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1 画函数$y=x^2(x≥ -1)$的图象.
答案
【解】列表如下：
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
|----|----|----|----|----|----|
| y | 1 | 0 | 1 | 4 | … |
描点,连线,得函数$y=x^2(x≥-1)$的图象如下图：
解析
【分析】
画函数图象的通用方法为描点法，分为列表、描点、连线三个步骤。本题是限定定义域的二次函数图象绘制，首先要明确定义域x≥-1，取值时不能包含x＜-1的部分：第一步列表，选取x≥-1的几个典型易算的x值，计算对应y值；第二步将得到的坐标点在平面直角坐标系中准确描出；第三步用平滑曲线按x从小到大的顺序连接描好的点，注意x=-1处为实心端点，图象仅向x轴正方向延伸即可。
【解析】
按照描点法的规范步骤解题：
1. 列表：根据定义域x≥-1，选取典型值计算对应y值，结果如下：
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
|----|----|----|----|----|----|
| y | 1 | 0 | 1 | 4 | … |
2. 描点：在平面直角坐标系中依次描出点(-1,1)、(0,0)、(1,1)、(2,4)；
3. 连线：用平滑曲线按x从小到大的顺序连接上述点，不绘制x＜-1的部分，所得即为目标函数的图象。
【答案】
列表如下：
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
|----|----|----|----|----|----|
| y | 1 | 0 | 1 | 4 | … |
描点,连线,得函数$y=x^2(x≥-1)$的图象如下图：
【知识点】
描点法画图象；二次函数y=x²图象；定义域限制
【点评】
本题属于函数图象绘制的基础题，重点考查描点法的规范应用，解题的关键是注意题目给出的定义域限制，避免画出超出范围的图象，熟练掌握描点法的三个步骤即可快速完成作答。
【难度系数】
0.8
画函数图象的通用方法为描点法，分为列表、描点、连线三个步骤。本题是限定定义域的二次函数图象绘制，首先要明确定义域x≥-1，取值时不能包含x＜-1的部分：第一步列表，选取x≥-1的几个典型易算的x值，计算对应y值；第二步将得到的坐标点在平面直角坐标系中准确描出；第三步用平滑曲线按x从小到大的顺序连接描好的点，注意x=-1处为实心端点，图象仅向x轴正方向延伸即可。
【解析】
按照描点法的规范步骤解题：
1. 列表：根据定义域x≥-1，选取典型值计算对应y值，结果如下：
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
|----|----|----|----|----|----|
| y | 1 | 0 | 1 | 4 | … |
2. 描点：在平面直角坐标系中依次描出点(-1,1)、(0,0)、(1,1)、(2,4)；
3. 连线：用平滑曲线按x从小到大的顺序连接上述点，不绘制x＜-1的部分，所得即为目标函数的图象。
【答案】
列表如下：
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
|----|----|----|----|----|----|
| y | 1 | 0 | 1 | 4 | … |
描点,连线,得函数$y=x^2(x≥-1)$的图象如下图：
【知识点】
描点法画图象；二次函数y=x²图象；定义域限制
【点评】
本题属于函数图象绘制的基础题，重点考查描点法的规范应用，解题的关键是注意题目给出的定义域限制，避免画出超出范围的图象，熟练掌握描点法的三个步骤即可快速完成作答。
【难度系数】
0.8
2[2026安徽亳州利辛质检]对于二次函数$y=3x^2$，下列说法错误的是（
A.其图象开口向上
B.其图象关于y轴对称
C.y有最小值0
D.当$x＞0$时，y随x的增大而减小
D
）A.其图象开口向上
B.其图象关于y轴对称
C.y有最小值0
D.当$x＞0$时，y随x的增大而减小
答案
2.D 【解析】A选项,二次函数$y=3x^2$中,二次项系数大于0,因此图象开口向上,说法正确;B选项,二次函数$y=3x^2$的图象关于y轴对称,说法正确;C选项,图象开口向上,顶点坐标为(0,0),因此y有最小值0,说法正确;D选项,当x＞0时,y随x的增大而增大,说法错误,符合题意.故选D.
