1 考古学家外出时,发现了一个三叶虫化石,他想了解其长度,就在化石旁放了一支笔并拍下照片.回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm 和 4 cm,笔的实际长度为14 cm,则该化石的实际长度为 （）

A.2 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm

1. C

【分析】
本题考查比例在实际问题中的应用，解题的核心是明确同一张照片中，所有物体的实际长度与对应图上长度的比值（即拍摄的缩放比例）是固定的，因此实际长度和图上长度成正比例关系。我们可以先设出化石的实际长度，再根据比例相等列出方程求解即可。
【解析】
设该化石的实际长度为$ x $ cm。
由于同一张照片的缩放比例不变，因此物体实际长度与图上长度的比值相等，可得比例式：
$\frac{\mathrm{笔的实际长度}}{\mathrm{笔的图上长度}} = \frac{\mathrm{化石的实际长度}}{\mathrm{化石的图上长度}}$
代入已知数据：
$\frac{14}{7} = \frac{x}{4}$
化简求解：
左边计算得$ 2 = \frac{x}{4} $，解得$ x = 2 × 4 = 8 $。
【答案】
C
【知识点】
比例的应用、正比例的性质
【点评】
本题结合生活场景命题，解题的关键是抓住同一拍摄条件下缩放比例不变的特点，建立正确的比例关系，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8

2 人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐.目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版.如图，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置（）

A.①
B.②
C.③
D.④
（第2题） （第3题） （第4题）

2. B

【分析】
解题时首先回忆黄金分割的相关概念：黄金分割是将一条线段分成两部分，使较长部分与整条线段的比值等于较短部分与较长部分的比值，比值约为0.618，对应的分割点为黄金分割点。九宫格作为黄金分割的简化版，是分别将画面的长、宽按黄金分割比例划分，得到2条横向、2条纵向分割线，分割线的交点就是符合黄金分割原则的最佳构图位置，对应图中位置即可选出答案。
【解析】
黄金分割的定义：把一条线段分为两部分，若较长部分与整条线段的长度比等于较短部分与较长部分的长度比（比值约为0.618），则该分点为这条线段的黄金分割点。
九宫格构图是将画面的长和宽都按黄金分割比例分割，得到的横向、纵向分割线的交点即为符合黄金分割原则的最佳拍摄位置。观察题图可知，位置②是横向分割线和纵向分割线的交点，符合黄金分割的构图原则。
【答案】
B
【知识点】
黄金分割，黄金分割的应用
【点评】
本题结合生活中拍摄构图的实际场景考查黄金分割的相关知识，将数学知识和生活应用结合，引导学生学会用数学知识解决实际问题。
【难度系数】
0.8

3 [2025淮南寿县期末]如图，直线$a// b// c$，直线$m$分别交直线$a$，$b$，$c$于点$A$，$B$，$C$，直线$n$分别交直线$a$，$b$，$c$于点$D$，$E$，$F$。若$\frac{BC}{AC}=\frac{2}{3}$，则$\frac{DF}{DE}$的值为（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

3. D

【分析】
看到三条平行线截两条直线的图形，首先想到运用平行线分线段成比例定理解题。首先根据已知的$\frac{BC}{AC}=\frac{2}{3}$，先求出同一条截线m上AB与BC的比值；再根据平行线分线段成比例定理，得到截线n上DE与EF的比值；最后将DF转化为DE与EF的和，代入比值即可求出$\frac{DF}{DE}$的值。
【解析】
∵$\frac{BC}{AC}=\frac{2}{3}$，且$AC=AB+BC$，
设$BC=2k$，$AC=3k$（$k≠0$），则$AB=AC-BC=3k-2k=k$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}$。
∵$a// b// c$，直线m、n被三条平行线所截，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{1}{2}$，
∴$EF=2DE$。
又
∵$DF=DE+EF$，
∴$DF=DE+2DE=3DE$，
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{3DE}{DE}=3$。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例；比例运算；线段和差计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的核心是准确找到两条截线上的对应线段，先通过已知比例推导相邻线段的比值，再结合线段和差关系计算目标比值，解题时需注意不要搞混对应线段的比例关系。
【难度系数】
0.7

