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1. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$.已知$AD=8$，$BD=12$，$AC=6$，则$△ OBC$的周长为(
A.26
B.20
C.17
D.13
C
).A.26
B.20
C.17
D.13
答案
C
解析
【分析】要计算△OBC的周长，需要先确定它的三条边的长度。首先根据平行四边形对边相等的性质，可得到BC的长度等于已知的AD的长度；再根据平行四边形对角线互相平分的性质，可分别求出OB、OC的长度，最后将三条边长度相加就能得到周长。
【解析】解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=8（平行四边形对边相等）
OB=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AC（平行四边形对角线互相平分）
已知BD=12，AC=6
∴OB=$\frac{1}{2}$×12=6，OC=$\frac{1}{2}$×6=3
∴△OBC的周长=OB+OC+BC=6+3+8=17
【答案】C
【知识点】平行四边形对边相等；平行四边形对角线互相平分；三角形周长计算
【点评】本题属于基础题，主要考查平行四边形性质的直接应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的相关性质，准确代入数值计算即可。
【难度系数】0.8
【解析】解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=8（平行四边形对边相等）
OB=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AC（平行四边形对角线互相平分）
已知BD=12，AC=6
∴OB=$\frac{1}{2}$×12=6，OC=$\frac{1}{2}$×6=3
∴△OBC的周长=OB+OC+BC=6+3+8=17
【答案】C
【知识点】平行四边形对边相等；平行四边形对角线互相平分；三角形周长计算
【点评】本题属于基础题，主要考查平行四边形性质的直接应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的相关性质，准确代入数值计算即可。
【难度系数】0.8
2. 如图，在$□ ABCD$中，M是BC延长线上的一点.若$∠ A=135°$，则$∠ MCD$的度数是(
A.$45°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$75°$
A
).A.$45°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$75°$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的角的相关性质：平行四边形的对角相等。我们要求∠MCD的度数，观察图形可知∠MCD和∠BCD组成平角，二者之和为180°，因此只需要先求出∠BCD的度数即可。已知∠A=135°，根据平行四边形对角相等可得∠BCD=∠A，代入计算就能得到∠MCD的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BCD = ∠A = 135°（平行四边形的对角相等）
∵点M在BC的延长线上，∠BCD与∠MCD互为邻补角
∴∠BCD + ∠MCD = 180°
∴∠MCD = 180° - 135° = 45°
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；邻补角计算；平角定义
【点评】
本题是基础类考题，重点考查平行四边形角的性质的应用，解题的核心是明确已知角和待求角之间的数量关系，熟练掌握平行四边形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平行四边形的角的相关性质：平行四边形的对角相等。我们要求∠MCD的度数，观察图形可知∠MCD和∠BCD组成平角，二者之和为180°，因此只需要先求出∠BCD的度数即可。已知∠A=135°，根据平行四边形对角相等可得∠BCD=∠A，代入计算就能得到∠MCD的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BCD = ∠A = 135°（平行四边形的对角相等）
∵点M在BC的延长线上，∠BCD与∠MCD互为邻补角
∴∠BCD + ∠MCD = 180°
∴∠MCD = 180° - 135° = 45°
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；邻补角计算；平角定义
【点评】
本题是基础类考题，重点考查平行四边形角的性质的应用，解题的核心是明确已知角和待求角之间的数量关系，熟练掌握平行四边形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3.如图，在$□ ABCD$中，连接$AC$，$∠ ABC=∠ CAD=45°$，$AB=\sqrt{2}$，则$BC$的长是（
A.$\sqrt{2}$
B.2
C.$2\sqrt{2}$
D.4
B
）。A.$\sqrt{2}$
B.2
C.$2\sqrt{2}$
D.4
答案
B
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形对边平行的性质，得到内错角∠ACB=∠CAD，将已知角转化到△ABC中；随后观察△ABC的内角，可判断出△ABC是等腰直角三角形；最后利用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ACB=∠CAD=45°（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，且AB=AC=√2（等角对等边），即△ABC为等腰直角三角形。
根据勾股定理可得：
$BC^2=AB^2+AC^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=2+2=4$，
∵BC为线段长度，取正值，
∴BC=2。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于平行四边形性质的基础应用题型，解题的核心是通过平行四边形的性质将已知角转移到同一个三角形中，判断三角形的特殊形状后结合勾股定理计算边长，考查了学生对基础性质的运用和转化思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合平行四边形对边平行的性质，得到内错角∠ACB=∠CAD，将已知角转化到△ABC中；随后观察△ABC的内角，可判断出△ABC是等腰直角三角形；最后利用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ACB=∠CAD=45°（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，且AB=AC=√2（等角对等边），即△ABC为等腰直角三角形。
根据勾股定理可得：
$BC^2=AB^2+AC^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=2+2=4$，
∵BC为线段长度，取正值，
∴BC=2。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于平行四边形性质的基础应用题型，解题的核心是通过平行四边形的性质将已知角转移到同一个三角形中，判断三角形的特殊形状后结合勾股定理计算边长，考查了学生对基础性质的运用和转化思想。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ ABC$的平分线交AD于点E,$∠ BED=150°$,则$∠ A$的度数为(
A.$150°$
B.$130°$
C.$120°$
D.$100°$
C
).A.$150°$
B.$130°$
C.$120°$
D.$100°$
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知的∠BED=150°入手，利用邻补角的性质求出∠AEB的度数；再结合平行四边形对边平行的性质，得到内错角∠AEB=∠EBC；然后根据角平分线的定义推出∠ABE=∠EBC，进而得到△ABE中∠ABE=∠AEB；最后利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠BED=150°，∠AEB与∠BED互为邻补角，
