中共有的参数k、b的符号一致性，结合两类函数的性质逐一排除错误选项，能有效考查对函数图象与系数关系的掌握程度。
【难度系数】
0.7
本题需结合一次函数与二次函数的图象性质，通过“同参数符号一致”的原则判断：首先根据一次函数图象经过的象限，确定参数k、b的正负性；再依据k的正负判断二次函数的开口方向，依据b的正负判断二次函数顶点（在x轴上）的位置，逐一验证选项是否符合即可。
【解析】
① 先分析选项A、B：
一次函数图象经过第一、二、三象限，可得$k＞0$，$b＞0$；
此时二次函数$y=k(x+b)^2$的$k＞0$，图象应开口向上，顶点坐标为$(-b,0)$，即与x轴交点在x轴负半轴上。
选项A中二次函数顶点在x轴正半轴，选项B中二次函数开口向下，均不符合，故A、B错误。
② 再分析选项C、D：
一次函数图象经过第一、二、四象限，可得$k＜0$，$b＞0$；
此时二次函数$y=k(x+b)^2$的$k＜0$，图象应开口向下，顶点坐标为$(-b,0)$，即与x轴交点在x轴负半轴上。
选项C中二次函数开口向上，不符合；选项D中二次函数开口向下、顶点在x轴负半轴，符合要求，故C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数顶点式图象性质，函数图象综合判断
【点评】
本题是函数图象判断的常见题型，核心是抓住两个函数中共有的参数k、b的符号一致性，结合两类函数的性质逐一排除错误选项，能有效考查对函数图象与系数关系的掌握程度。
【难度系数】
0.7
2[较难]已知$A(x_1,2020),B(x_2,2020)$是二次函数$y=a(x+h)^2(a≠0)$图象上不同的两点，则当$x=\frac{1}{2}(x_1+x_2)$时，二次函数的值为（
A.$\frac{2h^2}{a}$
B.0
C.2020
D.无法确定
B
）A.$\frac{2h^2}{a}$
B.0
C.2020
D.无法确定
答案
2. B 【解析】方法一:
∵ $A(x_1,2020),B(x_2,2020)$是二次函数$y=a(x+h)^2(a≠0)$图象上的两点,
∴ $a(x_1+h)^2=2020$,$a(x_2+h)^2=2020$,两式相减可得$a(x_1+x_2+2h)·(x_1-x_2)=0$.
∵ A,B两点不同,
∴ $x_1-x_2≠0$,
∴ $x_1+x_2+2h=0$,
∴ 当$x=\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)$时,$y=a[\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)+h]^2=a(-h+h)^2=0$.
方法二:
∵ A,B两点的纵坐标相等,
∴ 由二次函数图象的对称性得该二次函数图象的对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)$. 又由已知得该函数图象的对称轴为直线$x=-h$,
∴ $\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)=-h$,
∴ 当$x=\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)$时,$y=0$.
∵ $A(x_1,2020),B(x_2,2020)$是二次函数$y=a(x+h)^2(a≠0)$图象上的两点,
∴ $a(x_1+h)^2=2020$,$a(x_2+h)^2=2020$,两式相减可得$a(x_1+x_2+2h)·(x_1-x_2)=0$.
∵ A,B两点不同,
∴ $x_1-x_2≠0$,
∴ $x_1+x_2+2h=0$,
∴ 当$x=\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)$时,$y=a[\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)+h]^2=a(-h+h)^2=0$.
方法二:
∵ A,B两点的纵坐标相等,
∴ 由二次函数图象的对称性得该二次函数图象的对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)$. 又由已知得该函数图象的对称轴为直线$x=-h$,
∴ $\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)=-h$,
∴ 当$x=\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)$时,$y=0$.