4 如图，在$△ ABC$与$△ ADE$中，$∠ C = ∠ AED=90°$，点E在AB上，添加下列一个条件，仍然不能判定$△ ABC$与$△ DAE$相似的是（）

A.$∠ CAB=∠ D$
B.$AD// BC$
C.$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{DE}$
D.$\frac{BC}{AC}=\frac{AD}{AE}$

4. D

【分析】
已知△ABC和△DAE均为直角三角形，已有一组直角∠C=∠AED=90°对应相等，要判定两三角形相似，只需再满足“一组锐角对应相等”或“两组边对应成比例且夹角相等”或“斜边与一组直角边对应成比例”即可，我们逐个分析选项是否满足上述判定条件即可得出答案。
【解析】
解：由题意得∠C=∠AED=90°，两个三角形已有一组直角对应相等：
选项A：添加∠CAB=∠D，结合∠C=∠AED，根据两角分别相等的两个三角形相似（AA判定），可证△ABC∽△DAE，不符合题意；
选项B：添加AD//BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠DAE，结合∠C=∠AED，根据AA判定可证△ABC∽△DAE，不符合题意；
选项C：添加$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{DE}$，AB是Rt△ABC的斜边、AC是Rt△ABC的直角边，AD是Rt△DAE的斜边、DE是Rt△DAE的直角边，符合直角三角形相似的斜边直角边判定（HL），可证△ABC∽△DAE，不符合题意；
选项D：添加$\frac{BC}{AC}=\frac{AD}{AE}$，BC、AC是△ABC的两条直角边，AD是△DAE的斜边、AE是△DAE的直角边，该比例不符合相似三角形的边对应成比例的要求，无法判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题时要注意明确直角三角形相似的特殊判定方法，同时要准确对应两个三角形的边和角，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7

5 [2025合肥庐阳期末]如图，在四边形ACBE中，AB，CE交于点O，点D在CE上，且$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$，$∠ EAB=∠ CAD$，则下列结论不一定成立的是（）

A.$∠ OCB=∠ CAD$
B.$AD=CD$
C.$AO· BO=CO· EO$
D.$S_{△ AOE}· S_{△ BOC}=S_{△ BOE}· S_{△ AOC}$

5. B

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先利用∠EAB=∠CAD推导得到相等的夹角，再结合给出的比例式证明相关三角形相似，借助相似三角形的性质逐一验证选项。推导相似后先判断A、C选项，再利用同高三角形面积比等于底之比的规律判断D选项，最后判断B选项是否有足够条件支撑。
【解析】
1. 推导相似三角形：
已知$∠ EAB=∠ CAD$，$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$，将比例式变形得$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，结合夹角$∠ EAB=∠ DAC$，可得$△ EAB ∽ △ DAC$。
又$∠ EAB+∠ BAD=∠ CAD+∠ BAD$，即$∠ EAD=∠ BAC$，结合$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，可得$△ EAD ∽ △ BAC$，因此$∠ AEO=∠ CBO$。
再结合对顶角$∠ AOE=∠ COB$，可得$△ AOE ∽ △ COB$。
2. 逐一验证选项：
选项A：由$△ AOE ∽ △ COB$得$∠ OAE=∠ OCB$，已知$∠ OAE=∠ CAD$，因此$∠ OCB=∠ CAD$，结论一定成立。
选项B：若$AD=CD$，需满足$∠ ACD=∠ CAD$，题目无相关条件可推出该角相等关系，结论不一定成立。
选项C：由$△ AOE ∽ △ COB$得$\frac{AO}{CO}=\frac{EO}{BO}$，交叉相乘得$AO· BO=CO· EO$，结论一定成立。
选项D：$△ AOE$和$△ AOC$同高，因此$\frac{S_{△ AOE}}{S_{△ AOC}}=\frac{EO}{OC}$；$△ BOE$和$△ BOC$同高，因此$\frac{S_{△ BOE}}{S_{△ BOC}}=\frac{EO}{OC}$，联立得$\frac{S_{△ AOE}}{S_{△ AOC}}=\frac{S_{△ BOE}}{S_{△ BOC}}$，交叉相乘得$S_{△ AOE}· S_{△ BOC}=S_{△ BOE}· S_{△ AOC}$，结论一定成立。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形面积计算，比例的性质
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，核心是通过已知的等角和比例式推导相似三角形，再结合相似性质和三角形面积规律分析选项，需要注意题目要求选的是"不一定成立"的结论，避免漏看题意出错。
【难度系数】
0.65