∴∠AEB=180°-∠BED=180°-150°=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB=30°，
在△ABE中，根据三角形内角和为180°，
∴∠A=180°-∠ABE-∠AEB=180°-30°-30°=120°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握平行四边形的性质，结合角平分线的性质找到相等的角，再利用三角形内角和计算角度，是平行四边形角度计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的∠BED=150°入手，利用邻补角的性质求出∠AEB的度数；再结合平行四边形对边平行的性质，得到内错角∠AEB=∠EBC；然后根据角平分线的定义推出∠ABE=∠EBC，进而得到△ABE中∠ABE=∠AEB；最后利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠BED=150°，∠AEB与∠BED互为邻补角，
∴∠AEB=180°-∠BED=180°-150°=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB=30°，
在△ABE中，根据三角形内角和为180°，
∴∠A=180°-∠ABE-∠AEB=180°-30°-30°=120°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握平行四边形的性质，结合角平分线的性质找到相等的角，再利用三角形内角和计算角度，是平行四边形角度计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$□ ABCD$中，BE平分$∠ ABC$交AD于点E，CF平分$∠ BCD$交AD于点F，若$AB=3\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，则EF的长为（
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
A
）。A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
答案
A
解析
【分析】
遇到平行四边形的线段计算问题，首先回忆平行四边形对边平行且相等的基本性质；当题目同时出现平行线和角平分线时，可利用“两直线平行内错角相等”推导等腰三角形，得到相等的线段。我们可以先分别求出AE、DF的长度，再结合AD的总长度，通过线段和差关系求出重叠部分EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD=3cm，AD=BC=5cm，
∴∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3cm，
同理：∠DFC=∠BCF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=CD=3cm，
∴EF=AE+DF - AD=3+3-5=1cm。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形相关的基础常考题，解题核心是抓住“平行线+角平分线”的典型模型推导等腰三角形，进而得到等线段，再通过线段的和差关系计算结果，思路清晰易懂。
【难度系数】
0.7
遇到平行四边形的线段计算问题，首先回忆平行四边形对边平行且相等的基本性质；当题目同时出现平行线和角平分线时，可利用“两直线平行内错角相等”推导等腰三角形，得到相等的线段。我们可以先分别求出AE、DF的长度，再结合AD的总长度，通过线段和差关系求出重叠部分EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD=3cm，AD=BC=5cm，
∴∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3cm，
同理：∠DFC=∠BCF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=CD=3cm，
∴EF=AE+DF - AD=3+3-5=1cm。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形相关的基础常考题，解题核心是抓住“平行线+角平分线”的典型模型推导等腰三角形，进而得到等线段，再通过线段的和差关系计算结果，思路清晰易懂。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$□ ABCD$与$□ DCFE$的周长相等，且$∠ BAD=60°$，$∠ F=110°$，则$∠ DAE$的度数为（
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
B
）。A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据平行四边形对边相等的性质，结合两个平行四边形周长相等、且有公共边CD的条件，推导得到AD=DE，确定△ADE为等腰三角形；第二步，利用平行四边形邻角互补、对角相等的性质，分别求出∠ADC和∠CDE的度数，再结合周角为360°，算出等腰△ADE的顶角∠ADE的度数；第三步，根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，计算出∠DAE的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=60°
∴ AB=CD，∠ADC=180°-∠BAD=180°-60°=120°（平行四边形邻角互补）
∵ 四边形DCFE是平行四边形，∠F=110°
∴ CD=EF，∠CDE=∠F=110°（平行四边形对角相等）
∵ □ABCD与□DCFE的周长相等
∴ 2(AB+AD)=2(CD+DE)，又AB=CD
∴ AD=DE，即△ADE是等腰三角形，∠DAE=∠DEA
∵ 在点D处，∠ADC+∠CDE+∠ADE=360°
∴ ∠ADE=360°-120°-110°=130°
在△ADE中，∠DAE=(180°-∠ADE)÷2=(180°-130°)÷2=25°
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于平行四边形与等腰三角形的综合基础题，解题的核心是先通过周长关系得到AD=DE，再准确计算等腰三角形顶角的度数，解题时需注意各角的位置关系，避免计算角度时出错。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，根据平行四边形对边相等的性质，结合两个平行四边形周长相等、且有公共边CD的条件，推导得到AD=DE，确定△ADE为等腰三角形；第二步，利用平行四边形邻角互补、对角相等的性质，分别求出∠ADC和∠CDE的度数，再结合周角为360°，算出等腰△ADE的顶角∠ADE的度数；第三步，根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，计算出∠DAE的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=60°
∴ AB=CD，∠ADC=180°-∠BAD=180°-60°=120°（平行四边形邻角互补）
∵ 四边形DCFE是平行四边形，∠F=110°
∴ CD=EF，∠CDE=∠F=110°（平行四边形对角相等）
∵ □ABCD与□DCFE的周长相等
∴ 2(AB+AD)=2(CD+DE)，又AB=CD
∴ AD=DE，即△ADE是等腰三角形，∠DAE=∠DEA
∵ 在点D处，∠ADC+∠CDE+∠ADE=360°
∴ ∠ADE=360°-120°-110°=130°
在△ADE中，∠DAE=(180°-∠ADE)÷2=(180°-130°)÷2=25°
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于平行四边形与等腰三角形的综合基础题，解题的核心是先通过周长关系得到AD=DE，再准确计算等腰三角形顶角的度数，解题时需注意各角的位置关系，避免计算角度时出错。
【难度系数】
0.7