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题时只需根据二次项系数$a$的正负，结合$y=ax^2$的开口方向、对称轴、最值、增减性四个核心性质，逐个判断选项的正误即可，最终选出说法错误的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：二次函数$y=3x^2$中，二次项系数$a=3＞0$，因此图象开口向上，该说法正确；
B选项：二次函数$y=3x^2$的对称轴为y轴，因此图象关于y轴对称，该说法正确；
C选项：由于图象开口向上，顶点坐标为$(0,0)$，因此$y$有最小值0，该说法正确；
D选项：当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，而非减小，该说法错误，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握，熟记$a＞0$时的图象特征与相关性质即可快速判断，难度较低。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题时只需根据二次项系数$a$的正负，结合$y=ax^2$的开口方向、对称轴、最值、增减性四个核心性质，逐个判断选项的正误即可，最终选出说法错误的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：二次函数$y=3x^2$中，二次项系数$a=3＞0$，因此图象开口向上，该说法正确；
B选项：二次函数$y=3x^2$的对称轴为y轴，因此图象关于y轴对称，该说法正确；
C选项：由于图象开口向上，顶点坐标为$(0,0)$，因此$y$有最小值0，该说法正确；
D选项：当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，而非减小，该说法错误，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握，熟记$a＞0$时的图象特征与相关性质即可快速判断，难度较低。
【难度系数】
0.85
3[2025 安徽滁州期中]已知二次函数 $y=-ax^2$（$a＜0$）的图象上有三个点$A(-2,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(3,y_3)$，则有 （
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
D
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
答案
3.D 【解析】
∵二次函数$y=-ax^2(a＜0)$图象的对称轴为直线x=0,开口向上,
∴该图象上的点离直线x=0越远,对应的函数值越大.
∵A到直线x=0的距离是2,B到直线x=0的距离是1,C到直线x=0的距离是3,
∴$y_3＞y_1＞y_2$.故选D.
∵二次函数$y=-ax^2(a＜0)$图象的对称轴为直线x=0,开口向上,
∴该图象上的点离直线x=0越远,对应的函数值越大.
∵A到直线x=0的距离是2,B到直线x=0的距离是1,C到直线x=0的距离是3,
∴$y_3＞y_1＞y_2$.故选D.
解析
【分析】
解决本题的思路可分为三步：第一步先确定二次函数的开口方向：先根据已知a＜0，判断二次项系数-a的正负，从而确定抛物线开口方向；第二步明确函数性质：$y=-ax^2$属于$y=ax^2$型的二次函数，对称轴为y轴（直线x=0），若开口向上，则抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大；第三步计算各点到对称轴的距离，比较距离大小后即可对应得出函数值的大小关系。
【解析】
∵$a＜0$，
∴$-a＞0$，
∴二次函数$y=-ax^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=0$（即y轴），
开口向上的抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
点$A(-2,y_1)$到直线x=0的距离为$|-2|=2$，
点$B(1,y_2)$到直线x=0的距离为$|1|=1$，
点$C(3,y_3)$到直线x=0的距离为$|3|=3$，
∵$1＜2＜3$，
∴$y_2＜y_1＜y_3$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2$的图象性质
2.二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题的易错点是容易忽略系数中的负号，错误判断抛物线的开口方向，熟练掌握$y=ax^2$型二次函数的开口方向、对称轴等性质是解题的关键，利用点到对称轴的距离比较函数值大小比代入计算更简便。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路可分为三步：第一步先确定二次函数的开口方向：先根据已知a＜0，判断二次项系数-a的正负，从而确定抛物线开口方向；第二步明确函数性质：$y=-ax^2$属于$y=ax^2$型的二次函数，对称轴为y轴（直线x=0），若开口向上，则抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大；第三步计算各点到对称轴的距离，比较距离大小后即可对应得出函数值的大小关系。
【解析】
∵$a＜0$，
∴$-a＞0$，
∴二次函数$y=-ax^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=0$（即y轴），
开口向上的抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
点$A(-2,y_1)$到直线x=0的距离为$|-2|=2$，
点$B(1,y_2)$到直线x=0的距离为$|1|=1$，
点$C(3,y_3)$到直线x=0的距离为$|3|=3$，
∵$1＜2＜3$，
∴$y_2＜y_1＜y_3$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2$的图象性质
2.二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题的易错点是容易忽略系数中的负号，错误判断抛物线的开口方向，熟练掌握$y=ax^2$型二次函数的开口方向、对称轴等性质是解题的关键，利用点到对称轴的距离比较函数值大小比代入计算更简便。
【难度系数】
0.7
4 新考向开放性试题 若二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，则实数$a$的值可能是
5(答案不唯一,只要是正数即可)
.(写出一个即可)答案
4.5(答案不唯一,只要是正数即可) 【解析】
∵二次函数$y=ax^2$的图象开口向上,
∴$a＞0$,
∴a的值可能是5.故答案为5(答案不唯一,只要是正数即可).