6 [2025酒泉肃州期末]已知a,b,c,d是成比例线段，其中a=1 cm,b=4 cm,c=2 cm,则d= cm.

6. 8

【分析】
要解决本题，首先需明确成比例线段的定义：若四条线段a、b、c、d是成比例线段，则满足固定顺序的比例关系a:b = c:d，不可随意调换四条线段的顺序。接下来将已知的a、b、c的长度代入比例式，再利用比例的基本性质（内项积等于外项积）即可求出d的长度。
【解析】
解：
∵a，b，c，d是成比例线段，
∴根据成比例线段的定义可得：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
把a=1 cm，b=4 cm，c=2 cm代入式子中，得：
$\frac{1}{4}=\frac{2}{d}$，
根据比例的基本性质交叉相乘，得：
$d=4×2=8$。
【答案】
8
【知识点】
成比例线段的定义、比例的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是注意成比例线段的顺序要求，只要掌握基础定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8

7 科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比.已知蝴蝶展开的双翅的长度是4 cm，则蝴蝶身体的长度为 cm.

7. $2\sqrt{5}-2$

【分析】
解题时首先要明确黄金比的标准比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，题目给出蝴蝶身体长度与展开双翅长度的比为黄金比，已知双翅长度，我们只需根据比例关系建立等式，代入已知量计算即可得到蝴蝶身体的长度。
【解析】
解：黄金比的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，设蝴蝶身体的长度为$x$ cm，根据题意可得比例关系：
$\frac{x}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
等式两边同时乘4，化简计算得：
$x=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2(\sqrt{5}-1)=2\sqrt{5}-2$
【答案】
$2\sqrt{5}-2$
【知识点】
1.黄金比的概念 2.比例运算
【点评】
本题是黄金比在实际场景中的基础应用，解题关键是熟记黄金比的标准取值，结合题设的比例关系列式计算即可，整体解题步骤简单。
【难度系数】
0.8

8 [2025 西藏]如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE//BC.若$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，则$\frac{AE}{EC}$的值是.

8. 2

【分析】
解题时首先观察到DE//BC，根据相似三角形的判定定理，可推出△ADE∽△ABC；再利用相似三角形对应边成比例的性质，得到AE与AC的比值等于已知的DE与BC的比值$\frac{2}{3}$；最后将AC表示为AE+EC，代入比例关系即可求出$\frac{AE}{EC}$的值。
【解析】
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等），
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，
设AE=2k（$k≠0$），则AC=3k，
∴$EC=AC-AE=3k-2k=k$，
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{2k}{k}=2$。
【答案】
2
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用平行线得到相似三角形，再结合相似三角形的边比例关系求解，解题时需注意所求的是AE与EC的比值，不要误算成AE与AC的比值。
【难度系数】
0.8