解析
【分析】
解题可从两个角度切入：一是代数角度，因为A、B两点都在二次函数图象上，将两点坐标代入解析式得到两个等式，通过作差、因式分解推导$x_1+x_2$与$h$的关系，再代入$x=\frac{1}{2}(x_1+x_2)$计算函数值；二是几何角度，纵坐标相同的两点关于二次函数的对称轴对称，可直接得出$x=\frac{1}{2}(x_1+x_2)$就是函数的对称轴，代入对称轴的$x$值即可快速求出函数值。
【解析】
方法一：
∵$A(x_1,2020),B(x_2,2020)$是二次函数$y=a(x+h)^2(a≠0)$图象上的两点，
∴将两点坐标代入解析式得：$a(x_1+h)^2=2020$，$a(x_2+h)^2=2020$，
两式作差得：$a[(x_1+h)^2-(x_2+h)^2]=0$，
用平方差公式因式分解得：$a(x_1+x_2+2h)(x_1-x_2)=0$，
∵A、B是不同的两点，
∴$x_1-x_2≠0$，又$a≠0$，
∴$x_1+x_2+2h=0$，即$\frac{1}{2}(x_1+x_2)=-h$，
将$x=-h$代入解析式得：$y=a(-h+h)^2=0$。
方法二：
∵A、B两点纵坐标相等，
∴两点关于二次函数的对称轴对称，
∴该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}(x_1+x_2)$，
又二次函数$y=a(x+h)^2(a≠0)$的对称轴为直线$x=-h$，
∴$\frac{1}{2}(x_1+x_2)=-h$，
将$x=-h$代入解析式得：$y=a(-h+h)^2=0$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征；因式分解的应用
【点评】
本题考查二次函数的核心性质，既可以通过代数运算推导结果，也可以利用对称性快速求解，熟练掌握二次函数对称轴的特点能大幅提升此类题的解题效率。
【难度系数】
0.6
解题可从两个角度切入：一是代数角度，因为A、B两点都在二次函数图象上，将两点坐标代入解析式得到两个等式，通过作差、因式分解推导$x_1+x_2$与$h$的关系，再代入$x=\frac{1}{2}(x_1+x_2)$计算函数值；二是几何角度，纵坐标相同的两点关于二次函数的对称轴对称，可直接得出$x=\frac{1}{2}(x_1+x_2)$就是函数的对称轴，代入对称轴的$x$值即可快速求出函数值。
【解析】
方法一：
∵$A(x_1,2020),B(x_2,2020)$是二次函数$y=a(x+h)^2(a≠0)$图象上的两点，
∴将两点坐标代入解析式得：$a(x_1+h)^2=2020$，$a(x_2+h)^2=2020$，
两式作差得：$a[(x_1+h)^2-(x_2+h)^2]=0$，
用平方差公式因式分解得：$a(x_1+x_2+2h)(x_1-x_2)=0$，
∵A、B是不同的两点，
∴$x_1-x_2≠0$，又$a≠0$，
∴$x_1+x_2+2h=0$，即$\frac{1}{2}(x_1+x_2)=-h$，
将$x=-h$代入解析式得：$y=a(-h+h)^2=0$。
方法二：
∵A、B两点纵坐标相等，
∴两点关于二次函数的对称轴对称，
∴该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}(x_1+x_2)$，
又二次函数$y=a(x+h)^2(a≠0)$的对称轴为直线$x=-h$，
∴$\frac{1}{2}(x_1+x_2)=-h$，
将$x=-h$代入解析式得：$y=a(-h+h)^2=0$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征；因式分解的应用
【点评】
本题考查二次函数的核心性质，既可以通过代数运算推导结果，也可以利用对称性快速求解，熟练掌握二次函数对称轴的特点能大幅提升此类题的解题效率。
【难度系数】
0.6
3[较难]设函数$y_1=-(x-m)^2$，$y_2=-(x-n)^2$，直线$x=1$分别与函数$y_1,y_2$的图象交于$A(1,a_1)$，$B(1,a_2)$，下列结论正确的是（
A.若$1＜m＜n$，则$a_1＜a_2$
B.若$m＜1＜n$，则$a_1＜a_2$
C.若$m＜n＜1$，则$a_1＜a_2$
D.若$m＜n＜1$，则$a_2＜a_1$
C
）A.若$1＜m＜n$，则$a_1＜a_2$
B.若$m＜1＜n$，则$a_1＜a_2$
C.若$m＜n＜1$，则$a_1＜a_2$
D.若$m＜n＜1$，则$a_2＜a_1$
答案
3. C 【解析】如图(1)所示,若$1＜m＜n$,则$a_1＞a_2$,故A选项错误;如图(2)所示,满足$m＜1＜n$,但$a_1＞a_2$,故B选项错误;如图(3)所示,若$m＜n＜1$,则$a_1＜a_2$,故C选项正确,D选项错误. 故选C.
