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5 如图，在$□ ABCD$中，E是BA的延长线上一点，CE分别与AD，BD交于点G，F.求证：$CF^2 = GF · EF$.
答案
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC, AB// CD$.
∴ $\frac{GF}{CF}=\frac{DF}{BF},\frac{CF}{EF}=\frac{DF}{BF}$.
∴ $\frac{GF}{CF}=\frac{CF}{EF}$,即 $CF^2=GF · EF$
解析
【分析】
要证明等积式$CF^2 = GF · EF$，可先将其转化为比例式$\frac{GF}{CF}=\frac{CF}{EF}$，只需证明两个比值相等即可。结合平行四边形对边平行的性质，可通过两组平行线分别得到含公共中间比$\frac{DF}{BF}$的比例式，通过等量代换得到所需比例式，再交叉相乘即可得到待证的等积式。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AB// CD$。
∴ $\frac{GF}{CF}=\frac{DF}{BF}$，$\frac{CF}{EF}=\frac{DF}{BF}$。
∴ $\frac{GF}{CF}=\frac{CF}{EF}$，即 $CF^2=GF · EF$。
【答案】
$CF^2 = GF · EF$
【知识点】
平行四边形的性质、平行线分线段成比例、比例的基本性质
【点评】
本题是平行四边形与比例线段结合的典型题，核心解题思路是将等积式转化为比例式，再借助平行线得到的比例关系找中间比进行等量代换，能很好地考查学生对比例性质和平行四边形性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明等积式$CF^2 = GF · EF$，可先将其转化为比例式$\frac{GF}{CF}=\frac{CF}{EF}$，只需证明两个比值相等即可。结合平行四边形对边平行的性质，可通过两组平行线分别得到含公共中间比$\frac{DF}{BF}$的比例式，通过等量代换得到所需比例式，再交叉相乘即可得到待证的等积式。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AB// CD$。
∴ $\frac{GF}{CF}=\frac{DF}{BF}$，$\frac{CF}{EF}=\frac{DF}{BF}$。
∴ $\frac{GF}{CF}=\frac{CF}{EF}$，即 $CF^2=GF · EF$。
【答案】
$CF^2 = GF · EF$
【知识点】
平行四边形的性质、平行线分线段成比例、比例的基本性质
【点评】
本题是平行四边形与比例线段结合的典型题，核心解题思路是将等积式转化为比例式，再借助平行线得到的比例关系找中间比进行等量代换，能很好地考查学生对比例性质和平行四边形性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
6 如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C,D的坐标分别是$(1,1),(1,5),(5,1),(7,1)$.若以C,D,E为顶点的三角形与$△ ABC$相似,则点E的坐标不可能是 (
A.$(7,-2)$
B.$(5,-1)$
C.$(6,0)$
D.$(7,3)$
A
)A.$(7,-2)$
B.$(5,-1)$
C.$(6,0)$
D.$(7,3)$
答案
6. A
解析
【分析】
首先先分析已知△ABC的特征：根据A、B、C三点坐标，可判断△ABC为等腰直角三角形，两条直角边长均为4，夹角为直角。再计算C、D两点距离得CD=2，若△CDE与△ABC相似，则△CDE也需为等腰直角三角形。接下来逐一验证四个选项对应的E点，判断组成的△CDE是否为等腰直角三角形，不符合的即为所求。
【解析】
1. 计算△ABC的边长和形状：
已知A(1,1)，B(1,5)，C(5,1)，则AB=5-1=4，AC=5-1=4，且AB⊥AC，故△ABC是等腰直角三角形，直角边之比为1:1。
2. 计算CD长度：C(5,1)，D(7,1)，则CD=7-5=2。
3. 逐一验证选项：
选项B：E(5,-1)，CE=1-(-1)=2，CE=CD=2，且CE⊥CD，△CDE为等腰直角三角形，与△ABC相似，不符合题意；
选项C：E(6,0)，CE=√[(6-5)²+(0-1)²]=√2，DE=√[(7-6)²+(1-0)²]=√2，CE=DE，且CE²+DE²=4=CD²，△CDE为等腰直角三角形，与△ABC相似，不符合题意；
选项D：E(7,3)，DE=3-1=2，DE=CD=2，且DE⊥CD，△CDE为等腰直角三角形，与△ABC相似，不符合题意；
选项A：E(7,-2)，DE=1-(-2)=3，CD=2，两条直角边长度比为2:3≠1:1，△CDE不是等腰直角三角形，与△ABC不相似，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定，平面直角坐标系内两点距离计算，等腰直角三角形判定
