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1 [中] (1) 已知$x, y$是有理数, 若$y = \frac{\sqrt{x^2 -4} + \sqrt{4 -x^2}}{x -2} -4$, 求$xy$的平方根;
(2) 已知$a, b$是等腰$△ ABC$的两边长, 且满足$2a^2 -4a +4 =2 -5\sqrt{b -3}$, 求$△ ABC$的周长.
(2) 已知$a, b$是等腰$△ ABC$的两边长, 且满足$2a^2 -4a +4 =2 -5\sqrt{b -3}$, 求$△ ABC$的周长.
答案
(1) 由题意,得 $x^2-4≥0,4-x^2≥0$,且 $x-2≠0$,解得 $x=-2$,所以 $y=-4$,所以 $xy=8$,所以 $xy$ 的平方根是$\pm2\sqrt{2}$.
(2)$2a^2-4a+4=2-5\sqrt{b-3}$,$2(a-1)^2+2=2-5\sqrt{b-3}$,即 $2(a-1)^2+5\sqrt{b-3}=0$,所以 $a-1=0,b-3=0$,所以 $a=1,b=3$. 当 $a=1$ 为腰长时,三边长分别为 1,1,3,不符合三角形三边关系,舍去;当 $b=3$ 为腰长时,三边长分别为 3,3,1,符合三角形三边关系,所以 $△ ABC$ 的周长为 $3+3+1=7$.
注意题目中没有说明等腰三角形的哪条边是腰时,要进行分类讨论.
(2)$2a^2-4a+4=2-5\sqrt{b-3}$,$2(a-1)^2+2=2-5\sqrt{b-3}$,即 $2(a-1)^2+5\sqrt{b-3}=0$,所以 $a-1=0,b-3=0$,所以 $a=1,b=3$. 当 $a=1$ 为腰长时,三边长分别为 1,1,3,不符合三角形三边关系,舍去;当 $b=3$ 为腰长时,三边长分别为 3,3,1,符合三角形三边关系,所以 $△ ABC$ 的周长为 $3+3+1=7$.
注意题目中没有说明等腰三角形的哪条边是腰时,要进行分类讨论.
解析
【分析】
(1) 要求$xy$的平方根，需先确定$x$、$y$的取值。要使含二次根式的分式有意义，需同时满足两个要求：一是二次根式的被开方数为非负数，二是分式的分母不为0，结合这两个条件先求出$x$的值，再代入原式计算$y$，最后求$xy$的平方根即可。
(2) 要求等腰三角形的周长，需先求出$a$、$b$的值。先将给出的等式通过配方变形为两个非负数相加和为0的形式，根据平方、算术平方根的非负性，可推出每个非负项均为0，即可求出$a$、$b$；再结合等腰三角形的性质分类讨论腰长，同时验证每种情况是否满足三角形三边关系，最终计算符合条件的周长即可。
【解析】
(1) 要使$y = \frac{\sqrt{x^2 -4} + \sqrt{4 -x^2}}{x -2} -4$有意义，需满足：
$\begin{cases}x^2 - 4 ≥ 0 \\4 - x^2 ≥ 0 \\x - 2 ≠ 0\end{cases}$
由$x^2 - 4 ≥ 0$和$4 - x^2 ≥ 0$可得$x^2=4$，即$x=\pm2$，结合$x≠2$，解得$x=-2$。
将$x=-2$代入原式得$y=\frac{0+0}{-2-2}-4=-4$。
则$xy=(-2)×(-4)=8$，$8$的平方根为$\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$。
(2) 对等式$2a^2 -4a +4 =2 -5\sqrt{b -3}$变形：
移项配方得$2(a-1)^2 +5\sqrt{b-3}=0$。
因为$(a-1)^2≥0$，$\sqrt{b-3}≥0$，两个非负数的和为0时，每一项均为0，因此：
$\begin{cases}a-1=0 \\b-3=0\end{cases}$
解得$a=1$，$b=3$。
