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1[2025 浙江温州期中]如图, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, $D$ 为 $AC$ 上一点, 且 $DA=DB=5$, 若 $△ ABD$ 的面积为 $10$, 则 $CD$ 的长为 (
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$4.5$
(第1题图)
(第2题图)
A
)A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$4.5$
(第1题图)
(第2题图)
答案
1.A 【解析】因为在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中, $∠ C=90°$, 所以 $BC ⊥ AC$, 即 $BC$ 是 $△DAB$ 的高. 因为 $△DAB$ 的面积为 10, $DA = 5$, 所以 $\frac{1}{2}DA · BC = 10$, 所以 $BC=4$, 所以 $CD^2=DB^2-BC^2=9$, 所以 $CD=3$. 故选 A.
解析
【分析】
要求CD的长，首先观察到△BCD是直角三角形（∠C=90°），已知斜边DB=5，只要算出直角边BC的长度，就可以用勾股定理求出CD。再看已知条件，△ABD的面积为10、AD=5，因为∠C=90°，BC垂直于AC，所以BC就是△ABD以AD为底的高，因此可以先通过三角形面积公式求出BC的长度，再代入勾股定理计算CD即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ $BC ⊥ AC$，即BC是$△ ABD$中AD边上的高。
已知$△ ABD$的面积为10，$DA=5$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$\frac{1}{2} · DA · BC =10$，
代入$DA=5$，得$\frac{1}{2} × 5 × BC =10$，解得$BC=4$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$DB=5$，$BC=4$，根据勾股定理得：
$CD^2 = DB^2 - BC^2 = 5^2 - 4^2 =25-16=9$，
∵ 线段长度为正数，
∴ $CD=3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算，勾股定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是识别出BC是△ABD的高，先借助面积公式求出未知直角边BC的长度，再利用勾股定理求解目标线段，侧重考查对基础公式的应用和图形线段关系的判断能力。
【难度系数】
0.8
要求CD的长，首先观察到△BCD是直角三角形（∠C=90°），已知斜边DB=5，只要算出直角边BC的长度，就可以用勾股定理求出CD。再看已知条件，△ABD的面积为10、AD=5，因为∠C=90°，BC垂直于AC，所以BC就是△ABD以AD为底的高，因此可以先通过三角形面积公式求出BC的长度，再代入勾股定理计算CD即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ $BC ⊥ AC$，即BC是$△ ABD$中AD边上的高。
已知$△ ABD$的面积为10，$DA=5$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$\frac{1}{2} · DA · BC =10$，
代入$DA=5$，得$\frac{1}{2} × 5 × BC =10$，解得$BC=4$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$DB=5$，$BC=4$，根据勾股定理得：
$CD^2 = DB^2 - BC^2 = 5^2 - 4^2 =25-16=9$，
∵ 线段长度为正数，
∴ $CD=3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算，勾股定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是识别出BC是△ABD的高，先借助面积公式求出未知直角边BC的长度，再利用勾股定理求解目标线段，侧重考查对基础公式的应用和图形线段关系的判断能力。
【难度系数】
0.8
2[2025江苏南京期中]如图,在长方形ABCD中,AB=9,AD=27,将此长方形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△ABE的面积为（
A.54
B.90
C.108
D.216
A
）A.54
B.90
C.108
D.216
答案
2.A 【解析】根据折叠的性质得 $DE = BE$, 设 $BE=DE=x$. 因为 $AD = 27$, 所以 $AE = AD - DE = 27-x$. 在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 中, $AB = 9$, 由勾股定理得 $BE^2 = AB^2 + AE^2$, 所以 $x^2 = 9^2 + (27-x)^2$, 解得 $x = 15$, 所以 $BE = DE = 15$, 所以 $AE = AD - DE = 12$, 所以 $S_{△ ABE} = \frac{1}{2}AE · AB = \frac{1}{2}×12×9 = 54$. 故选 A.