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查相似三角形的判定，解题的核心是先明确已知三角形的形状特征，再通过计算或画图验证各选项，难度适中，侧重对基础判定方法的应用。
【难度系数】
0.7
首先先分析已知△ABC的特征：根据A、B、C三点坐标，可判断△ABC为等腰直角三角形，两条直角边长均为4，夹角为直角。再计算C、D两点距离得CD=2，若△CDE与△ABC相似，则△CDE也需为等腰直角三角形。接下来逐一验证四个选项对应的E点，判断组成的△CDE是否为等腰直角三角形，不符合的即为所求。
【解析】
1. 计算△ABC的边长和形状：
已知A(1,1)，B(1,5)，C(5,1)，则AB=5-1=4，AC=5-1=4，且AB⊥AC，故△ABC是等腰直角三角形，直角边之比为1:1。
2. 计算CD长度：C(5,1)，D(7,1)，则CD=7-5=2。
3. 逐一验证选项：
选项B：E(5,-1)，CE=1-(-1)=2，CE=CD=2，且CE⊥CD，△CDE为等腰直角三角形，与△ABC相似，不符合题意；
选项C：E(6,0)，CE=√[(6-5)²+(0-1)²]=√2，DE=√[(7-6)²+(1-0)²]=√2，CE=DE，且CE²+DE²=4=CD²，△CDE为等腰直角三角形，与△ABC相似，不符合题意；
选项D：E(7,3)，DE=3-1=2，DE=CD=2，且DE⊥CD，△CDE为等腰直角三角形，与△ABC相似，不符合题意；
选项A：E(7,-2)，DE=1-(-2)=3，CD=2，两条直角边长度比为2:3≠1:1，△CDE不是等腰直角三角形，与△ABC不相似，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定，平面直角坐标系内两点距离计算，等腰直角三角形判定
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查相似三角形的判定，解题的核心是先明确已知三角形的形状特征，再通过计算或画图验证各选项，难度适中，侧重对基础判定方法的应用。
【难度系数】
0.7
7 如图，E 是线段 BC 的中点，$∠ B = ∠ C = ∠ AED$.有下列结论:① $△ ABE$ 与$△ ECD$相似;② $△ ABE$ 与$△ AED$相似;③ $\frac{AB}{AE}=\frac{AE}{AD}$;④ $∠ BAE=∠ EAD$.其中,正确的是 (
A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.①②④
A
)A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.①②④
答案
7. A
解析
【分析】
要判断四个结论是否正确，我们可以从已知的等角和中点条件出发，先利用三角形外角的性质推导相等的角，先证明△ABE和△ECD相似，再结合中点得到的边相等的条件，进一步证明△ABE和△AED相似，最后利用相似三角形的对应角、对应边的性质判断剩下的结论即可。
第一步：先找△ABE和△ECD的等角：已知∠B=∠C，再通过外角性质推导∠BAE=∠DEC，即可用AA判定两个三角形相似，验证①；
第二步：结合E是BC中点得BE=EC，将△ABE和△ECD相似得到的比例式变形，结合∠B=∠AED，用SAS判定△ABE和△AED相似，验证②；
第三步：利用△ABE和△AED相似的性质，对应边成比例、对应角相等，验证③和④即可。
【解析】
1. 证明①正确：
∵ ∠AEC是△ABE的外角，根据三角形外角性质，得∠AEC = ∠B + ∠BAE，
又
∵ ∠AEC = ∠AED + ∠DEC，且已知∠B = ∠AED，
∴ 等式两边减去相等的∠B和∠AED，得∠BAE = ∠DEC，
又
∵ ∠B = ∠C，
∴ △ABE ∽ △ECD（两角分别相等的两个三角形相似），故①正确。
2. 证明②正确：
∵ E是BC的中点，
∴ BE = EC，
由△ABE ∽ △ECD，得对应边成比例：$\frac{AB}{EC} = \frac{AE}{ED}$，
将EC替换为BE，得$\frac{AB}{BE} = \frac{AE}{ED}$，变形为$\frac{AB}{AE} = \frac{BE}{ED}$，
又
∵ ∠B = ∠AED，
∴ △ABE ∽ △AED（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），故②正确。
3. 证明③④正确：
由△ABE ∽ △AED，得对应边成比例：$\frac{AB}{AE} = \frac{AE}{AD}$，故③正确；
对应角相等：∠BAE = ∠EAD，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，解题核心是通过外角性质推导等角，结合中点条件逐步证明三角形相似，再利用相似的性质得到边、角的对应关系，解题时要注意相似三角形对应边、对应角的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.6
要判断四个结论是否正确，我们可以从已知的等角和中点条件出发，先利用三角形外角的性质推导相等的角，先证明△ABE和△ECD相似，再结合中点得到的边相等的条件，进一步证明△ABE和△AED相似，最后利用相似三角形的对应角、对应边的性质判断剩下的结论即可。