∵二次函数$y=ax^2$的图象开口向上,
∴$a＞0$,
∴a的值可能是5.故答案为5(答案不唯一,只要是正数即可).
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：其开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$时图象开口向上，$a＜0$时图象开口向下。题目要求图象开口向上，因此只需任写一个大于0的实数即可满足要求。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，
∴根据二次函数的性质可得$a＞0$，
因此任取一个正实数都符合要求，例如可取$a=5$（答案不唯一）。
【答案】
5（答案不唯一，只要是正数即可）
【知识点】
二次函数y=ax²的图象性质
【点评】
本题是基础的开放性试题，主要考查二次函数的核心基础性质，只要牢记二次项系数与开口方向的对应关系就能轻松解答，题目灵活度低，易得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：其开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$时图象开口向上，$a＜0$时图象开口向下。题目要求图象开口向上，因此只需任写一个大于0的实数即可满足要求。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，
∴根据二次函数的性质可得$a＞0$，
因此任取一个正实数都符合要求，例如可取$a=5$（答案不唯一）。
【答案】
5（答案不唯一，只要是正数即可）
【知识点】
二次函数y=ax²的图象性质
【点评】
本题是基础的开放性试题，主要考查二次函数的核心基础性质，只要牢记二次项系数与开口方向的对应关系就能轻松解答，题目灵活度低，易得分。
【难度系数】
0.9
5 如图,正方形的边长为4,以正方形对角线的交点为原点建立平面直角坐标系,作出函数$y=\frac{1}{3}x^2$与$y=-\frac{1}{3}x^2$的图象,则阴影部分的面积是
8
. 答案
5.8 【解析】
∵函数$y=\frac{1}{3}x^2$与$y=-\frac{1}{3}x^2$的图象关于x轴对称,
∴题图中的阴影部分的面积是正方形面积的一半,而边长为4的正方形面积为16,
∴题图中的阴影部分的面积是8.故答案为8.
∵函数$y=\frac{1}{3}x^2$与$y=-\frac{1}{3}x^2$的图象关于x轴对称,
∴题图中的阴影部分的面积是正方形面积的一半,而边长为4的正方形面积为16,
∴题图中的阴影部分的面积是8.故答案为8.