解析
【分析】
两个函数均为开口向下的二次函数，顶点坐标分别为$(m,0)$、$(n,0)$，顶点是对应函数的最高点。判断$a_1$、$a_2$的大小有两种思路：一是将$x=1$代入两个函数，得到$a_1=-(1-m)^2$、$a_2=-(1-n)^2$，通过比较$(1-m)^2$和$(1-n)^2$的大小，结合负号即可判断$a_1,a_2$的大小；二是结合图象性质：开口向下的抛物线上的点，横坐标离顶点横坐标越近，函数值越大，判断$x=1$到$m$、$n$的距离即可，接下来逐一对选项分析判断即可。
【解析】
将$x=1$分别代入$y_1$、$y_2$，可得：
$a_1=-(1-m)^2$，$a_2=-(1-n)^2$。
选项A：若$1＜m＜n$，则$|1-m|=m-1$，$|1-n|=n-1$，由$m＜n$得$m-1＜n-1$，故$(1-m)^2＜(1-n)^2$，因此$-(1-m)^2＞-(1-n)^2$，即$a_1＞a_2$，A错误；
选项B：若$m＜1＜n$，则$|1-m|=1-m$，$|1-n|=n-1$，两者大小关系不确定，因此无法确定$a_1$和$a_2$的大小，B错误；
选项C、D：若$m＜n＜1$，则$|1-m|=1-m$，$|1-n|=1-n$，由$m＜n$得$1-m＞1-n$，故$(1-m)^2＞(1-n)^2$，因此$-(1-m)^2＜-(1-n)^2$，即$a_1＜a_2$，故C正确，D错误。
也可结合图象验证：
如图(1)所示,若$1＜m＜n$,则$a_1＞a_2$,故A选项错误;如图(2)所示,满足$m＜1＜n$,但$a_1＞a_2$,故B选项错误;如图(3)所示,若$m＜n＜1$,则$a_1＜a_2$,故C选项正确,D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质，函数值计算，实数大小比较
【点评】
本题结合二次函数顶点式的性质考查函数值的大小比较，既可以通过代数计算推导，也可以利用数形结合的思想结合图象快速判断，有助于加深对二次函数图象性质的理解。
【难度系数】
0.5
两个函数均为开口向下的二次函数，顶点坐标分别为$(m,0)$、$(n,0)$，顶点是对应函数的最高点。判断$a_1$、$a_2$的大小有两种思路：一是将$x=1$代入两个函数，得到$a_1=-(1-m)^2$、$a_2=-(1-n)^2$，通过比较$(1-m)^2$和$(1-n)^2$的大小，结合负号即可判断$a_1,a_2$的大小；二是结合图象性质：开口向下的抛物线上的点，横坐标离顶点横坐标越近，函数值越大，判断$x=1$到$m$、$n$的距离即可，接下来逐一对选项分析判断即可。
【解析】
将$x=1$分别代入$y_1$、$y_2$，可得：
$a_1=-(1-m)^2$，$a_2=-(1-n)^2$。
选项A：若$1＜m＜n$，则$|1-m|=m-1$，$|1-n|=n-1$，由$m＜n$得$m-1＜n-1$，故$(1-m)^2＜(1-n)^2$，因此$-(1-m)^2＞-(1-n)^2$，即$a_1＞a_2$，A错误；
选项B：若$m＜1＜n$，则$|1-m|=1-m$，$|1-n|=n-1$，两者大小关系不确定，因此无法确定$a_1$和$a_2$的大小，B错误；
选项C、D：若$m＜n＜1$，则$|1-m|=1-m$，$|1-n|=1-n$，由$m＜n$得$1-m＞1-n$，故$(1-m)^2＞(1-n)^2$，因此$-(1-m)^2＜-(1-n)^2$，即$a_1＜a_2$，故C正确，D错误。
也可结合图象验证：
如图(1)所示,若$1＜m＜n$,则$a_1＞a_2$,故A选项错误;如图(2)所示,满足$m＜1＜n$,但$a_1＞a_2$,故B选项错误;如图(3)所示,若$m＜n＜1$,则$a_1＜a_2$,故C选项正确,D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质，函数值计算，实数大小比较
【点评】
本题结合二次函数顶点式的性质考查函数值的大小比较，既可以通过代数计算推导，也可以利用数形结合的思想结合图象快速判断，有助于加深对二次函数图象性质的理解。
【难度系数】
0.5
4[中]在平面直角坐标系中有线段AB，已知$A(10,9),B(20,1)$，若抛物线$y=(x-m)^2$与线段AB有交点，则$m$的取值范围是
$7≤m≤21$
。答案
4. $7≤m≤21$ 【解析】由$y=(x-m)^2$可得抛物线对称轴为直线$x=m$,顶点坐标为$(m,0)$. 当对称轴在点A左侧时,$m＜10$,把$A(10,9)$代入$y=(x-m)^2$得$9=(10-m)^2$,解得$m=7$或$m=13$(舍去);当对称轴在点B右侧时,$m＞20$,把$B(20,1)$代入$y=(x-m)^2$得$1=(20-m)^2$,解得$m=21$或$m=19$(舍去),故答案为$7≤m≤21$.