第一步：先找△ABE和△ECD的等角：已知∠B=∠C，再通过外角性质推导∠BAE=∠DEC，即可用AA判定两个三角形相似，验证①；
第二步：结合E是BC中点得BE=EC，将△ABE和△ECD相似得到的比例式变形，结合∠B=∠AED，用SAS判定△ABE和△AED相似，验证②；
第三步：利用△ABE和△AED相似的性质，对应边成比例、对应角相等，验证③和④即可。
【解析】
1. 证明①正确：
∵ ∠AEC是△ABE的外角，根据三角形外角性质，得∠AEC = ∠B + ∠BAE，
又
∵ ∠AEC = ∠AED + ∠DEC，且已知∠B = ∠AED，
∴ 等式两边减去相等的∠B和∠AED，得∠BAE = ∠DEC，
又
∵ ∠B = ∠C，
∴ △ABE ∽ △ECD（两角分别相等的两个三角形相似），故①正确。
2. 证明②正确：
∵ E是BC的中点，
∴ BE = EC，
由△ABE ∽ △ECD，得对应边成比例：$\frac{AB}{EC} = \frac{AE}{ED}$，
将EC替换为BE，得$\frac{AB}{BE} = \frac{AE}{ED}$，变形为$\frac{AB}{AE} = \frac{BE}{ED}$，
又
∵ ∠B = ∠AED，
∴ △ABE ∽ △AED（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），故②正确。
3. 证明③④正确：
由△ABE ∽ △AED，得对应边成比例：$\frac{AB}{AE} = \frac{AE}{AD}$，故③正确；
对应角相等：∠BAE = ∠EAD，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，解题核心是通过外角性质推导等角，结合中点条件逐步证明三角形相似，再利用相似的性质得到边、角的对应关系，解题时要注意相似三角形对应边、对应角的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.6
8 如图，点D，E，F分别在等边三角形ABC的边AB，AC，BC上，且$DE ⊥ EF$，$∠ DFE = 60°$.若$EC=1$，则BF的长为
2
.答案
8. 2
解析
【分析】
解题时先从已知的等边三角形性质入手，得到△ABC各内角为60°；再结合DE⊥EF、∠DFE=60°，在Rt△DEF中推导DF与EF的比值；接着通过平角定义和三角形内角和，推导两组角对应相等，证明△BFD和△CEF相似；最后利用相似三角形的对应边成比例，代入EC=1即可求出BF的长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
在△CEF中，∠CEF + ∠CFE = 180° - ∠C = 120°，
∵∠DFE=60°，
∴∠BFD + ∠CFE = 180° - ∠DFE = 120°，
∴∠BFD = ∠CEF，
又
∵∠B=∠C=60°，
∴△BFD∽△CEF（两角分别相等的两个三角形相似），
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
在Rt△DEF中，∠DFE=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DF=2EF（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），即$\frac{DF}{EF}=2$，
∴△BFD与△CEF的相似比为$\frac{DF}{EF}=2$，
∴$\frac{BF}{CE}=2$，
∵EC=1，
∴BF=2×1=2。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的核心是通过角的等量代换找到相似三角形，再结合直角三角形的特殊边角关系得到相似比，计算难度不大，重在理清图形中角的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等边三角形性质入手，得到△ABC各内角为60°；再结合DE⊥EF、∠DFE=60°，在Rt△DEF中推导DF与EF的比值；接着通过平角定义和三角形内角和，推导两组角对应相等，证明△BFD和△CEF相似；最后利用相似三角形的对应边成比例，代入EC=1即可求出BF的长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
在△CEF中，∠CEF + ∠CFE = 180° - ∠C = 120°，
∵∠DFE=60°，
∴∠BFD + ∠CFE = 180° - ∠DFE = 120°，
∴∠BFD = ∠CEF，
又
∵∠B=∠C=60°，
∴△BFD∽△CEF（两角分别相等的两个三角形相似），
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
在Rt△DEF中，∠DFE=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DF=2EF（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），即$\frac{DF}{EF}=2$，