解析
【分析】
解题时首先观察两个二次函数的解析式特征，$y=\frac{1}{3}x^2$与$y=-\frac{1}{3}x^2$的二次项系数互为相反数，可判断两个函数图象关于x轴对称；再结合图形的对称性，利用割补法可将分散的阴影部分拼接成规则图形，其面积恰好等于正方形面积的一半，最后计算正方形面积的一半即可得到阴影部分的面积。
【解析】
∵ 函数$y=\frac{1}{3}x^2$与$y=-\frac{1}{3}x^2$的图象关于x轴对称，
∴ 题图中x轴上方的阴影部分面积与x轴下方对应空白区域的面积相等，即阴影部分的总面积为正方形面积的一半，
∵ 正方形的边长为4，
∴ 正方形的面积为$4×4=16$，
∴ 阴影部分的面积为$16÷2=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数图象性质，轴对称的性质，割补法求面积
【点评】
本题通过二次函数的对称性将不规则的阴影面积转化为规则正方形面积的一半求解，解题的核心是灵活运用图形的对称性简化面积计算，是技巧性较强的基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察两个二次函数的解析式特征，$y=\frac{1}{3}x^2$与$y=-\frac{1}{3}x^2$的二次项系数互为相反数，可判断两个函数图象关于x轴对称；再结合图形的对称性，利用割补法可将分散的阴影部分拼接成规则图形，其面积恰好等于正方形面积的一半，最后计算正方形面积的一半即可得到阴影部分的面积。
【解析】
∵ 函数$y=\frac{1}{3}x^2$与$y=-\frac{1}{3}x^2$的图象关于x轴对称，
∴ 题图中x轴上方的阴影部分面积与x轴下方对应空白区域的面积相等，即阴影部分的总面积为正方形面积的一半，
∵ 正方形的边长为4，
∴ 正方形的面积为$4×4=16$，
∴ 阴影部分的面积为$16÷2=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数图象性质，轴对称的性质，割补法求面积
【点评】
本题通过二次函数的对称性将不规则的阴影面积转化为规则正方形面积的一半求解，解题的核心是灵活运用图形的对称性简化面积计算，是技巧性较强的基础题。
【难度系数】
0.7
6 对于二次函数$y=ax^2$和$y=bx^2$，其自变量和函数数值的两组对应值如表所示(其中$a,b$均不为$0,c≠1$). 根据二次函数的相关性质可知$c=$
-1
,$m-n=$3
. 答案
6.-1 3 【解析】由题表可知抛物线$y=ax^2$经过点(1,n),(c,n),抛物线$y=bx^2$经过点(1,n+3),(c,m).
∵抛物线$y=ax^2$和$y=bx^2$的对称轴都为y轴,$c≠1$,
∴$c=-1$,
∴$m=n+3$,
∴$m-n=3$.故答案为-1,3.
∵抛物线$y=ax^2$和$y=bx^2$的对称轴都为y轴,$c≠1$,
∴$c=-1$,
∴$m=n+3$,
∴$m-n=3$.故答案为-1,3.
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质：它的图象是抛物线，对称轴为y轴（直线$x=0$）。观察表格可知，对于$y=ax^2$，$x=1$和$x=c$时的函数值相等，说明这两个点关于抛物线的对称轴对称，结合对称轴是y轴且$c≠1$，即可推出$c$的值；再将$x=c$代入$y=bx^2$，结合$x=1$时$y=bx^2$的函数值，就能求出$m$和$n$的差值。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$），且当$x=1$和$x=c$时，函数值均为$n$，
∴点$(1,n)$和点$(c,n)$关于y轴对称，
又
∵$c≠1$，
∴$c=-1$。
对于二次函数$y=bx^2$，当$x=1$时，$y=b×1^2=n+3$，即$b=n+3$；
当$x=c=-1$时，$m=b×(-1)^2=b$，
∴$m=n+3$，
∴$m-n=3$。
【答案】