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质得到相等的边：折叠后点D与点B重合，故DE=BE。要求△ABE的面积，已知AB的长度，只需求出AE的长度即可。我们可以设BE=DE=x，用含x的式子表示出AE，再结合长方形中∠A是直角，△ABE为直角三角形，利用勾股定理列方程求出x的值，进而得到AE的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：由折叠的性质可得，$DE = BE$，设$BE=DE=x$。
∵长方形$ABCD$中$AD = 27$，
∴$AE = AD - DE = 27-x$，且$∠ A=90°$，$△ ABE$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$AB = 9$，根据勾股定理得：
$BE^2 = AB^2 + AE^2$
代入得：$x^2 = 9^2 + (27-x)^2$
展开计算：$x^2=81+729-54x+x^2$
消去$x^2$后整理得：$54x=810$
解得$x = 15$，即$DE=15$
∴$AE = 27 - 15 = 12$
∴$S_{△ ABE} = \frac{1}{2}AE · AB = \frac{1}{2}×12×9 = 54$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题目，解题核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，将未知边用未知数表示后，结合直角三角形的勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用折叠的性质得到相等的边：折叠后点D与点B重合，故DE=BE。要求△ABE的面积，已知AB的长度，只需求出AE的长度即可。我们可以设BE=DE=x，用含x的式子表示出AE，再结合长方形中∠A是直角，△ABE为直角三角形，利用勾股定理列方程求出x的值，进而得到AE的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：由折叠的性质可得，$DE = BE$，设$BE=DE=x$。
∵长方形$ABCD$中$AD = 27$，
∴$AE = AD - DE = 27-x$，且$∠ A=90°$，$△ ABE$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$AB = 9$，根据勾股定理得：
$BE^2 = AB^2 + AE^2$
代入得：$x^2 = 9^2 + (27-x)^2$
展开计算：$x^2=81+729-54x+x^2$
消去$x^2$后整理得：$54x=810$
解得$x = 15$，即$DE=15$
∴$AE = 27 - 15 = 12$
∴$S_{△ ABE} = \frac{1}{2}AE · AB = \frac{1}{2}×12×9 = 54$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题目，解题核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，将未知边用未知数表示后，结合直角三角形的勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
3 [2025 河南焦作质检]如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB = 13 cm，AC = 15 cm，AD = 12 cm，则△ABC的面积为
84
cm²。答案
3.84 【解析】因为 $AD$ 是 $BC$ 边上的高, 所以 $∠ADB = ∠ADC = 90°$, 所以 $BD^2 = AB^2 - AD^2 = 13^2 - 12^2 = 25$, $CD^2 = AC^2 - AD^2 = 15^2 - 12^2 = 81$, 所以 $BD = 5$ cm, $CD = 9$ cm, 所以 $BC = BD + DC = 14$ cm, 所以 $△ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2}BC · AD = 84$ cm². 故答案为 84.
解析
【分析】
要求△ABC的面积，已知高AD的长度，只需先求出底边BC的长度即可。由于AD是BC边上的高，因此△ABD和△ACD都是直角三角形，可分别在两个直角三角形中用勾股定理求出BD、CD的长度，二者相加得到BC的长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，△ABD、△ACD均为直角三角形。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 13^2 - 12^2 = 25$，
∴$BD=5\ \mathrm{cm}$（边长为正，舍去负根）。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 15^2 - 12^2 = 81$，
∴$CD=9\ \mathrm{cm}$（边长为正，舍去负根）。
∴$BC=BD+CD=5+9=14\ \mathrm{cm}$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · AD=\frac{1}{2} × 14 × 12=84\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
84
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，高的定义
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题目，解题核心是通过三角形的高构造直角三角形，利用勾股定理求出底边长度，进而计算面积，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要求△ABC的面积，已知高AD的长度，只需先求出底边BC的长度即可。由于AD是BC边上的高，因此△ABD和△ACD都是直角三角形，可分别在两个直角三角形中用勾股定理求出BD、CD的长度，二者相加得到BC的长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，△ABD、△ACD均为直角三角形。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 13^2 - 12^2 = 25$，
∴$BD=5\ \mathrm{cm}$（边长为正，舍去负根）。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 15^2 - 12^2 = 81$，
∴$CD=9\ \mathrm{cm}$（边长为正，舍去负根）。
∴$BC=BD+CD=5+9=14\ \mathrm{cm}$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · AD=\frac{1}{2} × 14 × 12=84\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
84
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，高的定义
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题目，解题核心是通过三角形的高构造直角三角形，利用勾股定理求出底边长度，进而计算面积，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
4[2025山东烟台期中]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$E$在$AC$上,$CE=5$,$BC=13$,$BE=12$.