结合等腰三角形的性质分类讨论：
① 若$a=1$为腰长，三边长为1、1、3，$1+1=2＜3$，不满足三角形三边关系，舍去；
② 若$b=3$为腰长，三边长为3、3、1，$1+3＞3$，满足三边关系，此时周长为$3+3+1=7$。
【答案】
(1) $\pm2\sqrt{2}$；(2) $7$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 非负数的性质
3. 等腰三角形与三边关系
【点评】
本题是二次根式与几何的综合基础题，解题时要注意隐含条件的挖掘：第一问不要遗漏分母不为0的要求，避免误取$x=2$出错；第二问等腰三角形未明确腰长时必须分类讨论，且所有情况都要验证是否符合三角形三边关系，排除不合题意的情况。
【难度系数】
0.65
(1) 要求$xy$的平方根，需先确定$x$、$y$的取值。要使含二次根式的分式有意义，需同时满足两个要求：一是二次根式的被开方数为非负数，二是分式的分母不为0，结合这两个条件先求出$x$的值，再代入原式计算$y$，最后求$xy$的平方根即可。
(2) 要求等腰三角形的周长，需先求出$a$、$b$的值。先将给出的等式通过配方变形为两个非负数相加和为0的形式，根据平方、算术平方根的非负性，可推出每个非负项均为0，即可求出$a$、$b$；再结合等腰三角形的性质分类讨论腰长，同时验证每种情况是否满足三角形三边关系，最终计算符合条件的周长即可。
【解析】
(1) 要使$y = \frac{\sqrt{x^2 -4} + \sqrt{4 -x^2}}{x -2} -4$有意义，需满足：
$\begin{cases}x^2 - 4 ≥ 0 \\4 - x^2 ≥ 0 \\x - 2 ≠ 0\end{cases}$
由$x^2 - 4 ≥ 0$和$4 - x^2 ≥ 0$可得$x^2=4$，即$x=\pm2$，结合$x≠2$，解得$x=-2$。
将$x=-2$代入原式得$y=\frac{0+0}{-2-2}-4=-4$。
则$xy=(-2)×(-4)=8$，$8$的平方根为$\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$。
(2) 对等式$2a^2 -4a +4 =2 -5\sqrt{b -3}$变形：
移项配方得$2(a-1)^2 +5\sqrt{b-3}=0$。
因为$(a-1)^2≥0$，$\sqrt{b-3}≥0$，两个非负数的和为0时，每一项均为0，因此：
$\begin{cases}a-1=0 \\b-3=0\end{cases}$
解得$a=1$，$b=3$。
结合等腰三角形的性质分类讨论：
① 若$a=1$为腰长，三边长为1、1、3，$1+1=2＜3$，不满足三角形三边关系，舍去；
② 若$b=3$为腰长，三边长为3、3、1，$1+3＞3$，满足三边关系，此时周长为$3+3+1=7$。
【答案】
(1) $\pm2\sqrt{2}$；(2) $7$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 非负数的性质
3. 等腰三角形与三边关系
【点评】
本题是二次根式与几何的综合基础题，解题时要注意隐含条件的挖掘：第一问不要遗漏分母不为0的要求，避免误取$x=2$出错；第二问等腰三角形未明确腰长时必须分类讨论，且所有情况都要验证是否符合三角形三边关系，排除不合题意的情况。
【难度系数】
0.65
2[中]如图，点P在数轴上对应的数为x，且点P在A，B两点之间. 化简：$|x-2| - \sqrt{(x-3)^2} + \sqrt{4x^2 -20x +25}$. 
答案
由数轴知$-1 ＜ x ＜ 2$, 所以$|x-2| - \sqrt{(x-3)^2} + \sqrt{4x^2 -20x +25} = 2 -x -(3 -x) + |2x -5| = 2 -x -3 +x -2x +5 = 4 -2x$.