$-1$；$3$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$的相关性质，解题的关键是利用$y=ax^2$的对称轴为y轴，得到函数值相等的两个点的横坐标互为相反数，属于基础题型，熟练掌握二次函数基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质：它的图象是抛物线，对称轴为y轴（直线$x=0$）。观察表格可知，对于$y=ax^2$，$x=1$和$x=c$时的函数值相等，说明这两个点关于抛物线的对称轴对称，结合对称轴是y轴且$c≠1$，即可推出$c$的值；再将$x=c$代入$y=bx^2$，结合$x=1$时$y=bx^2$的函数值，就能求出$m$和$n$的差值。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$），且当$x=1$和$x=c$时，函数值均为$n$，
∴点$(1,n)$和点$(c,n)$关于y轴对称，
又
∵$c≠1$，
∴$c=-1$。
对于二次函数$y=bx^2$，当$x=1$时，$y=b×1^2=n+3$，即$b=n+3$；
当$x=c=-1$时，$m=b×(-1)^2=b$，
∴$m=n+3$，
∴$m-n=3$。
【答案】
$-1$；$3$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$的相关性质，解题的关键是利用$y=ax^2$的对称轴为y轴，得到函数值相等的两个点的横坐标互为相反数，属于基础题型，熟练掌握二次函数基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7[2026安徽合肥四十五中质检]如图分别是二次函数$y_1=3x^2$，$y_2=(1-k)x^2$，$y_3=(k-2)x^2$的图象，则k的取值范围是
$1＜k＜\frac{3}{2}$
。答案
7.$1＜k＜\frac{3}{2}$ 【解析】根据二次函数图象开口大小与$|a|$的关系可知,$y_1$开口最小,其次是$y_3$,$y_2$开口最大,
∴$\begin{cases}|k-2|＜3, \\ |1-k|＜|k-2|.\end{cases}$ 由开口方向可知$k-2＜0,1-k＜0$,即$\begin{cases}|k-2|＜3, \\ 1-k＞k-2\end{cases}$且$k＜2,k＞1$,解得$\begin{cases}-1＜k＜5, \\ k＜\frac{3}{2}\end{cases}$且$1＜k＜2$,即$1＜k＜\frac{3}{2}$,故答案为$1＜k＜\frac{3}{2}$.
∴$\begin{cases}|k-2|＜3, \\ |1-k|＜|k-2|.\end{cases}$ 由开口方向可知$k-2＜0,1-k＜0$,即$\begin{cases}|k-2|＜3, \\ 1-k＞k-2\end{cases}$且$k＜2,k＞1$,解得$\begin{cases}-1＜k＜5, \\ k＜\frac{3}{2}\end{cases}$且$1＜k＜2$,即$1＜k＜\frac{3}{2}$,故答案为$1＜k＜\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
要解决这道题，需结合二次函数$y=ax^2$的性质逐步推导：
1. 先明确核心性质：①开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；②开口大小由$|a|$决定，$|a|$越大，抛物线开口越小。
2. 第一步看开口方向：图象中$y_2$、$y_3$开口向下，因此它们的二次项系数均小于0，可先得到$k$的大致范围。
3. 第二步看开口大小：$y_1$开口最小，其次是$y_3$，$y_2$开口最大，因此对应的$|a|$满足$|3|＞|k-2|＞|1-k|$，结合第一步得到的$k$的范围去掉绝对值，解不等式即可得到最终取值范围。
【解析】
根据二次函数$y=ax^2$的图象性质：
1. 由开口方向判断：
$y_2=(1-k)x^2$、$y_3=(k-2)x^2$开口向下，因此二次项系数小于0，即：
$\begin{cases}1-k＜0 \\ k-2＜0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k＞1 \\ k＜2\end{cases}$，即$1＜k＜2$。
2. 由开口大小判断：
开口越小，$|a|$越大，已知$y_1$开口最小，其次是$y_3$，$y_2$开口最大，因此$|k-2|＞|1-k|$。
结合$1＜k＜2$，可得$k-2＜0$，$1-k＜0$，去掉绝对值得：
$2-k ＞ k-1$，移项解得$2k＜3$，即$k＜\frac{3}{2}$。
3. 结合两个范围：$1＜k＜2$且$k＜\frac{3}{2}$，最终得$1＜k＜\frac{3}{2}$。