(1)判断$△ ABE$的形状,并说明理由;
(2)求$AB$的长.
(1)判断$△ ABE$的形状,并说明理由;
(2)求$AB$的长.
答案
4.【解】(1)$△ABE$ 是直角三角形. 理由如下:在 $△BCE$ 中, $BE^2 + EC^2 = 12^2 + 5^2 = 169 = BC^2$, 所以 $∠BEC = 90°$, 所以 $∠AEB = 90°$, 所以 $△ABE$ 是直角三角形.
(2)设 $AB = x$. 因为 $AC = AB = x$, $CE = 5$, 所以 $AE = x-5$. 在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 中, 由勾股定理得 $x^2 = 12^2 + (x-5)^2$, 解得 $x = 16.9$, 所以 $AB$ 的长为 16.9.
(2)设 $AB = x$. 因为 $AC = AB = x$, $CE = 5$, 所以 $AE = x-5$. 在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 中, 由勾股定理得 $x^2 = 12^2 + (x-5)^2$, 解得 $x = 16.9$, 所以 $AB$ 的长为 16.9.
解析
【分析】
(1)判断三角形形状时，先观察△BCE的三边长：5、12、13是常见的勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断△BCE为直角三角形，得到∠BEC=90°，再根据邻补角的性质推出∠AEB=90°，即可判断△ABE的形状。
(2)求AB的长时，利用AB=AC的性质，设AB为x，即可用含x的式子表示AE的长度，再在Rt△ABE中运用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)△ABE是直角三角形，理由如下：
在△BCE中，$BE^2 + EC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$，$BC^2=13^2=169$，
∴$BE^2 + EC^2 = BC^2$，根据勾股定理的逆定理可得△BCE是直角三角形，且$∠ BEC=90°$，
∴$∠ AEB=180° - ∠ BEC=90°$，故△ABE是直角三角形。
(2)设$AB = x$，
∵$AB=AC$，
∴$AC=x$，
∵$CE=5$，
∴$AE=AC - CE = x - 5$，
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，由勾股定理得：$AB^2 = AE^2 + BE^2$，
代入数据得：$x^2 = 12^2 + (x-5)^2$，
展开得：$x^2 = 144 + x^2 - 10x + 25$，
整理得：$10x = 169$，解得$x=16.9$。
【答案】
(1)$△ABE$是直角三角形；(2)$AB$的长为$16.9$
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理相关的基础应用题，解题的关键是先通过勾股定理的逆定理确定直角，再结合等腰三角形的边的关系设未知数列方程求解，熟练掌握常见勾股数能提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1)判断三角形形状时，先观察△BCE的三边长：5、12、13是常见的勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断△BCE为直角三角形，得到∠BEC=90°，再根据邻补角的性质推出∠AEB=90°，即可判断△ABE的形状。
(2)求AB的长时，利用AB=AC的性质，设AB为x，即可用含x的式子表示AE的长度，再在Rt△ABE中运用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)△ABE是直角三角形，理由如下：
在△BCE中，$BE^2 + EC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$，$BC^2=13^2=169$，
∴$BE^2 + EC^2 = BC^2$，根据勾股定理的逆定理可得△BCE是直角三角形，且$∠ BEC=90°$，
∴$∠ AEB=180° - ∠ BEC=90°$，故△ABE是直角三角形。
(2)设$AB = x$，
∵$AB=AC$，
∴$AC=x$，
∵$CE=5$，
∴$AE=AC - CE = x - 5$，
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，由勾股定理得：$AB^2 = AE^2 + BE^2$，
代入数据得：$x^2 = 12^2 + (x-5)^2$，
展开得：$x^2 = 144 + x^2 - 10x + 25$，
整理得：$10x = 169$，解得$x=16.9$。
【答案】
(1)$△ABE$是直角三角形；(2)$AB$的长为$16.9$
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理相关的基础应用题，解题的关键是先通过勾股定理的逆定理确定直角，再结合等腰三角形的边的关系设未知数列方程求解，熟练掌握常见勾股数能提升解题效率。
【难度系数】
0.7
5 新考法[2026广西贵港质检]如图所示为雷达图,规定:1个单位长度代表100 m,以点O为原点,过数轴上的每一刻度点画同心圆,并将同心圆平均分成十二等份.一艘海洋科考船在点O处用雷达发现A,B两处鱼群,那么A,B两处鱼群的距离是 (
A.5 m
B.400 m
C.500 m
D.300 m
(第5题图)
(第6题图)
C
)A.5 m
B.400 m
C.500 m
D.300 m
(第5题图)
(第6题图)
答案
5.C 【解析】如图,连接 $AB$.