解析
【分析】
首先明确线段AB的横坐标取值范围是$10≤x≤20$，抛物线$y=(x-m)^2$是开口向上、顶点在x轴上的二次函数，对称轴为直线$x=m$。要判断抛物线与线段AB有交点，需分三种情况讨论：①对称轴在点A左侧（$m＜10$），此时抛物线在$10≤x≤20$范围内单调递增，临界情况为抛物线刚好经过点A；②对称轴在A、B横坐标之间（$10≤m≤20$），此时抛物线顶点在x轴，线段AB的最低y值为1，必然存在交点；③对称轴在点B右侧（$m＞20$），此时抛物线在$10≤x≤20$范围内单调递减，临界情况为抛物线刚好经过点B。分别计算临界情况的m值，再合并范围即可。
【解析】
线段AB的横坐标范围为$10≤x≤20$，抛物线$y=(x-m)^2$开口向上，对称轴为直线$x=m$，顶点坐标为$(m,0)$。
1. 当$m＜10$时，抛物线在$10≤x≤20$区间内单调递增，若与线段AB有交点，临界为过点$A(10,9)$，代入解析式得：
$9=(10-m)^2$
解得$m=7$或$m=13$，因$m＜10$，故舍去$m=13$，此时满足条件的m范围为$7≤m＜10$。
2. 当$10≤m≤20$时，对称轴落在线段AB的横坐标范围内，抛物线顶点纵坐标为0，小于线段AB的最小纵坐标1，因此抛物线必然与线段AB有交点。
3. 当$m＞20$时，抛物线在$10≤x≤20$区间内单调递减，若与线段AB有交点，临界为过点$B(20,1)$，代入解析式得：
$1=(20-m)^2$
解得$m=21$或$m=19$，因$m＞20$，故舍去$m=19$，此时满足条件的m范围为$20＜m≤21$。
综上，合并三类情况的m范围，得$7≤m≤21$。
【答案】
$7≤m≤21$
【知识点】
二次函数顶点式性质，函数与线段交点问题，一元二次方程的解法
【点评】
本题解题核心是结合二次函数的单调性，分情况讨论找到抛物线与线段相交的临界位置，求解后注意根据m的取值范围舍去不符合要求的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
首先明确线段AB的横坐标取值范围是$10≤x≤20$，抛物线$y=(x-m)^2$是开口向上、顶点在x轴上的二次函数，对称轴为直线$x=m$。要判断抛物线与线段AB有交点，需分三种情况讨论：①对称轴在点A左侧（$m＜10$），此时抛物线在$10≤x≤20$范围内单调递增，临界情况为抛物线刚好经过点A；②对称轴在A、B横坐标之间（$10≤m≤20$），此时抛物线顶点在x轴，线段AB的最低y值为1，必然存在交点；③对称轴在点B右侧（$m＞20$），此时抛物线在$10≤x≤20$范围内单调递减，临界情况为抛物线刚好经过点B。分别计算临界情况的m值，再合并范围即可。
【解析】
线段AB的横坐标范围为$10≤x≤20$，抛物线$y=(x-m)^2$开口向上，对称轴为直线$x=m$，顶点坐标为$(m,0)$。
1. 当$m＜10$时，抛物线在$10≤x≤20$区间内单调递增，若与线段AB有交点，临界为过点$A(10,9)$，代入解析式得：
$9=(10-m)^2$
解得$m=7$或$m=13$，因$m＜10$，故舍去$m=13$，此时满足条件的m范围为$7≤m＜10$。
2. 当$10≤m≤20$时，对称轴落在线段AB的横坐标范围内，抛物线顶点纵坐标为0，小于线段AB的最小纵坐标1，因此抛物线必然与线段AB有交点。
3. 当$m＞20$时，抛物线在$10≤x≤20$区间内单调递减，若与线段AB有交点，临界为过点$B(20,1)$，代入解析式得：
$1=(20-m)^2$
解得$m=21$或$m=19$，因$m＞20$，故舍去$m=19$，此时满足条件的m范围为$20＜m≤21$。
综上，合并三类情况的m范围，得$7≤m≤21$。
【答案】
$7≤m≤21$
【知识点】
二次函数顶点式性质，函数与线段交点问题，一元二次方程的解法
【点评】
本题解题核心是结合二次函数的单调性，分情况讨论找到抛物线与线段相交的临界位置，求解后注意根据m的取值范围舍去不符合要求的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
5[2025福建福州晋安区期中,较难]二次函数$y=(x-1)^2$的图象与$x$轴交于点$A$,将该函数图象向右平移$m(m＞0)$个单位后与$x$轴交于点$B$,平移前后的函数图象相交于点$C$,若$∠ ACB=90°$,则$m$的值为
$2$
.答案
5. $2$ 【解析】当$y=0$时,$(x-1)^2=0$,解得$x_1=x_2=1$,
∴ $A(1,0)$.
∵ 将该函数图象向右平移$m(m＞0)$个单位,
∴ 平移后的抛物线的表达式为$y=(x-1-m)^2$,
∴ $B(1+m,0)$. 解方程组$\begin{cases}y=(x-1)^2,\\y=(x-1-m)^2,\end{cases}$得$\begin{cases}x=1+\dfrac{1}{2}m,\\y=\dfrac{m^2}{4},\end{cases}$
∴ $C(1+\dfrac{1}{2}m,\dfrac{m^2}{4})$.
∵ 抛物线为轴对称图形,$∠ACB=90°$,
∴ $△ABC$为等腰直角三角形,
∴ $\dfrac{m^2}{4}=\dfrac{1}{2}(1+m-1)$,解得$m_1=0$(舍去),$m_2=2$,即$m$的值为2. 故答案为2.
∴ $A(1,0)$.
∵ 将该函数图象向右平移$m(m＞0)$个单位,
∴ 平移后的抛物线的表达式为$y=(x-1-m)^2$,
∴ $B(1+m,0)$. 解方程组$\begin{cases}y=(x-1)^2,\\y=(x-1-m)^2,\end{cases}$得$\begin{cases}x=1+\dfrac{1}{2}m,\\y=\dfrac{m^2}{4},\end{cases}$
∴ $C(1+\dfrac{1}{2}m,\dfrac{m^2}{4})$.
∵ 抛物线为轴对称图形,$∠ACB=90°$,
∴ $△ABC$为等腰直角三角形,
∴ $\dfrac{m^2}{4}=\dfrac{1}{2}(1+m-1)$,解得$m_1=0$(舍去),$m_2=2$,即$m$的值为2. 故答案为2.