∴△BFD与△CEF的相似比为$\frac{DF}{EF}=2$，
∴$\frac{BF}{CE}=2$，
∵EC=1，
∴BF=2×1=2。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的核心是通过角的等量代换找到相似三角形，再结合直角三角形的特殊边角关系得到相似比，计算难度不大，重在理清图形中角的数量关系。
【难度系数】
0.7
9 如图,四边形ABCD为矩形,E为BC上的一点,F为CD上的一点,满足$AB · CF=BE · EC$,连接EF并延长,交AD的延长线于点M,连接AE,AF,DE.若$AE^2 + FD^2 = AF^2$,$∠ DEF=15°$,则$∠ M$的度数为
60°
.答案
9. $60°$
解析
【分析】
解题思路可按以下步骤展开：1. 先利用矩形的性质得到直角和对边平行的关系，结合已知的乘积式变形为比例式，证明△ABE和△ECF相似，推出∠AEF为直角；2. 结合勾股定理和已知的边长平方关系，推导得EF=FD，得到等腰△EFD，利用等腰三角形性质和外角定理算出∠EFC的度数；3. 在直角△ECF中算出∠CEF的度数，最后利用平行线的内错角相等得到∠M的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠ADC=90°，AD//BC，
∵$AB · CF=BE · EC$，
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$，
又
∵∠B=∠C=90°，
∴$△ ABE ∽ △ ECF$，
∴∠BAE=∠CEF。
∵在Rt△ABE中，∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CEF+∠BEA=90°，
∴∠AEF=180°-(∠CEF+∠BEA)=90°，
∴在Rt△AEF中，由勾股定理得$AF^2=AE^2+EF^2$。
结合已知$AE^2 + FD^2 = AF^2$，可得$EF^2=FD^2$，即$EF=FD$，
∴△EFD是等腰三角形，∠EDF=∠DEF=15°。
∵∠EFC是△DEF的外角，
∴∠EFC=∠EDF+∠DEF=15°+15°=30°。
在Rt△ECF中，∠C=90°，
∴∠CEF=90°-∠EFC=90°-30°=60°。
又
∵AD//BC，
∴∠M=∠CEF=60°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
$60°$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题综合了几何图形的多个基础性质，解题的核心是先通过比例关系证明相似得到直角，再结合勾股定理推导边的等量关系，逐步推导角度，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路可按以下步骤展开：1. 先利用矩形的性质得到直角和对边平行的关系，结合已知的乘积式变形为比例式，证明△ABE和△ECF相似，推出∠AEF为直角；2. 结合勾股定理和已知的边长平方关系，推导得EF=FD，得到等腰△EFD，利用等腰三角形性质和外角定理算出∠EFC的度数；3. 在直角△ECF中算出∠CEF的度数，最后利用平行线的内错角相等得到∠M的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠ADC=90°，AD//BC，
∵$AB · CF=BE · EC$，
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$，
又
∵∠B=∠C=90°，
∴$△ ABE ∽ △ ECF$，
∴∠BAE=∠CEF。
∵在Rt△ABE中，∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CEF+∠BEA=90°，
∴∠AEF=180°-(∠CEF+∠BEA)=90°，
∴在Rt△AEF中，由勾股定理得$AF^2=AE^2+EF^2$。
结合已知$AE^2 + FD^2 = AF^2$，可得$EF^2=FD^2$，即$EF=FD$，
∴△EFD是等腰三角形，∠EDF=∠DEF=15°。
∵∠EFC是△DEF的外角，
∴∠EFC=∠EDF+∠DEF=15°+15°=30°。
在Rt△ECF中，∠C=90°，
∴∠CEF=90°-∠EFC=90°-30°=60°。
又
∵AD//BC，
∴∠M=∠CEF=60°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
$60°$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题综合了几何图形的多个基础性质，解题的核心是先通过比例关系证明相似得到直角，再结合勾股定理推导边的等量关系，逐步推导角度，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
10 如图，$△ ABC ∽ △ AEF$，B，E，F三点在同一条直线上，EF与AC交于点O，连接BE，CF.