【答案】
$1＜k＜\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 一元一次不等式组的解法
3. 绝对值的化简
【点评】
本题重点考查二次函数$y=ax^2$的图象与系数的关系，解题的关键是明确开口方向、开口大小分别与二次项系数的符号、绝对值的对应关系，同时要注意结合系数的符号正确化简绝对值，避免列错不等式。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合二次函数$y=ax^2$的性质逐步推导：
1. 先明确核心性质：①开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；②开口大小由$|a|$决定，$|a|$越大，抛物线开口越小。
2. 第一步看开口方向：图象中$y_2$、$y_3$开口向下，因此它们的二次项系数均小于0，可先得到$k$的大致范围。
3. 第二步看开口大小：$y_1$开口最小，其次是$y_3$，$y_2$开口最大，因此对应的$|a|$满足$|3|＞|k-2|＞|1-k|$，结合第一步得到的$k$的范围去掉绝对值，解不等式即可得到最终取值范围。
【解析】
根据二次函数$y=ax^2$的图象性质：
1. 由开口方向判断：
$y_2=(1-k)x^2$、$y_3=(k-2)x^2$开口向下，因此二次项系数小于0，即：
$\begin{cases}1-k＜0 \\ k-2＜0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k＞1 \\ k＜2\end{cases}$，即$1＜k＜2$。
2. 由开口大小判断：
开口越小，$|a|$越大，已知$y_1$开口最小，其次是$y_3$，$y_2$开口最大，因此$|k-2|＞|1-k|$。
结合$1＜k＜2$，可得$k-2＜0$，$1-k＜0$，去掉绝对值得：
$2-k ＞ k-1$，移项解得$2k＜3$，即$k＜\frac{3}{2}$。
3. 结合两个范围：$1＜k＜2$且$k＜\frac{3}{2}$，最终得$1＜k＜\frac{3}{2}$。
【答案】
$1＜k＜\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 一元一次不等式组的解法
3. 绝对值的化简
【点评】
本题重点考查二次函数$y=ax^2$的图象与系数的关系，解题的关键是明确开口方向、开口大小分别与二次项系数的符号、绝对值的对应关系，同时要注意结合系数的符号正确化简绝对值，避免列错不等式。
【难度系数】
0.6
8 已知函数$y=(m+3)x^{m^2+3m-2}$是关于x的二次函数.
(1)求m的值.
(2)当m为何值时,该函数图象的开口向下?
(3)当m为何值时,该函数有最小值?
(4)试说明该函数的增减性.
刷易错 ▶………………小心有坑~
(1)求m的值.
(2)当m为何值时,该函数图象的开口向下?
(3)当m为何值时,该函数有最小值?
(4)试说明该函数的增减性.
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答案
8.【解】(1)
∵函数$y=(m+3)x^{m^2+3m-2}$是关于x的二次函数,
∴$\begin{cases}m^2+3m-2=2, \\ m+3≠0,\end{cases}$解得$m_1=-4,m_2=1$,
∴m的值为-4或1.
(2)
∵函数图象的开口向下,
∴$m+3＜0$,
∴$m＜-3$,
∴当$m=-4$时,该函数图象的开口向下.
(3)
∵该函数有最小值,
∴$m+3＞0$,
∴$m＞-3$,
∴当$m=1$时,该函数有最小值.
(4)①当$m=-4$时,此函数为$y=-x^2$,当x＞0时,y随x的增大而减小,当x＜0时,y随x的增大而增大;②当$m=1$时,此函数为$y=4x^2$,当x＞0时,y随x的增大而增大,当x＜0时,y随x的增大而减小.
∵函数$y=(m+3)x^{m^2+3m-2}$是关于x的二次函数,
∴$\begin{cases}m^2+3m-2=2, \\ m+3≠0,\end{cases}$解得$m_1=-4,m_2=1$,
∴m的值为-4或1.
(2)
∵函数图象的开口向下,
∴$m+3＜0$,
∴$m＜-3$,
∴当$m=-4$时,该函数图象的开口向下.
(3)
∵该函数有最小值,
∴$m+3＞0$,
∴$m＞-3$,
∴当$m=1$时,该函数有最小值.