由题意得,同心圆被平均分成十二等份,则每三等份的度数为 $360°÷12×3 = 90°$, 所以 $∠AOB = 90°$. 又 1 个单位长度代表 100 m, 所以 $OA = 300$ m, $OB = 400$ m, 所以在 $\mathrm{Rt}△AOB$ 中, $AB^2 = OA^2 + OB^2 = 300^2 + 400^2 = 250\ 000$, 所以 $AB = 500$ m. 故选 C.
解析
【分析】
要解决本题可按以下思路思考：首先，雷达图中同心圆的圈层代表到原点O的距离，结合1个单位长度对应100m的规定，可先得到OA、OB的长度；其次，整个周角360°被平均分成12等份，先计算每等份的角度，再数A、B之间的间隔份数，就能得到∠AOB的度数，经判断可知△AOB为直角三角形；最后利用勾股定理计算直角三角形斜边AB的长度，即为A、B两处鱼群的距离。
【解析】
如图，连接AB。
由题意可知，同心圆被平均分成12等份，因此每等份的角度为 $ 360° ÷ 12 = 30° $。
观察图形可得A、B之间间隔3等份，因此 $ ∠ AOB = 3 × 30° = 90° $，即△AOB是直角三角形。
又因为1个单位长度代表100m，所以 $ OA = 3 × 100 = 300 \, \mathrm{m} $，$ OB = 4 × 100 = 400 \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△AOB $中，根据勾股定理可得：
$ AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{300^2 + 400^2} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \, \mathrm{m} $。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，角度计算，比例尺应用
【点评】
本题结合雷达探测的实际场景考查勾股定理的应用，解题核心是从雷达图中提取距离、角度的有效信息，判断出三角形为直角三角形后结合勾股定理计算边长，很好地体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
要解决本题可按以下思路思考：首先，雷达图中同心圆的圈层代表到原点O的距离，结合1个单位长度对应100m的规定，可先得到OA、OB的长度；其次，整个周角360°被平均分成12等份，先计算每等份的角度，再数A、B之间的间隔份数，就能得到∠AOB的度数，经判断可知△AOB为直角三角形；最后利用勾股定理计算直角三角形斜边AB的长度，即为A、B两处鱼群的距离。
【解析】
如图，连接AB。
由题意可知，同心圆被平均分成12等份，因此每等份的角度为 $ 360° ÷ 12 = 30° $。
观察图形可得A、B之间间隔3等份，因此 $ ∠ AOB = 3 × 30° = 90° $，即△AOB是直角三角形。
又因为1个单位长度代表100m，所以 $ OA = 3 × 100 = 300 \, \mathrm{m} $，$ OB = 4 × 100 = 400 \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△AOB $中，根据勾股定理可得：
$ AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{300^2 + 400^2} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \, \mathrm{m} $。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，角度计算，比例尺应用
【点评】
本题结合雷达探测的实际场景考查勾股定理的应用，解题核心是从雷达图中提取距离、角度的有效信息，判断出三角形为直角三角形后结合勾股定理计算边长，很好地体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
6[2026浙江湖州期中]如图,货车车高$AC=4\ \mathrm{m}$,卸货时后面挡板$AB$折落在地面$A_1$处,已知点$A,B,C$在一条直线上,$AC ⊥ A_1C$.经过测量得$A_1C=2\ \mathrm{m}$,则$BC=$
1.5 m
.答案
6. 1.5 m 【解析】由题意得, $AB = A_1B$, $∠BCA_1 = 90°$. 设 $BC = x$ m, 则 $AB = A_1B = (4-x)$ m. 在 $\mathrm{Rt}△A_1BC$ 中, $A_1C^2 + BC^2 = A_1B^2$, 即 $2^2 + x^2 = (4-x)^2$, 解得 $x = 1.5$. 故答案为 1.5 m.