解析
【分析】
解题第一步先从数轴读取x的取值范围：点P在A、B两点之间，A对应数-1，B对应数2，因此可得$-1＜x＜2$。接下来利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式中的二次根式全部转化为绝对值形式，再结合x的取值范围判断每个绝对值内代数式的正负性，去掉绝对值符号后合并同类项即可完成化简。
【解析】
解：由数轴可知点P在A、B之间，因此$-1 ＜ x ＜ 2$。
根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，对原式变形：
$\begin{aligned}|x-2| - \sqrt{(x-3)^2} + \sqrt{4x^2 -20x +25}&=|x-2| - |x-3| + \sqrt{(2x-5)^2}\\&=|x-2| - |x-3| + |2x-5|\end{aligned}$
结合x的范围判断各绝对值内式子的正负：
∵$x＜2$，
∴$x-2＜0$，即$|x-2|=2-x$；
∵$x＜2＜3$，
∴$x-3＜0$，即$|x-3|=3-x$；
∵$x＜2$，
∴$2x＜4$，$2x-5＜0$，即$|2x-5|=5-2x$。
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2-x - (3-x) + (5-2x)\\&=2-x -3 +x +5 -2x\\&=4-2x\end{aligned}$
【答案】
$4-2x$
【知识点】
数轴的应用、二次根式的性质、绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的常见题型，解题核心是先通过数轴确定未知数的取值范围，再结合二次根式与绝对值的性质去符号计算，解题时需注意完全平方公式的正确变形，避免去绝对值时符号出错。
【难度系数】
0.6
解题第一步先从数轴读取x的取值范围：点P在A、B两点之间，A对应数-1，B对应数2，因此可得$-1＜x＜2$。接下来利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式中的二次根式全部转化为绝对值形式，再结合x的取值范围判断每个绝对值内代数式的正负性，去掉绝对值符号后合并同类项即可完成化简。
【解析】
解：由数轴可知点P在A、B之间，因此$-1 ＜ x ＜ 2$。
根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，对原式变形：
$\begin{aligned}|x-2| - \sqrt{(x-3)^2} + \sqrt{4x^2 -20x +25}&=|x-2| - |x-3| + \sqrt{(2x-5)^2}\\&=|x-2| - |x-3| + |2x-5|\end{aligned}$
结合x的范围判断各绝对值内式子的正负：
∵$x＜2$，
∴$x-2＜0$，即$|x-2|=2-x$；
∵$x＜2＜3$，
∴$x-3＜0$，即$|x-3|=3-x$；
∵$x＜2$，
∴$2x＜4$，$2x-5＜0$，即$|2x-5|=5-2x$。
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2-x - (3-x) + (5-2x)\\&=2-x -3 +x +5 -2x\\&=4-2x\end{aligned}$
【答案】
$4-2x$
【知识点】
数轴的应用、二次根式的性质、绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的常见题型，解题核心是先通过数轴确定未知数的取值范围，再结合二次根式与绝对值的性质去符号计算，解题时需注意完全平方公式的正确变形，避免去绝对值时符号出错。
【难度系数】
0.6
3[2026 山东济南期中,中]已知$a=3+\sqrt{3},b=3-\sqrt{3}$.
(1)求代数式$ab$的值;
(2)求代数式$a^2+b^2$的值.
(1)求代数式$ab$的值;
(2)求代数式$a^2+b^2$的值.
答案
(1)因为 $a=3+\sqrt{3},b=3-\sqrt{3}$, 所以 $ab=(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})=9-3=6$.
(2)先计算出$a+b=6$,再利用完全平方公式得到$a^2 + b^2=(a+b)^2-2ab$,然后将$a+b=6,ab=6$代入计算即可.
因为 $a=3+\sqrt{3},b=3-\sqrt{3}$, 所以 $a+b=6$,所以 $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=6^2-2×6=24$.
(2)先计算出$a+b=6$,再利用完全平方公式得到$a^2 + b^2=(a+b)^2-2ab$,然后将$a+b=6,ab=6$代入计算即可.
因为 $a=3+\sqrt{3},b=3-\sqrt{3}$, 所以 $a+b=6$,所以 $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=6^2-2×6=24$.