(4)①当$m=-4$时,此函数为$y=-x^2$,当x＞0时,y随x的增大而减小,当x＜0时,y随x的增大而增大;②当$m=1$时,此函数为$y=4x^2$,当x＞0时,y随x的增大而增大,当x＜0时,y随x的增大而减小.
解析
【分析】
(1) 求m的值需依据二次函数的定义：二次函数要满足两个条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列方程组求解即可。
(2) 二次函数的开口方向由二次项系数的符号决定，系数小于0时开口向下，结合(1)的结果筛选符合要求的m值即可。
(3) 二次函数有最小值说明图象开口向上，即二次项系数大于0，结合(1)的结果筛选即可。
(4) 二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴，结合开口方向分情况讨论增减性：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小；开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大。
【解析】
(1)
∵函数$y=(m+3)x^{m^2+3m-2}$是关于x的二次函数
∴$\begin{cases}m^2+3m-2=2, \\ m+3≠0,\end{cases}$
解方程$m^2+3m-2=2$，整理得$m^2+3m-4=0$，因式分解得$(m+4)(m-1)=0$，解得$m_1=-4,m_2=1$，两个解均满足$m≠-3$，因此m的值为-4或1。
(2)
∵函数图象的开口向下
∴二次项系数$m+3＜0$，解得$m＜-3$，结合(1)的结果可得$m=-4$，即当$m=-4$时，该函数图象的开口向下。
(3)
∵该函数有最小值
∴函数图象开口向上，即二次项系数$m+3＞0$，解得$m＞-3$，结合(1)的结果可得$m=1$，即当$m=1$时，该函数有最小值。
(4) 分两种情况讨论：
①当$m=-4$时，代入得函数为$y=-x^2$，图象开口向下，对称轴为y轴：当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大。
②当$m=1$时，代入得函数为$y=4x^2$，图象开口向上，对称轴为y轴：当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小。
【答案】
(1) m的值为$\boldsymbol{-4}$或$\boldsymbol{1}$；
(2) 当$\boldsymbol{m=-4}$时，该函数图象的开口向下；
(3) 当$\boldsymbol{m=1}$时，该函数有最小值；
(4) ①$m=-4$时，函数为$y=-x^2$：x＞0时y随x的增大而减小，x＜0时y随x的增大而增大；②$m=1$时，函数为$y=4x^2$：x＞0时y随x的增大而增大，x＜0时y随x的增大而减小。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数的图象性质
3. 二次函数的最值与增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题关键是牢记二次函数定义的两个限制条件，能根据二次项系数的符号判断开口方向、最值和增减性，注意解题时要分类讨论，避免忽略二次项系数不为0的条件导致错解。
【难度系数】
0.8
(1) 求m的值需依据二次函数的定义：二次函数要满足两个条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列方程组求解即可。
(2) 二次函数的开口方向由二次项系数的符号决定，系数小于0时开口向下，结合(1)的结果筛选符合要求的m值即可。
(3) 二次函数有最小值说明图象开口向上，即二次项系数大于0，结合(1)的结果筛选即可。
(4) 二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴，结合开口方向分情况讨论增减性：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小；开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大。
【解析】
(1)
∵函数$y=(m+3)x^{m^2+3m-2}$是关于x的二次函数
∴$\begin{cases}m^2+3m-2=2, \\ m+3≠0,\end{cases}$
解方程$m^2+3m-2=2$，整理得$m^2+3m-4=0$，因式分解得$(m+4)(m-1)=0$，解得$m_1=-4,m_2=1$，两个解均满足$m≠-3$，因此m的值为-4或1。
(2)
∵函数图象的开口向下
∴二次项系数$m+3＜0$，解得$m＜-3$，结合(1)的结果可得$m=-4$，即当$m=-4$时，该函数图象的开口向下。
(3)
∵该函数有最小值