解析
【分析】
遇到折叠类问题首先考虑折叠的性质：折叠前后对应边长度相等，因此可得$AB=A_1B$。已知$AC⊥ A_1C$，故$△ A_1BC$是直角三角形，三边满足勾股定理。我们可以设$BC$的长度为未知数，结合$AC$总长为4m，将$A_1B$用含未知数的式子表示，再代入勾股定理建立方程求解即可得到$BC$的长度。
【解析】
解：由折叠的性质可得$AB = A_1B$，由题意得$∠ BCA_1 = 90°$。
设$BC = x\ \mathrm{m}$，则$AB = A_1B = AC - BC = (4-x)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ A_1BC$中，根据勾股定理：$A_1C^2 + BC^2 = A_1B^2$，
代入已知数值：$2^2 + x^2 = (4-x)^2$，
展开得：$4 + x^2 = 16 - 8x + x^2$，
消去$x^2$后整理得：$8x = 12$，
解得：$x = 1.5$。
【答案】
$1.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的卸货场景，考查勾股定理的实际应用，解题的关键是抓住折叠前后对应边相等的性质，将已知边和未知边转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解，是几何与方程结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
遇到折叠类问题首先考虑折叠的性质：折叠前后对应边长度相等，因此可得$AB=A_1B$。已知$AC⊥ A_1C$，故$△ A_1BC$是直角三角形，三边满足勾股定理。我们可以设$BC$的长度为未知数，结合$AC$总长为4m，将$A_1B$用含未知数的式子表示，再代入勾股定理建立方程求解即可得到$BC$的长度。
【解析】
解：由折叠的性质可得$AB = A_1B$，由题意得$∠ BCA_1 = 90°$。
设$BC = x\ \mathrm{m}$，则$AB = A_1B = AC - BC = (4-x)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ A_1BC$中，根据勾股定理：$A_1C^2 + BC^2 = A_1B^2$，
代入已知数值：$2^2 + x^2 = (4-x)^2$，
展开得：$4 + x^2 = 16 - 8x + x^2$，
消去$x^2$后整理得：$8x = 12$，
解得：$x = 1.5$。
【答案】
$1.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的卸货场景，考查勾股定理的实际应用，解题的关键是抓住折叠前后对应边相等的性质，将已知边和未知边转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解，是几何与方程结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
7 如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17米,此人以每秒1米的速度收绳,7秒后船移动到点D的位置,问船向岸边移动了多少米?(假设收绳过程中绳子是直的)
答案
7.【解】在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中, 因为 $∠CAB = 90°$, $BC = 17$ 米, $AC = 8$ 米, 所以 $AB^2 = BC^2 - AC^2 = 17^2 - 8^2 = 225$, 所以 $AB = 15$ 米. 因为此人以每秒 1 米的速度收绳,7 秒后船移动到点 $D$ 的位置, 所以 $CD = 17-1×7 = 10$(米), 所以 $AD^2 = CD^2 - AC^2 = 100-64 = 36$, 所以 $AD = 6$ 米, 所以 $BD = AB - AD = 15-6 = 9$(米).
答:船向岸边移动了 9 米.
答:船向岸边移动了 9 米.