解析
【分析】
(1)观察a、b的代数式形式，恰好符合平方差公式的结构特征，因此计算ab时可以直接套用平方差公式，无需逐项相乘，简化计算过程。(2)若直接计算a²和b²再相加，运算量较大，可利用完全平方公式的变形：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，结合(1)中已经求出的ab的值，只需要先算出a+b的和，再整体代入变形公式即可快速得到结果，减少计算失误。
【解析】
(1)已知$a=3+\sqrt{3}$，$b=3-\sqrt{3}$，代入ab可得：
$ab=(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})=3^2-(\sqrt{3})^2=9-3=6$
(2)先计算a与b的和：$a+b=(3+\sqrt{3})+(3-\sqrt{3})=6$
根据完全平方公式的变形得：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=6$，$ab=6$代入上式：
$a^2+b^2=6^2-2×6=36-12=24$
【答案】
(1)$\boxed{6}$；(2)$\boxed{24}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，二次根式运算
【点评】
本题是二次根式化简求值的常见题型，解题核心是灵活运用乘法公式及其变形简化运算，避免繁琐的逐项计算，降低出错概率，需要熟练掌握乘法公式的常用变形。
【难度系数】
0.7
(1)观察a、b的代数式形式，恰好符合平方差公式的结构特征，因此计算ab时可以直接套用平方差公式，无需逐项相乘，简化计算过程。(2)若直接计算a²和b²再相加，运算量较大，可利用完全平方公式的变形：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，结合(1)中已经求出的ab的值，只需要先算出a+b的和，再整体代入变形公式即可快速得到结果，减少计算失误。
【解析】
(1)已知$a=3+\sqrt{3}$，$b=3-\sqrt{3}$，代入ab可得：
$ab=(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})=3^2-(\sqrt{3})^2=9-3=6$
(2)先计算a与b的和：$a+b=(3+\sqrt{3})+(3-\sqrt{3})=6$
根据完全平方公式的变形得：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=6$，$ab=6$代入上式：
$a^2+b^2=6^2-2×6=36-12=24$
【答案】
(1)$\boxed{6}$；(2)$\boxed{24}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，二次根式运算
【点评】
本题是二次根式化简求值的常见题型，解题核心是灵活运用乘法公式及其变形简化运算，避免繁琐的逐项计算，降低出错概率，需要熟练掌握乘法公式的常用变形。
【难度系数】
0.7
4[2026 山东泰安质检,中]已知$\sqrt{2026+x} - \sqrt{1+x}=2$,求$\sqrt{2026+x} + \sqrt{1+x}$的值.
答案
因为$(\sqrt{2026+x} - \sqrt{1+x})(\sqrt{2026+x} + \sqrt{1+x})=(\sqrt{2026+x})^2 - (\sqrt{1+x})^2=2026+x-1-x=2025$,且$\sqrt{2026+x} - \sqrt{1+x}=2$,所以$\sqrt{2026+x} + \sqrt{1+x}=\frac{2025}{2}=1012.5$.
解析
【分析】
观察题目可知，已知两个二次根式的差，要求这两个二次根式的和，可联想到平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，将两个式子相乘可消去根号得到不含未知数$x$的定值，再代入已知的差的值，即可直接求出和，无需单独求解$x$，能简化计算过程。
【解析】
根据平方差公式可得：
$\begin{aligned}&(\sqrt{2026+x} - \sqrt{1+x})(\sqrt{2026+x} + \sqrt{1+x})\\=&(\sqrt{2026+x})^2 - (\sqrt{1+x})^2\\=&(2026+x)-(1+x)\\=&2026+x-1-x\\=&2025\end{aligned}$
已知$\sqrt{2026+x} - \sqrt{1+x}=2$，代入上式可得：
$2×(\sqrt{2026+x} + \sqrt{1+x})=2025$
因此$\sqrt{2026+x} + \sqrt{1+x}=2025÷2=1012.5$
【答案】
$1012.5$（或$\frac{2025}{2}$）
【知识点】
平方差公式；二次根式的性质；二次根式化简求值
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，核心是利用平方差公式实现整体运算，规避了求解未知数的复杂步骤，体现了整体代换的数学思想，熟练掌握该技巧可大幅提升二次根式相关计算的效率。
【难度系数】
0.6
观察题目可知，已知两个二次根式的差，要求这两个二次根式的和，可联想到平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，将两个式子相乘可消去根号得到不含未知数$x$的定值，再代入已知的差的值，即可直接求出和，无需单独求解$x$，能简化计算过程。
【解析】
根据平方差公式可得：
$\begin{aligned}&(\sqrt{2026+x} - \sqrt{1+x})(\sqrt{2026+x} + \sqrt{1+x})\\=&(\sqrt{2026+x})^2 - (\sqrt{1+x})^2\\=&(2026+x)-(1+x)\\=&2026+x-1-x\\=&2025\end{aligned}$
已知$\sqrt{2026+x} - \sqrt{1+x}=2$，代入上式可得：
$2×(\sqrt{2026+x} + \sqrt{1+x})=2025$
因此$\sqrt{2026+x} + \sqrt{1+x}=2025÷2=1012.5$
【答案】