∴函数图象开口向上，即二次项系数$m+3＞0$，解得$m＞-3$，结合(1)的结果可得$m=1$，即当$m=1$时，该函数有最小值。
(4) 分两种情况讨论：
①当$m=-4$时，代入得函数为$y=-x^2$，图象开口向下，对称轴为y轴：当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大。
②当$m=1$时，代入得函数为$y=4x^2$，图象开口向上，对称轴为y轴：当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小。
【答案】
(1) m的值为$\boldsymbol{-4}$或$\boldsymbol{1}$；
(2) 当$\boldsymbol{m=-4}$时，该函数图象的开口向下；
(3) 当$\boldsymbol{m=1}$时，该函数有最小值；
(4) ①$m=-4$时，函数为$y=-x^2$：x＞0时y随x的增大而减小，x＜0时y随x的增大而增大；②$m=1$时，函数为$y=4x^2$：x＞0时y随x的增大而增大，x＜0时y随x的增大而减小。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数的图象性质
3. 二次函数的最值与增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题关键是牢记二次函数定义的两个限制条件，能根据二次项系数的符号判断开口方向、最值和增减性，注意解题时要分类讨论，避免忽略二次项系数不为0的条件导致错解。
【难度系数】
0.8
9 已知二次函数$y=x^2$，当$-1≤ x≤3$时，y的取值范围是
$0≤y≤9$
。答案
9.$0≤y≤9$ 【解析】
∵抛物线$y=x^2$开口向上,顶点坐标是(0,0),
∴抛物线$y=x^2$有最低点,即函数有最小值,为0.当x=3时,y取得最大值,为9,
∴y的取值范围是$0≤y≤9$.
∵抛物线$y=x^2$开口向上,顶点坐标是(0,0),
∴抛物线$y=x^2$有最低点,即函数有最小值,为0.当x=3时,y取得最大值,为9,
∴y的取值范围是$0≤y≤9$.
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆二次函数$y=x^2$的图象与性质：它的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$，在顶点处函数取得最小值。接下来结合给定的自变量取值范围$-1≤x≤3$判断：该范围包含对称轴$x=0$，因此函数的最小值就是顶点处的函数值；再分别计算区间两个端点的函数值，比较大小得到最大值，即可确定y的取值范围。
【解析】
∵抛物线$y=x^2$开口向上，顶点坐标是$(0,0)$，
∴当$x=0$时，$y$取得最小值，最小值为$0$；
分别计算区间端点的函数值：当$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$；当$x=3$时，$y=3^2=9$，
∵$9＞1$，
∴当$x=3$时，$y$取得最大值，最大值为$9$，
∴$y$的取值范围是$0≤y≤9$。
【答案】
$0≤y≤9$
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；二次函数的最值；函数取值范围求解
【点评】
本题是二次函数的基础题，解题的关键是熟练掌握$y=x^2$的图象特征，不要忽略顶点是开口向上的抛物线的最低点，避免直接代入区间两端点计算导致最小值判断错误。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要回忆二次函数$y=x^2$的图象与性质：它的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$，在顶点处函数取得最小值。接下来结合给定的自变量取值范围$-1≤x≤3$判断：该范围包含对称轴$x=0$，因此函数的最小值就是顶点处的函数值；再分别计算区间两个端点的函数值，比较大小得到最大值，即可确定y的取值范围。
【解析】
∵抛物线$y=x^2$开口向上，顶点坐标是$(0,0)$，
∴当$x=0$时，$y$取得最小值，最小值为$0$；
分别计算区间端点的函数值：当$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$；当$x=3$时，$y=3^2=9$，
∵$9＞1$，
∴当$x=3$时，$y$取得最大值，最大值为$9$，
∴$y$的取值范围是$0≤y≤9$。
【答案】
$0≤y≤9$
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；二次函数的最值；函数取值范围求解
【点评】
本题是二次函数的基础题，解题的关键是熟练掌握$y=x^2$的图象特征，不要忽略顶点是开口向上的抛物线的最低点，避免直接代入区间两端点计算导致最小值判断错误。
【难度系数】
0.7