解析
【分析】
解题时首先明确题中不变量：岸边到水面的垂直高度AC=8米始终保持不变。要求船移动的距离BD，可先求出初始状态下船到岸边的水平距离AB，再求出收绳7秒后船到岸边的水平距离AD，二者的差值就是船向岸边移动的距离。具体步骤为：第一步在Rt△ABC中用勾股定理计算AB的长度；第二步根据收绳速度和时间计算7秒后绳子的长度CD；第三步在Rt△ACD中用勾股定理计算AD的长度；最后用AB减去AD得到BD的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ CAB=90°$，$BC=17$米，$AC=8$米，
由勾股定理可得：$AB^2 = BC^2 - AC^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$，因此$AB=15$米。
已知收绳速度为每秒1米，收绳时间为7秒，因此7秒共收绳$1×7=7$米，
此时绳子长度$CD = 17 - 7 = 10$米。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=90°$，$CD=10$米，$AC=8$米，
由勾股定理可得：$AD^2 = CD^2 - AC^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$，因此$AD=6$米。
则船向岸边移动的距离$BD = AB - AD = 15 - 6 = 9$米。
【答案】
船向岸边移动了9米。
【知识点】
勾股定理，路程计算，直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题关键是抓住恒定的垂直岸高，通过两次运用勾股定理求解对应水平距离即可得到结果，解题时要注意收绳长度对应直角三角形斜边的减少量，不要混淆各边的对应关系。
【难度系数】
0.75
解题时首先明确题中不变量：岸边到水面的垂直高度AC=8米始终保持不变。要求船移动的距离BD，可先求出初始状态下船到岸边的水平距离AB，再求出收绳7秒后船到岸边的水平距离AD，二者的差值就是船向岸边移动的距离。具体步骤为：第一步在Rt△ABC中用勾股定理计算AB的长度；第二步根据收绳速度和时间计算7秒后绳子的长度CD；第三步在Rt△ACD中用勾股定理计算AD的长度；最后用AB减去AD得到BD的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ CAB=90°$，$BC=17$米，$AC=8$米，
由勾股定理可得：$AB^2 = BC^2 - AC^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$，因此$AB=15$米。
已知收绳速度为每秒1米，收绳时间为7秒，因此7秒共收绳$1×7=7$米，
此时绳子长度$CD = 17 - 7 = 10$米。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=90°$，$CD=10$米，$AC=8$米，
由勾股定理可得：$AD^2 = CD^2 - AC^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$，因此$AD=6$米。
则船向岸边移动的距离$BD = AB - AD = 15 - 6 = 9$米。
【答案】
船向岸边移动了9米。
【知识点】
勾股定理，路程计算，直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题关键是抓住恒定的垂直岸高，通过两次运用勾股定理求解对应水平距离即可得到结果，解题时要注意收绳长度对应直角三角形斜边的减少量，不要混淆各边的对应关系。
【难度系数】
0.75
8 新素材[2026山西运城质检]2025年是“全运年”，第十五届全运会于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身.小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是A→B→D和A→C→D.已知AB=160 m，AC=200 m，点C在点B的正东方120 m处，点D在点C的正北方50 m处.
(1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；
(2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短.
(1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；
(2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短.
答案
8.【解】(1) $AB ⊥ BC$. 理由如下: 由题意可知 $AB = 160$ m, $AC = 200$ m, 点 $C$ 在点 $B$ 的正东方 120 m 处, 即 $BC = 120$ m. 因为 $AB^2 + BC^2 = 160^2 + 120^2 = 200^2 = AC^2$, 所以 $△ABC$ 是直角三角形, $∠ABC = 90°$, 所以 $AB ⊥ BC$.
(2)由题意可知 $BC ⊥ CD$, $CD = 50$ m. 在 $\mathrm{Rt}△BCD$ 中, 由勾股定理, 得 $BD^2 = BC^2 + CD^2 = 120^2 + 50^2 = 16\ 900$, 故 $BD = 130$ m. 因为 $AB + BD = 160 + 130 = 290$ ( m ), $AC + CD = 200 + 50 = 250$(m), $290＞250$, 所以 $AB + BD ＞ AC + CD$, 所以小亮跑的路线更短.