$1012.5$（或$\frac{2025}{2}$）
【知识点】
平方差公式；二次根式的性质；二次根式化简求值
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，核心是利用平方差公式实现整体运算，规避了求解未知数的复杂步骤，体现了整体代换的数学思想，熟练掌握该技巧可大幅提升二次根式相关计算的效率。
【难度系数】
0.6
5[中]已知$a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$，$b=\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}$，则$\sqrt{a^2 + b^2 + 2}$的值为________。
答案
因为$a=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$,$b=\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}-2$,所以$a+b=(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)=2\sqrt{5}$,$ab=(\sqrt{5}+2)·(\sqrt{5}-2)=5-4=1$,所以$\sqrt{a^2 + b^2 + 2}=\sqrt{(a+b)^2 -2ab +2}=\sqrt{20-2+2}=2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
首先观察到a、b的分母都含有二次根式，第一步需先对a、b进行分母有理化，得到化简后的a、b的值。再看所求的代数式$\sqrt{a^2 + b^2 + 2}$，如果直接计算$a^2$、$b^2$运算量较大，可利用完全平方公式将$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2-2ab$，因此只需计算出$a+b$和$ab$的值，整体代入即可快速求出结果。
【解析】
1. 对a、b进行分母有理化：
$a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$，
$b=\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}=\dfrac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}-2$；
2. 计算$a+b$和$ab$的值：
$a+b=(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)=2\sqrt{5}$，
$ab=(\sqrt{5}+2)·(\sqrt{5}-2)=(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1$；
3. 变形所求代数式并代入计算：
$\sqrt{a^2 + b^2 + 2}=\sqrt{(a+b)^2 -2ab +2}$，
将$a+b=2\sqrt{5}$、$ab=1$代入得：
原式$=\sqrt{(2\sqrt{5})^2 -2×1 +2}=\sqrt{20-2+2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
分母有理化，完全平方公式，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题型，通过先化简含二次根式的字母，再利用完全平方公式变形整体代入计算，避免了直接计算平方的繁琐运算，掌握整体代入的思路能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先观察到a、b的分母都含有二次根式，第一步需先对a、b进行分母有理化，得到化简后的a、b的值。再看所求的代数式$\sqrt{a^2 + b^2 + 2}$，如果直接计算$a^2$、$b^2$运算量较大，可利用完全平方公式将$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2-2ab$，因此只需计算出$a+b$和$ab$的值，整体代入即可快速求出结果。
【解析】
1. 对a、b进行分母有理化：
$a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$，
$b=\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}=\dfrac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}-2$；
2. 计算$a+b$和$ab$的值：
$a+b=(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)=2\sqrt{5}$，
$ab=(\sqrt{5}+2)·(\sqrt{5}-2)=(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1$；
3. 变形所求代数式并代入计算：
$\sqrt{a^2 + b^2 + 2}=\sqrt{(a+b)^2 -2ab +2}$，
将$a+b=2\sqrt{5}$、$ab=1$代入得：
原式$=\sqrt{(2\sqrt{5})^2 -2×1 +2}=\sqrt{20-2+2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
分母有理化，完全平方公式，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题型，通过先化简含二次根式的字母，再利用完全平方公式变形整体代入计算，避免了直接计算平方的繁琐运算，掌握整体代入的思路能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
6[2026上海崇明区期中,中]先化简,再求值:已知$x=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1},y=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$,求$x^2y+xy^2$的值.