解析
【分析】
解决本题可按以下思路逐步推导：①先求出原二次函数与x轴交点A的坐标；②根据二次函数“左加右减”的平移规律，写出平移后抛物线的解析式，进而得到平移后图象与x轴交点B的坐标；③联立平移前后两个二次函数的解析式，求解得到两图象交点C的坐标；④结合抛物线的对称性可判断AC=BC，再结合∠ACB=90°，可知△ABC是等腰直角三角形，利用“等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半”的性质列方程，最后结合m＞0的条件筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
对于二次函数$y=(x-1)^2$，令$y=0$，得$(x-1)^2=0$，解得$x=1$，
∴ 点A的坐标为$(1,0)$。
根据二次函数平移“左加右减”的规律，将函数图象向右平移$m(m＞0)$个单位后，所得抛物线的解析式为$y=(x-1-m)^2$。
令平移后的函数$y=0$，得$(x-1-m)^2=0$，解得$x=1+m$，
∴ 点B的坐标为$(1+m,0)$。
联立平移前后的函数解析式，得：
$\begin{cases}y=(x-1)^2\\y=(x-1-m)^2\end{cases}$
化简得$2m(x-1)=m^2$，
∵ $m＞0$，两边同除以$2m$得$x-1=\frac{m}{2}$，即$x=1+\frac{m}{2}$，
代入$y=(x-1)^2$得$y=(\frac{m}{2})^2=\frac{m^2}{4}$，
∴ 交点C的坐标为$(1+\frac{m}{2},\frac{m^2}{4})$。
∵ 点C在线段AB的垂直平分线上，故$AC=BC$，又$∠ACB=90°$，
∴ $△ ABC$为等腰直角三角形，斜边$AB$的长度为$m$，斜边上的高等于点C的纵坐标$\frac{m^2}{4}$。
根据等腰直角三角形性质可得：$\frac{m^2}{4}=\frac{1}{2}m$
整理得$m^2 - 2m=0$，解得$m_1=0$（不符合$m＞0$的条件，舍去），$m_2=2$。
【答案】
$\boxed{2}$
【知识点】
二次函数平移规律；函数交点求法；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是二次函数与几何性质结合的综合题，解题关键是先通过代数运算求出各点坐标，再利用抛物线的对称性判断三角形的形状，结合几何性质建立方程求解，同时要注意结合参数的取值范围舍去不合题意的解。
【难度系数】
0.4
解决本题可按以下思路逐步推导：①先求出原二次函数与x轴交点A的坐标；②根据二次函数“左加右减”的平移规律，写出平移后抛物线的解析式，进而得到平移后图象与x轴交点B的坐标；③联立平移前后两个二次函数的解析式，求解得到两图象交点C的坐标；④结合抛物线的对称性可判断AC=BC，再结合∠ACB=90°，可知△ABC是等腰直角三角形，利用“等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半”的性质列方程，最后结合m＞0的条件筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
对于二次函数$y=(x-1)^2$，令$y=0$，得$(x-1)^2=0$，解得$x=1$，
∴ 点A的坐标为$(1,0)$。
根据二次函数平移“左加右减”的规律，将函数图象向右平移$m(m＞0)$个单位后，所得抛物线的解析式为$y=(x-1-m)^2$。
令平移后的函数$y=0$，得$(x-1-m)^2=0$，解得$x=1+m$，
∴ 点B的坐标为$(1+m,0)$。
联立平移前后的函数解析式，得：
$\begin{cases}y=(x-1)^2\\y=(x-1-m)^2\end{cases}$
化简得$2m(x-1)=m^2$，
∵ $m＞0$，两边同除以$2m$得$x-1=\frac{m}{2}$，即$x=1+\frac{m}{2}$，
代入$y=(x-1)^2$得$y=(\frac{m}{2})^2=\frac{m^2}{4}$，
∴ 交点C的坐标为$(1+\frac{m}{2},\frac{m^2}{4})$。
∵ 点C在线段AB的垂直平分线上，故$AC=BC$，又$∠ACB=90°$，
∴ $△ ABC$为等腰直角三角形，斜边$AB$的长度为$m$，斜边上的高等于点C的纵坐标$\frac{m^2}{4}$。
根据等腰直角三角形性质可得：$\frac{m^2}{4}=\frac{1}{2}m$
整理得$m^2 - 2m=0$，解得$m_1=0$（不符合$m＞0$的条件，舍去），$m_2=2$。
【答案】
$\boxed{2}$
【知识点】
二次函数平移规律；函数交点求法；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是二次函数与几何性质结合的综合题，解题关键是先通过代数运算求出各点坐标，再利用抛物线的对称性判断三角形的形状，结合几何性质建立方程求解，同时要注意结合参数的取值范围舍去不合题意的解。
【难度系数】
0.4
6[2026安徽淮北质检,较难]如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的边长为5,AB//y轴,BC//x轴,且点A的坐标为(-2,4),点C的坐标为(3,-1).若抛物线的顶点坐标为(1,0),且经过正方形的顶点D.
