10. 在平面直角坐标系中，将点$A(m+1,n-2)$先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点$A'$.若点$A'$位于第二象限，则$m,n$的取值范围是（）

A.$m＞1,n＜-2$
B.$m＞1,n＞-2$
C.$m＜1,n＜-2$
D.$m＜1,n＞-2$

10.D

【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中点的平移坐标变化规律：横坐标遵循“左减右加”，纵坐标遵循“上加下减”，先根据平移规则求出平移后点$A'$的坐标；再结合第二象限内点的坐标特征（横坐标为负，纵坐标为正），列出关于$m$、$n$的一元一次不等式；最后分别解不等式即可得到$m$、$n$的取值范围，对应选项选出答案。
【解析】
1. 求平移后点$A'$的坐标：
点$A(m+1,n-2)$向左平移2个单位长度，横坐标减少2，变为$(m+1)-2=m-1$；
再向上平移4个单位长度，纵坐标增加4，变为$(n-2)+4=n+2$；
因此点$A'$的坐标为$(m-1, n+2)$。
2. 根据第二象限点的特征列不等式：
第二象限内的点满足横坐标小于0，纵坐标大于0，因此可得：
$\begin{cases}m-1＜0 \\ n+2＞0 \end{cases}$
3. 解不等式：
解$m-1＜0$，得$m＜1$；
解$n+2＞0$，得$n＞-2$。
综上，$m$、$n$的取值范围是$m＜1$，$n＞-2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
点的平移坐标规律，象限内点的坐标特征，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类应用题，结合点的平移与象限坐标特征两个知识点进行考查，解题核心是准确记忆平移的坐标变化规则和各象限点的坐标符号特点，只要掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

11. 如图,将点$A_1(1,1)$先向上平移1个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到点$A_2$;将点$A_2$先向上平移2个单位长度,再向右平移4个单位长度,得到点$A_3$;将点$A_3$先向上平移4个单位长度,再向右平移8个单位长度,得到点$A_4$……按这个规律平移得到点$A_n$,则点$A_{2026}$的横坐标为 ()

A.$2^{2026}$
B.$2^{2026}-1$
C.$2^{2025}-1$
D.$2^{2025}+1$

11.B 【点拨】点$A_1$的横坐标为$1=2^1-1$,点$A_2$的横坐标为$1+2=3=2^2-1$,点$A_3$的横坐标为$1+2+4=7=2^3-1$,点$A_4$的横坐标为$1+2+4+8=15=2^4-1$,$\dots$,按这个规律平移得到点$A_n$的横坐标为$2^n-1$,所以点$A_{2026}$的横坐标为$2^{2026}-1$,故选B.

【分析】
解决本题首先要明确坐标系中点的平移规则：点向上平移时横坐标不变，向右平移时横坐标增加对应平移长度，因此我们只需累计每次向右平移的长度，结合初始点$A_1$的横坐标，先计算前几个点$A_1$、$A_2$、$A_3$、$A_4$的横坐标，再观察数字规律，归纳出点$A_n$横坐标的通用表达式，最后代入$n=2026$即可得到结果。
【解析】
根据平移规则，横坐标仅在向右平移时增加：
点$A_1$的横坐标为$1=2^1-1$；
点$A_2$是$A_1$向右平移2个单位得到，横坐标为$1+2=3=2^2-1$；
点$A_3$是$A_2$向右平移4个单位得到，横坐标为$3+4=7=2^3-1$；
点$A_4$是$A_3$向右平移8个单位得到，横坐标为$7+8=15=2^4-1$；
观察上述结果可归纳规律：点$A_n$的横坐标为$2^n -1$。
当$n=2026$时，点$A_{2026}$的横坐标为$2^{2026}-1$，因此选B。
【答案】B
【知识点】点的平移规律；数字规律探究
【点评】本题是典型的规律探索类题目，解题的核心是先通过计算前几个特殊点的坐标，归纳出通用规律，再利用规律求解任意项的结果，需要学生具备一定的观察和归纳能力。
【难度系数】0.7

12. 如图，平面直角坐标系的第一象限内有$P(m-4,n)$，$Q(m,n-3)$两点，将线段$PQ$平移，使点$P$，$Q$分别落在两条坐标轴上，则点$P$平移后的对应点的坐标是。

12.(0,3)或(-4,0) 【点拨】设平移后点$P$,$Q$的对应点分别是点$P'$,$Q'$.分两种情况:①点$P'$在$y$轴上,点$Q'$在$x$轴上,则点$P'$的横坐标为0,点$Q'$的纵坐标为0.因为$0-(n-3)=-n+3$,所以$n-n+3=3$,所以点$P$平移后的对应点的坐标是$(0,3)$;②点$P'$在$x$轴上,点$Q'$在$y$轴上,则点$P'$的纵坐标为0,点$Q'$的横坐标为0.因为$0-m=-m$,所以$m-4-m=-4$,所以点$P$平移后的对应点的坐标是$(-4,0)$,综上可知,点$P$平移后的对应点的坐标是$(0,3)$或$(-4,0)$.