答案
$x=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$,$y=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$,所以原式$=xy(x+y)=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3})=(4-3)×4=1×4=4$.
解析
【分析】
本题是二次根式的化简求值题，解题思路如下：首先观察待求式$x^2y+xy^2$，可通过提取公因式法因式分解为$xy(x+y)$，只需计算出$x+y$和$xy$的值即可代入求解，无需单独计算$x^2$、$y^2$，能大幅简化运算；其次先对已知的$x$、$y$进行分母有理化，去掉分母中的根号，得到$x$、$y$的最简形式，再代入分解后的式子计算即可。
【解析】
第一步：对$x$、$y$进行分母有理化：
化简$x$：
$x=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$
化简$y$：
$y=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$
第二步：对待求式因式分解：
$x^2y+xy^2=xy(x+y)$
第三步：代入计算：
先算$xy=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$
再算$x+y=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$
则原式$=1×4=4$
【答案】
$4$
【知识点】
二次根式分母有理化，因式分解的应用，二次根式化简求值
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题型，核心技巧是先将待求代数式因式分解，再对已知的含二次根式的分式分母有理化，利用整体代入思想简化运算，可有效降低计算出错概率。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式的化简求值题，解题思路如下：首先观察待求式$x^2y+xy^2$，可通过提取公因式法因式分解为$xy(x+y)$，只需计算出$x+y$和$xy$的值即可代入求解，无需单独计算$x^2$、$y^2$，能大幅简化运算；其次先对已知的$x$、$y$进行分母有理化，去掉分母中的根号，得到$x$、$y$的最简形式，再代入分解后的式子计算即可。
【解析】
第一步：对$x$、$y$进行分母有理化：
化简$x$：
$x=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$
化简$y$：
$y=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$
第二步：对待求式因式分解：
$x^2y+xy^2=xy(x+y)$
第三步：代入计算：
先算$xy=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$
再算$x+y=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$
则原式$=1×4=4$
【答案】
$4$
【知识点】
二次根式分母有理化，因式分解的应用，二次根式化简求值
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题型，核心技巧是先将待求代数式因式分解，再对已知的含二次根式的分式分母有理化，利用整体代入思想简化运算，可有效降低计算出错概率。
【难度系数】
0.7
母题学大招11 巧用整体代换化简求值
7[中]请阅读下列材料：
问题:已知$x=\sqrt{5}+2$,求代数式$x^2-4x-7$的值.
小明的做法:根据$x=\sqrt{5}+2$得$(x-2)^2=5$,所以$x^2-4x+4=5$,所以$x^2-4x=1$.把$x^2-4x$的值整体代入,得$x^2-4x-7=1-7=-6$.即把已知条件适当变形,再整体代入解决问题.
仿照上述方法解决问题:
(1)已知$x=\sqrt{10}-3$,求代数式$x^2+6x-8$的值;
(2)已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,求代数式$x^3+2x^2$的值.
7[中]请阅读下列材料：
问题:已知$x=\sqrt{5}+2$,求代数式$x^2-4x-7$的值.
小明的做法:根据$x=\sqrt{5}+2$得$(x-2)^2=5$,所以$x^2-4x+4=5$,所以$x^2-4x=1$.把$x^2-4x$的值整体代入,得$x^2-4x-7=1-7=-6$.即把已知条件适当变形,再整体代入解决问题.
仿照上述方法解决问题:
(1)已知$x=\sqrt{10}-3$,求代数式$x^2+6x-8$的值;
(2)已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,求代数式$x^3+2x^2$的值.
答案
(1)因为$x=\sqrt{10}-3$,所以$x+3=\sqrt{10}$,所以$(x+3)^2=10$,即$x^2+6x+9=10$,所以$x^2+6x=1$,所以$x^2+6x-8=1-8=-7$.