(1)抛物线的表达式为
(2)将抛物线在正方形ABCD内(含边界)的部分记为图象M.若直线$y=kx-2k+2(k≠0)$与图象M有唯一交点,则k的取值范围是
刷素养 走向重高
(1)抛物线的表达式为
$y=(x-1)^2$
.(2)将抛物线在正方形ABCD内(含边界)的部分记为图象M.若直线$y=kx-2k+2(k≠0)$与图象M有唯一交点,则k的取值范围是
$k＞2或k＜-\dfrac{2}{3}$
.刷素养 走向重高
答案
6. (1)$y=(x-1)^2$ (2)$k＞2或k＜-\dfrac{2}{3}$
【解析】(1)由题意可知$D(3,4)$.
∵ 抛物线的顶点坐标为$(1,0)$,
∴ 设抛物线表达式为$a(x-1)^2$. 把$D(3,4)$代入,得$4=a(3-1)^2$,解得$a=1$,
∴ 抛物线表达式为$y=(x-1)^2$. 故答案为$y=(x-1)^2$. (2)设抛物线与边AD的另一个交点为E,如图. 当$y=(x-1)^2=4$时,$x_1=3$,$x_2=-1$,
∴ $E(-1,4)$.
∵ 直线$y=kx-2k+2=(x-2)k+2$,
∴ 直线过定点$(2,2)$. 当$x=2$时,$y=(x-1)^2=(2-1)^2=1＜2$.
∵ 直线$y=kx-2k+2(k≠0)$与图象M有唯一交点,
∴ 当$x=3$时,$y=kx-2k+2＞4$,即$3k-2k+2＞4$,解得$k＞2$;当$x=-1$时,$y=kx-2k+2＞4$,即$-k-2k+2＞4$,解得$k＜-\dfrac{2}{3}$. 综上所述,$k＞2$ 或 $k＜-\dfrac{2}{3}$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的顶点坐标，优先选用顶点式设函数解析式，先根据正方形顶点A、C的坐标确定点D的坐标，再将D点坐标代入顶点式求解参数a即可得到抛物线表达式。
(2) 先求出抛物线与正方形AD边的另一个交点E的坐标，再将直线解析式变形，找出直线恒过的定点；结合图象分析：直线与抛物线恒有两个交点，要使直线与正方形内的抛物线部分M有唯一交点，需保证两个交点中只有1个落在M的范围内，分别计算直线过D、E两点时的k值，再根据直线位置确定k的取值范围即可。
【解析】
(1) 由正方形ABCD的性质：AB//y轴，BC//x轴，A(-2,4)，C(3,-1)，可得点D的横坐标与C相同，纵坐标与A相同，即D(3,4)。
已知抛物线顶点为(1,0)，设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2$（$a≠0$），将D(3,4)代入解析式得：
$4=a(3-1)^2$，即$4=4a$，解得$a=1$，
因此抛物线的表达式为$y=(x-1)^2$。
(2) 先求抛物线与AD边的交点：AD边的纵坐标恒为4，令$y=(x-1)^2=4$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，因此抛物线与AD边的另一个交点E的坐标为(-1,4)。
将直线解析式变形：$y=kx-2k+2=k(x-2)+2$，可知无论k取何非零值，当$x=2$时$y=2$，即直线恒过定点$(2,2)$。
直线与抛物线恒有两个交点，要使直线与图象M有唯一交点，需仅1个交点落在正方形内的抛物线范围内，分两种情况讨论：
① 直线过D(3,4)时，代入直线解析式得$4=3k-2k+2$，解得$k=2$，当$k＞2$时，直线在x=3处的纵坐标大于4，此时一个交点落在x＞3的区域（正方形外），仅1个交点在M范围内，符合要求；
② 直线过E(-1,4)时，代入直线解析式得$4=-k-2k+2$，解得$k=-\dfrac{2}{3}$，当$k＜-\dfrac{2}{3}$时，直线在x=-1处的纵坐标大于4，此时一个交点落在x＜-1的区域（正方形外），仅1个交点在M范围内，符合要求。
综上，k的取值范围是$k＞2或k＜-\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1) $y=(x-1)^2$
(2) $k＞2或k＜-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
二次函数解析式求解，一次函数定点性质，函数交点判断
【点评】
本题结合正方形的性质考查二次函数与一次函数的综合应用，解题的关键是先确定抛物线解析式和直线的定点，再通过数形结合分析参数的取值范围，能有效锻炼图象分析和分类讨论的能力。
【难度系数】
0.3
(1) 已知抛物线的顶点坐标，优先选用顶点式设函数解析式，先根据正方形顶点A、C的坐标确定点D的坐标，再将D点坐标代入顶点式求解参数a即可得到抛物线表达式。
(2) 先求出抛物线与正方形AD边的另一个交点E的坐标，再将直线解析式变形，找出直线恒过的定点；结合图象分析：直线与抛物线恒有两个交点，要使直线与正方形内的抛物线部分M有唯一交点，需保证两个交点中只有1个落在M的范围内，分别计算直线过D、E两点时的k值，再根据直线位置确定k的取值范围即可。