(2)由题意可知 $BC ⊥ CD$, $CD = 50$ m. 在 $\mathrm{Rt}△BCD$ 中, 由勾股定理, 得 $BD^2 = BC^2 + CD^2 = 120^2 + 50^2 = 16\ 900$, 故 $BD = 130$ m. 因为 $AB + BD = 160 + 130 = 290$ ( m ), $AC + CD = 200 + 50 = 250$(m), $290＞250$, 所以 $AB + BD ＞ AC + CD$, 所以小亮跑的路线更短.
解析
【分析】
(1)判断AB与BC的位置关系可从是否垂直入手，已知△ABC的三边长度，可运用勾股定理的逆定理，验证AB²与BC²的和是否等于AC²，若相等则△ABC为直角三角形，且∠ABC为直角，即可得出两条线段的位置关系。
(2)要比较两人跑步路线的长短，需分别计算两条路线的总长度：首先根据方位描述可知BC与CD垂直，在Rt△BCD中用勾股定理求出BD的长度，再分别计算两条路线的总长度，比较两个长度的大小即可得到结论。
【解析】
(1) $AB ⊥ BC$，理由如下：
由题意可知$AB = 160$ m，$AC = 200$ m，点C在点B的正东方120 m处，即$BC = 120$ m。
∵ $AB^2 + BC^2 = 160^2 + 120^2 = 40000 = 200^2 = AC^2$，
∴ $△ ABC$是直角三角形，$∠ ABC = 90°$，
∴ $AB ⊥ BC$。
(2) 由题意可知$BC ⊥ CD$，$CD = 50$ m。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，由勾股定理得$BD^2 = BC^2 + CD^2 = 120^2 + 50^2 = 16900$，故$BD = 130$ m。
爸爸跑的路线长度：$AB + BD = 160 + 130 = 290$（m），
小亮跑的路线长度：$AC + CD = 200 + 50 = 250$（m），
∵ $290＞250$，
∴ 小亮跑的路线更短。
【答案】
(1) $AB ⊥ BC$；
(2) 小亮跑的A→C→D路线更短。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；实际长度计算
【点评】
本题结合健身晨跑的生活情境出题，解题的核心是将实际方位关系转化为直角三角形的数学模型，侧重考查学生对基础定理的应用能力，计算量小，贴合生活实际。
【难度系数】
0.75
(1)判断AB与BC的位置关系可从是否垂直入手，已知△ABC的三边长度，可运用勾股定理的逆定理，验证AB²与BC²的和是否等于AC²，若相等则△ABC为直角三角形，且∠ABC为直角，即可得出两条线段的位置关系。
(2)要比较两人跑步路线的长短，需分别计算两条路线的总长度：首先根据方位描述可知BC与CD垂直，在Rt△BCD中用勾股定理求出BD的长度，再分别计算两条路线的总长度，比较两个长度的大小即可得到结论。
【解析】
(1) $AB ⊥ BC$，理由如下：
由题意可知$AB = 160$ m，$AC = 200$ m，点C在点B的正东方120 m处，即$BC = 120$ m。
∵ $AB^2 + BC^2 = 160^2 + 120^2 = 40000 = 200^2 = AC^2$，
∴ $△ ABC$是直角三角形，$∠ ABC = 90°$，
∴ $AB ⊥ BC$。
(2) 由题意可知$BC ⊥ CD$，$CD = 50$ m。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，由勾股定理得$BD^2 = BC^2 + CD^2 = 120^2 + 50^2 = 16900$，故$BD = 130$ m。
爸爸跑的路线长度：$AB + BD = 160 + 130 = 290$（m），
小亮跑的路线长度：$AC + CD = 200 + 50 = 250$（m），
∵ $290＞250$，
∴ 小亮跑的路线更短。
【答案】
(1) $AB ⊥ BC$；
(2) 小亮跑的A→C→D路线更短。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；实际长度计算
【点评】
本题结合健身晨跑的生活情境出题，解题的核心是将实际方位关系转化为直角三角形的数学模型，侧重考查学生对基础定理的应用能力，计算量小，贴合生活实际。
【难度系数】
0.75