(2)因为$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,所以$2x=\sqrt{5}-1$,所以$2x+1=\sqrt{5}$,所以$(2x+1)^2=5$,所以$4x^2+4x+1=5$,所以$4x^2+4x=4$,所以$x^2+x=1$,所以$x^3+2x^2=x^3+x^2+x^2=x(x^2+x)+x^2=x×1+x^2=x+x^2=1$.
(2)因为$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,所以$2x=\sqrt{5}-1$,所以$2x+1=\sqrt{5}$,所以$(2x+1)^2=5$,所以$4x^2+4x+1=5$,所以$4x^2+4x=4$,所以$x^2+x=1$,所以$x^3+2x^2=x^3+x^2+x^2=x(x^2+x)+x^2=x×1+x^2=x+x^2=1$.
解析
【分析】
这两道小题均采用整体代换思想求解，可避免直接代入计算的繁琐。(1)已知$x=\sqrt{10}-3$，先将等式变形为$x+3=\sqrt{10}$，两边平方后即可求出$x^2+6x$的整体值，直接代入所求代数式即可得出结果；(2)已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，先去分母移项得到$2x+1=\sqrt{5}$，两边平方化简可得$x^2+x$的整体值，再将所求的三次代数式拆分为含$x^2+x$的形式，整体代入逐步计算即可。
【解析】
(1) 由$x=\sqrt{10}-3$，移项得$x+3=\sqrt{10}$，
两边平方得：$(x+3)^2=(\sqrt{10})^2$，即$x^2+6x+9=10$，
整理得$x^2+6x=1$，
将$x^2+6x=1$代入代数式得：$x^2+6x-8=1-8=-7$。
(2) 由$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，两边同乘2得$2x=\sqrt{5}-1$，
移项得$2x+1=\sqrt{5}$，
两边平方得：$(2x+1)^2=(\sqrt{5})^2$，即$4x^2+4x+1=5$，
整理得$4x^2+4x=4$，两边同除以4得$x^2+x=1$，
对所求代数式变形：$x^3+2x^2=x^3+x^2+x^2=x(x^2+x)+x^2$，
将$x^2+x=1$代入得：原式$=x×1 +x^2 =x+x^2=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-7}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
整体代入求值，二次根式运算，代数式化简
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题型，核心是利用整体代换思想降低计算难度，解题时需先根据已知$x$的表达式变形得到对应低次代数式的定值，再将所求代数式合理拆分变形，代入定值计算即可，能有效避免直接代入高次运算的复杂计算。
【难度系数】
0.7
这两道小题均采用整体代换思想求解，可避免直接代入计算的繁琐。(1)已知$x=\sqrt{10}-3$，先将等式变形为$x+3=\sqrt{10}$，两边平方后即可求出$x^2+6x$的整体值，直接代入所求代数式即可得出结果；(2)已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，先去分母移项得到$2x+1=\sqrt{5}$，两边平方化简可得$x^2+x$的整体值，再将所求的三次代数式拆分为含$x^2+x$的形式，整体代入逐步计算即可。
【解析】
(1) 由$x=\sqrt{10}-3$，移项得$x+3=\sqrt{10}$，
两边平方得：$(x+3)^2=(\sqrt{10})^2$，即$x^2+6x+9=10$，
整理得$x^2+6x=1$，
将$x^2+6x=1$代入代数式得：$x^2+6x-8=1-8=-7$。
(2) 由$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，两边同乘2得$2x=\sqrt{5}-1$，
移项得$2x+1=\sqrt{5}$，
两边平方得：$(2x+1)^2=(\sqrt{5})^2$，即$4x^2+4x+1=5$，
整理得$4x^2+4x=4$，两边同除以4得$x^2+x=1$，
对所求代数式变形：$x^3+2x^2=x^3+x^2+x^2=x(x^2+x)+x^2$，
将$x^2+x=1$代入得：原式$=x×1 +x^2 =x+x^2=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-7}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
整体代入求值，二次根式运算，代数式化简
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题型，核心是利用整体代换思想降低计算难度，解题时需先根据已知$x$的表达式变形得到对应低次代数式的定值，再将所求代数式合理拆分变形，代入定值计算即可，能有效避免直接代入高次运算的复杂计算。
【难度系数】
0.7