【解析】
(1) 由正方形ABCD的性质：AB//y轴，BC//x轴，A(-2,4)，C(3,-1)，可得点D的横坐标与C相同，纵坐标与A相同，即D(3,4)。
已知抛物线顶点为(1,0)，设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2$（$a≠0$），将D(3,4)代入解析式得：
$4=a(3-1)^2$，即$4=4a$，解得$a=1$，
因此抛物线的表达式为$y=(x-1)^2$。
(2) 先求抛物线与AD边的交点：AD边的纵坐标恒为4，令$y=(x-1)^2=4$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，因此抛物线与AD边的另一个交点E的坐标为(-1,4)。
将直线解析式变形：$y=kx-2k+2=k(x-2)+2$，可知无论k取何非零值，当$x=2$时$y=2$，即直线恒过定点$(2,2)$。
直线与抛物线恒有两个交点，要使直线与图象M有唯一交点，需仅1个交点落在正方形内的抛物线范围内，分两种情况讨论：
① 直线过D(3,4)时，代入直线解析式得$4=3k-2k+2$，解得$k=2$，当$k＞2$时，直线在x=3处的纵坐标大于4，此时一个交点落在x＞3的区域（正方形外），仅1个交点在M范围内，符合要求；
② 直线过E(-1,4)时，代入直线解析式得$4=-k-2k+2$，解得$k=-\dfrac{2}{3}$，当$k＜-\dfrac{2}{3}$时，直线在x=-1处的纵坐标大于4，此时一个交点落在x＜-1的区域（正方形外），仅1个交点在M范围内，符合要求。
综上，k的取值范围是$k＞2或k＜-\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1) $y=(x-1)^2$
(2) $k＞2或k＜-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
二次函数解析式求解，一次函数定点性质，函数交点判断
【点评】
本题结合正方形的性质考查二次函数与一次函数的综合应用，解题的关键是先确定抛物线解析式和直线的定点，再通过数形结合分析参数的取值范围，能有效锻炼图象分析和分类讨论的能力。
【难度系数】
0.3
7 思想方法 推理能力 [2026安徽合肥校级质检,较难]如图,已知二次函数图象的顶点坐标为$C(1,0)$,直线$y=x+b$与该二次函数的图象交于A,B两点,其中点A的坐标为$(3,4)$,点B在y轴上.点P为线段AB上的一个动点(P与A,B不重合),过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象交于点E.
(1)求$b$的值及二次函数的表达式;
(2)设线段PE的长为$h$,点P的横坐标为$x$,求$h$与$x$之间的函数关系式,并写出自变量$x$的取值范围;
(3)若点D为直线AB与该二次函数的图象对称轴的交点,则四边形DCEP能否构成平行四边形?如果能,请求出此时点P的坐标;如果不能,请说明理由.
(1)求$b$的值及二次函数的表达式;
(2)设线段PE的长为$h$,点P的横坐标为$x$,求$h$与$x$之间的函数关系式,并写出自变量$x$的取值范围;
(3)若点D为直线AB与该二次函数的图象对称轴的交点,则四边形DCEP能否构成平行四边形?如果能,请求出此时点P的坐标;如果不能,请说明理由.
答案
7. 解:(1)将$A(3,4)$代入$y=x+b$,得$4=3+b$,
∴ $b=1$. 设二次函数表达式为$y=a(x-1)^2$. 把$A(3,4)$代入,得$a=1$,
∴ 二次函数的表达式为$y=(x-1)^2$,即$y=x^2-2x+1$.
(2)由题意得$P(x,x+1)$,$E(x,x^2-2x+1)$,
∴ $h=(x+1)-(x^2-2x+1)=-x^2+3x(0＜x＜3)$.
(3)能. 由题意得$DC// PE$,$DC=PE$. 将$x=1$代入$y=x+1$,得$y=2$,
∴ $D(1,2)$,
∴ $CD=2$,
∴ $-x^2+3x=2$,解得$x=2$ 或 $1$(舍去). 当$x=2$时,$y=x+1=3$,
∴ $P(2,3)$. 即当点P的坐标为$(2,3)$时,四边形DCEP是平行四边形.
∴ $b=1$. 设二次函数表达式为$y=a(x-1)^2$. 把$A(3,4)$代入,得$a=1$,
∴ 二次函数的表达式为$y=(x-1)^2$,即$y=x^2-2x+1$.
(2)由题意得$P(x,x+1)$,$E(x,x^2-2x+1)$,
∴ $h=(x+1)-(x^2-2x+1)=-x^2+3x(0＜x＜3)$.
(3)能. 由题意得$DC// PE$,$DC=PE$. 将$x=1$代入$y=x+1$,得$y=2$,
∴ $D(1,2)$,
∴ $CD=2$,
∴ $-x^2+3x=2$,解得$x=2$ 或 $1$(舍去). 当$x=2$时,$y=x+1=3$,
∴ $P(2,3)$. 即当点P的坐标为$(2,3)$时,四边形DCEP是平行四边形.