【分析】
解决这道题首先要明确平移的性质：平移过程中，对应点的横坐标变化量相同，纵坐标变化量也相同。已知平移后点P、Q分别落在两条坐标轴上，因此需要分两种情况讨论：①平移后点P的对应点在y轴上，点Q的对应点在x轴上；②平移后点P的对应点在x轴上，点Q的对应点在y轴上。再结合坐标轴上点的坐标特征（x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0），计算出点P平移后的坐标即可。
【解析】
设平移后点P、Q的对应点分别为$P'$、$Q'$，分两种情况讨论：
① 若$P'$在y轴上，$Q'$在x轴上：
y轴上的点横坐标为0，x轴上的点纵坐标为0，因此$Q'$的纵坐标为0。
平移的纵坐标变化量为$0-(n-3)=3-n$，则$P'$的纵坐标为$n+(3-n)=3$，横坐标为0，即$P'(0,3)$。
② 若$P'$在x轴上，$Q'$在y轴上：
x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，因此$Q'$的横坐标为0。
平移的横坐标变化量为$0-m=-m$，则$P'$的横坐标为$(m-4)+(-m)=-4$，纵坐标为0，即$P'(-4,0)$。
【答案】
$(0,3)$或$(-4,0)$
【知识点】
1. 平移的坐标性质
2. 坐标轴上点的坐标特征
3. 分类讨论思想
【点评】
本题需要结合平移的坐标变化规律解题，易错点是容易遗漏其中一种平移情况，解题时要注意分类讨论，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.6

13. 新题型结论开放题 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为$(-1,0),(3,0)$,现同时将点A,B分别向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到A,B的对应点C,D,连接AC,BD,CD.
(1)直接写出点C,D的坐标,并求出四边形ABDC的面积.
(2)在x轴上是否存在点F,使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.

13.【解】(1)$C(0,2)$,$D(4,2)$.
$S_{\mathrm{四边形}ABDC}=AB· OC=[3-(-1)]×2=8$.
(2)在$x$轴上存在点$F$,使得三角形$DFC$的面积是三角形$DFB$面积的2倍.易知当$BF=\dfrac{1}{2}CD$时,三角形$DFC$的面积是三角形$DFB$面积的2倍.
因为$C(0,2)$,$D(4,2)$,所以$CD=4$,所以$BF=\dfrac{1}{2}CD=2$.
因为$B(3,0)$,所以点$F$的坐标为$(1,0)$或$(5,0)$.

【分析】
（1）解题思路：首先根据点平移的坐标变化规律“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”，代入A、B的坐标即可求出C、D的坐标；由平移性质可知四边形ABDC是平行四边形，底为AB的长度，高为平移的竖直距离2，用底乘高即可计算面积。
（2）解题思路：先分析△DFC和△DFB的高，两个三角形的高都等于CD与x轴的距离（即2），高相等时面积比等于底边长的比，因此要使△DFC面积是△DFB的2倍，只需CD=2BF；先求出CD的长度，得到BF的长度，再分F在B点左侧、右侧两种情况计算F的坐标即可。
【解析】
(1) 点的平移规则为：横坐标右移加，纵坐标上移加。
点A(-1,0)向上平移2个单位、向右平移1个单位，横坐标为-1+1=0，纵坐标为0+2=2，即$C(0,2)$；
点B(3,0)向上平移2个单位、向右平移1个单位，横坐标为3+1=4，纵坐标为0+2=2，即$D(4,2)$。
由平移性质可知$AB// CD$，$AB=CD$，四边形ABDC为平行四边形，
AB的长度为$3-(-1)=4$，平行四边形的高为$OC=2$，
因此$S_{\mathrm{四边形}ABDC}=AB· OC=4×2=8$。
(2) 存在符合条件的点F，理由如下：
因为CD在直线$y=2$上，点F在x轴上，所以△DFC的高为2（CD到x轴的距离），△DFB的高也为2（点D到x轴的距离），两个三角形高相等。
若$S_{△ DFC}=2S_{△ DFB}$，则底边长满足$CD=2BF$。
由$C(0,2)$、$D(4,2)$得$CD=4$，因此$BF=\frac{1}{2}CD=2$。
已知B点坐标为$(3,0)$：
① 当F在B点左侧时，F的横坐标为$3-2=1$，即$F(1,0)$；
② 当F在B点右侧时，F的横坐标为$3+2=5$，即$F(5,0)$。
【答案】
(1) $C(0,2)$，$D(4,2)$，四边形ABDC的面积为$\boldsymbol{8}$；
(2) 存在，点F的坐标为$\boldsymbol{(1,0)}$或$\boldsymbol{(5,0)}$。
【知识点】
坐标平移规律、平行四边形面积计算、三角形面积计算
【点评】
本题考查了坐标系中图形平移的性质和面积计算，第二问解题的关键是明确两个三角形高相等，将面积关系转化为底的长度关系，同时要注意分情况讨论点F的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7