9 如图，在矩形ABCD中，BD为矩形ABCD的对角线，E，F分别是BC，CD的中点，AE分别交BD，BF于点G，H，则$\frac{GH}{HE}$的值是。

9. $\frac{2}{3}$

【分析】
要求同一直线上线段GH与HE的比值，可采用坐标法求解：因比值与矩形边长无关，可设矩形边长为具体数值简化计算，先建立平面直角坐标系确定各顶点及E、F的坐标，再求出直线AE、BD、BF的解析式，联立方程得到交点G、H的坐标，最后根据同一直线上线段长度比等于横坐标差的比即可求出结果。也可利用矩形对边平行的性质，通过多组相似三角形的边长比例关系推导。
【解析】
解：设矩形ABCD的边长AB=2，BC=2，建立平面直角坐标系：令$B(0,0)$，$A(0,2)$，$C(2,0)$，$D(2,2)$。
∵E是BC中点，F是CD中点，
∴$E(1,0)$，$F(2,1)$。
1. 求直线AE的解析式：过$A(0,2)$、$E(1,0)$，设解析式为$y=kx+b$，代入得：
$\begin{cases}b=2 \\ k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2 \\ b=2\end{cases}$，即$y=-2x+2$。
2. 求直线BD的解析式：过$B(0,0)$、$D(2,2)$，得解析式为$y=x$。
联立$y=x$与$y=-2x+2$，解得$x=\frac{2}{3},y=\frac{2}{3}$，即G点坐标为$(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$。
3. 求直线BF的解析式：过$B(0,0)$、$F(2,1)$，得解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
联立$y=\frac{1}{2}x$与$y=-2x+2$，解得$x=\frac{4}{5},y=\frac{2}{5}$，即H点坐标为$(\frac{4}{5},\frac{2}{5})$。
4. 计算比值：G、H、E在同一直线上，线段长度比等于横坐标差的比：
$GH$对应的横坐标差为$\frac{4}{5}-\frac{2}{3}=\frac{2}{15}$，
$HE$对应的横坐标差为$1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}=\frac{3}{15}$，
故$\frac{GH}{HE}=\frac{\frac{2}{15}}{\frac{3}{15}}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
矩形的性质，一次函数的应用，线段比例计算
【点评】
本题属于几何中线段比例的常规题型，解法灵活，既可以用坐标法将几何问题转化为代数计算，也可以通过相似三角形的性质推导，能有效考查数形结合思维和运算能力。
【难度系数】
0.6

10 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°,AC=4,BC=3,P,Q$ 分别为 $AB,BC$ 上的动点,将 $△ PQB$ 沿 $PQ$ 折叠,使点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在边 $AC$ 上.当 $△ APD$ 与 $△ ABC$ 相似时,$AP$ 的长为 .

10. $\frac{25}{8}或\frac{20}{7}$

【分析】
首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度，再根据折叠的性质得到PD=PB，设AP的长为x，则PD=PB=5-x。由于△APD与△ABC相似时对应角不明确，且两三角形有公共角∠A，因此分两种情况讨论：①∠APD=90°，②∠ADP=90°，分别根据相似三角形的对应边成比例列方程求解，最后验证解是否符合点D落在AC上的条件即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
由折叠的性质可知$PD=PB$，设$AP=x$，则$PD=PB=5-x$。
△APD与△ABC有公共角∠A，分两种情况讨论相似：
1. 当$∠ APD=∠ C=90°$时，$△ APD ∽ △ ACB$，根据相似三角形对应边成比例：
$\frac{AP}{AC}=\frac{PD}{BC}$，代入得$\frac{x}{4}=\frac{5-x}{3}$
解方程：$3x=4(5-x)$，$3x=20-4x$，$7x=20$，解得$x=\frac{20}{7}$，符合点D落在AC上的条件。
2. 当$∠ ADP=∠ C=90°$时，$△ ADP ∽ △ ACB$，根据相似三角形对应边成比例：
$\frac{AP}{AB}=\frac{PD}{BC}$，代入得$\frac{x}{5}=\frac{5-x}{3}$
解方程：$3x=5(5-x)$，$3x=25-5x$，$8x=25$，解得$x=\frac{25}{8}$，符合点D落在AC上的条件。
综上，AP的长为$\frac{25}{8}$或$\frac{20}{7}$。
【答案】
$\frac{25}{8}或\frac{20}{7}$
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质
【点评】
本题属于折叠与相似结合的动点问题，解题时需注意相似三角形对应关系不明确时要分类讨论，避免漏解，求得结果后要验证是否符合题目的限制条件。
【难度系数】
0.6