解析
【分析】
(1)求b的值可直接将点A(3,4)代入一次函数y=x+b计算；已知二次函数顶点为C(1,0)，因此设二次函数的顶点式为y=a(x-1)²，再代入点A坐标求出a的值，即可得到二次函数的表达式。
(2)点P在线段AB上，横坐标为x，则其纵坐标为x+1；点E与点P横坐标相同，在二次函数图象上，纵坐标为x²-2x+1，PE为垂直于x轴的线段，长度等于点P的纵坐标减去点E的纵坐标，即可得到h与x的函数关系；点P在A、B之间，B在y轴上即横坐标为0，A横坐标为3，因此x的取值范围为0＜x＜3。
(3)DC在二次函数对称轴x=1上，PE垂直于x轴，因此DC//PE，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，只需满足PE=DC即可。先将x=1代入直线AB解析式求出D点坐标，得到DC的长度，再令h等于DC的长度解方程，舍去不符合取值范围的解，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1)将A(3,4)代入y=x+b，得4=3+b，解得b=1。
设二次函数表达式为y=a(x-1)²，把A(3,4)代入得4=a(3-1)²，解得a=1，因此二次函数的表达式为y=(x-1)²，即y=x²-2x+1。
(2)由题意得，点P坐标为(x,x+1)，点E坐标为(x,x²-2x+1)，
因此PE的长度h=(x+1)-(x²-2x+1)=-x²+3x，
由于点P在线段AB上且不与A、B重合，故自变量x的取值范围是0＜x＜3。
(3)能构成平行四边形。
由题意得DC//PE，若四边形DCEP为平行四边形，则需满足DC=PE。
将x=1代入y=x+1，得y=2，即D(1,2)，因此CD=2-0=2，
令h=2，即-x²+3x=2，整理得x²-3x+2=0，解得x=2或x=1，
x=1时，点P与点D重合，不符合题意，舍去，
当x=2时，代入y=x+1得y=3，因此点P的坐标为(2,3)。
【答案】
(1)b=1，二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-2x+1}$（或$\boldsymbol{y=(x-1)^2}$）；
(2)$\boldsymbol{h=-x^2+3x(0＜x＜3)}$；
(3)能，此时点P的坐标为$\boldsymbol{(2,3)}$。
【知识点】
二次函数解析式求解，一次函数的应用，平行四边形的判定
【点评】
本题为一次函数与二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、竖直线段的长度表示、平行四边形的判定等内容，解题时需结合数形结合思想分析坐标与线段的关系，同时要注意根据自变量的取值范围对解进行取舍。
【难度系数】
0.5
(1)求b的值可直接将点A(3,4)代入一次函数y=x+b计算；已知二次函数顶点为C(1,0)，因此设二次函数的顶点式为y=a(x-1)²，再代入点A坐标求出a的值，即可得到二次函数的表达式。
(2)点P在线段AB上，横坐标为x，则其纵坐标为x+1；点E与点P横坐标相同，在二次函数图象上，纵坐标为x²-2x+1，PE为垂直于x轴的线段，长度等于点P的纵坐标减去点E的纵坐标，即可得到h与x的函数关系；点P在A、B之间，B在y轴上即横坐标为0，A横坐标为3，因此x的取值范围为0＜x＜3。
(3)DC在二次函数对称轴x=1上，PE垂直于x轴，因此DC//PE，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，只需满足PE=DC即可。先将x=1代入直线AB解析式求出D点坐标，得到DC的长度，再令h等于DC的长度解方程，舍去不符合取值范围的解，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1)将A(3,4)代入y=x+b，得4=3+b，解得b=1。
设二次函数表达式为y=a(x-1)²，把A(3,4)代入得4=a(3-1)²，解得a=1，因此二次函数的表达式为y=(x-1)²，即y=x²-2x+1。
(2)由题意得，点P坐标为(x,x+1)，点E坐标为(x,x²-2x+1)，
因此PE的长度h=(x+1)-(x²-2x+1)=-x²+3x，
由于点P在线段AB上且不与A、B重合，故自变量x的取值范围是0＜x＜3。
(3)能构成平行四边形。
由题意得DC//PE，若四边形DCEP为平行四边形，则需满足DC=PE。
将x=1代入y=x+1，得y=2，即D(1,2)，因此CD=2-0=2，
令h=2，即-x²+3x=2，整理得x²-3x+2=0，解得x=2或x=1，
x=1时，点P与点D重合，不符合题意，舍去，
当x=2时，代入y=x+1得y=3，因此点P的坐标为(2,3)。
【答案】
(1)b=1，二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-2x+1}$（或$\boldsymbol{y=(x-1)^2}$）；
(2)$\boldsymbol{h=-x^2+3x(0＜x＜3)}$；
(3)能，此时点P的坐标为$\boldsymbol{(2,3)}$。
【知识点】
二次函数解析式求解，一次函数的应用，平行四边形的判定
【点评】
本题为一次函数与二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、竖直线段的长度表示、平行四边形的判定等内容，解题时需结合数形结合思想分析坐标与线段的关系，同时要注意根据自变量的取值范围对解进行取舍。
【难度系数】
0.5