14. 对于平面直角坐标系中的图形$M$上的任意点$P(x,y)$,给出如下定义:将点$P(x,y)$平移到$P'(x+a,y-a)$称为将点$P$进行“$a$型平移”,点$P'$称为将点$P$进行“$a$型平移”的对应点;将图形$M$上的所有点进行“$a$型平移”称为将图形$M$进行“$a$型平移”.例如,将点$P(x,y)$平移到$P'(x+1,y-1)$称为将点$P$进行“$1$型平移”,将点$Q(x,y)$平移到$Q'(x-1,y+1)$称为将点$Q$进行“$-1$型平移”.如图,已知点$A(-1,4),B(2,3)$.
(1)画出线段$AB$进行“$2$型平移”后的对应线段$A'B'$,并直接写出$A',B'$的坐标;
(2)(1)中的四边形$ABB'A'$的面积为________;
(3)将线段$AB$进行“$a$型平移”后与$x$轴有公共点,则$a$的取值范围是________;
(4)将(1)中的四边形$ABB'A'$进行“$a$型平移”后与坐标轴有公共点,则$a$的取值范围是________.

14.【解】(1)如图,线段$A'B'$即为所求.$A'(1,2)$,$B'(4,1)$.

(2)4 【点拨】如图,延长$AB$至$T$,使$BT=AB$,连接$A'B$,$B'T$,易知四边形$ABB'A'$的面积与四边形$BA'B'T$的面积相等,为$2×4-2×\dfrac{1}{2}×1×1-2×\dfrac{1}{2}×1×3=4$.
(3)$3≤ a≤4$
(4)$-4≤ a≤4$

【分析】
(1) 先明确“a型平移”的规则：点$(x,y)$平移后变为$(x+a,y-a)$。求解“2型平移”后的点坐标时，将$a=2$代入平移规则，分别计算A、B两点平移后的坐标，再连接两点即可得到线段$A'B'$。
(2) 平移后线段AB和$A'B'$平行且相等，因此四边形$ABB'A'$是平行四边形，可通过割补法，用包围四边形的矩形面积减去周围多余三角形的面积，即可求出四边形的面积。
(3) 线段AB进行“a型平移”后点的纵坐标为$y-a$，与x轴有公共点说明存在点满足$y-a=0$即$a=y$，只需找到线段AB上所有点的纵坐标的取值范围，即可得到a的取值范围。
(4) 先确定四边形$ABB'A'$所有点的横坐标、纵坐标的取值范围，进行“a型平移”后与坐标轴有公共点分两种情况：①与y轴有公共点，即平移后存在点的横坐标$x+a=0$，即$x=-a$，结合x的取值范围求a的范围；②与x轴有公共点，即平移后存在点的纵坐标$y-a=0$，即$y=a$，结合y的取值范围求a的范围，最后合并两个范围即可。
【解析】
(1) 根据“a型平移”的定义，“2型平移”即$a=2$，点平移后坐标为$(x+2,y-2)$。
将$A(-1,4)$代入得：$A'$的横坐标为$-1+2=1$，纵坐标为$4-2=2$，即$A'(1,2)$；
将$B(2,3)$代入得：$B'$的横坐标为$2+2=4$，纵坐标为$3-2=1$，即$B'(4,1)$。
在坐标系中描出$A'$、$B'$，连接$A'B'$，即为所求线段。
(2) 由平移性质可知$AB// A'B'$且$AB=A'B'$，故四边形$ABB'A'$是平行四边形。用割补法计算面积：$2×4 - 2×(\dfrac{1}{2}×1×1) - 2×(\dfrac{1}{2}×1×3)=8-1-3=4$。
(3) 线段AB上任意点$(x,y)$进行“a型平移”后坐标为$(x+a,y-a)$，若与x轴有公共点，则$y-a=0$即$a=y$。线段AB上点的纵坐标y的取值范围是$3≤ y≤4$，因此a的取值范围是$3≤ a≤4$。
(4) 四边形$ABB'A'$上点的横坐标范围是$-1≤ x≤4$，纵坐标范围是$1≤ y≤4$。进行“a型平移”后：
①若与y轴有公共点，则$x+a=0$即$x=-a$，故$-1≤ -a≤4$，解得$-4≤ a≤1$；
②若与x轴有公共点，则$y-a=0$即$y=a$，故$1≤ a≤4$；
合并两个范围得a的取值范围是$-4≤ a≤4$。
【答案】
(1) 如图，线段$A'B'$即为所求。$A'(1,2)$，$B'(4,1)$。

(2) 4
(3) $3≤ a≤ 4$
(4) $-4≤ a≤ 4$
【知识点】
平移变换，平面直角坐标系，坐标与图形性质
【点评】
本题以新定义“a型平移”为背景，结合平面直角坐标系的性质，考查了点的坐标变换、图形面积计算、取值范围求解等内容，要求准确理解新定义，结合图形的坐标特征分析问题，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6