（1）求证：$△ ABE ∽ △ ACF$；
（2）若$AF = 5$，$BC = 10$，$△ AOF$的面积为8，求$△ BOC$的面积.
（1）求证：$△ ABE ∽ △ ACF$；
（2）若$AF = 5$，$BC = 10$，$△ AOF$的面积为8，求$△ BOC$的面积.
答案
(1) $\because △ ABC ∽ △ AEF, \therefore ∠ BAC=∠ EAF, \frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}$.
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}, ∠ BAC-∠ EAC=∠ EAF-∠ EAC$,即$∠ BAE=∠ CAF. \therefore △ ABE ∽ △ ACF$
(2) 由(1),知$△ ABE ∽ △ ACF$,
$\therefore ∠ ABE=∠ ACF. \because ∠ AOB=∠ FOC, \therefore △ AOB ∽ △ FOC$.
$\therefore \frac{AO}{FO}=\frac{OB}{OC}. \therefore \frac{AO}{BO}=\frac{FO}{CO}. \because ∠ AOF=∠ BOC, \therefore △ AOF ∽ △ BOC. \therefore S_{△ BOC}: S_{△ AOF}=(\frac{BC}{AF})^2=(\frac{10}{5})^2=4. \because S_{△ AOF}=8$,
$\therefore S_{△ BOC}=32$,即$△ BOC$的面积为32
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}, ∠ BAC-∠ EAC=∠ EAF-∠ EAC$,即$∠ BAE=∠ CAF. \therefore △ ABE ∽ △ ACF$
(2) 由(1),知$△ ABE ∽ △ ACF$,
$\therefore ∠ ABE=∠ ACF. \because ∠ AOB=∠ FOC, \therefore △ AOB ∽ △ FOC$.
$\therefore \frac{AO}{FO}=\frac{OB}{OC}. \therefore \frac{AO}{BO}=\frac{FO}{CO}. \because ∠ AOF=∠ BOC, \therefore △ AOF ∽ △ BOC. \therefore S_{△ BOC}: S_{△ AOF}=(\frac{BC}{AF})^2=(\frac{10}{5})^2=4. \because S_{△ AOF}=8$,
$\therefore S_{△ BOC}=32$,即$△ BOC$的面积为32
解析
【分析】
（1）要证明$△ ABE ∽ △ ACF$，可从已知的$△ ABC ∽ △ AEF$入手，先得到对应角相等、对应边成比例，再通过角的等量运算得到两个三角形的夹角相等，同时转化边的比例得到两边对应成比例，即可用“两边成比例且夹角相等”判定两三角形相似。
（2）要求$△ BOC$的面积，已知$△ AOF$的面积，可尝试证明两个三角形相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解。首先由（1）的相似结论得到对应角相等，结合对顶角相等推导中间相似三角形，转化边的比例后，再结合对顶角相等证明$△ AOF ∽ △ BOC$，最后代入已知条件计算面积即可。
【解析】
（1）证明：$\because △ ABC ∽ △ AEF$，
$\therefore ∠ BAC=∠ EAF$，$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}$，
将边的比例变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}$，
两个角同时减去公共角$∠ EAC$，得$∠ BAC-∠ EAC=∠ EAF-∠ EAC$，即$∠ BAE=∠ CAF$，
$\therefore △ ABE ∽ △ ACF$。
（2）解：由（1）可知$△ ABE ∽ △ ACF$，
$\therefore ∠ ABE=∠ ACF$，
又$\because ∠ AOB=∠ FOC$（对顶角相等），
$\therefore △ AOB ∽ △ FOC$，
$\therefore \frac{AO}{FO}=\frac{OB}{OC}$，变形得$\frac{AO}{BO}=\frac{FO}{CO}$，
又$\because ∠ AOF=∠ BOC$（对顶角相等），
$\therefore △ AOF ∽ △ BOC$，
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△ BOC}}{S_{△ AOF}}=(\frac{BC}{AF})^2$，
代入$AF=5$，$BC=10$，得$\frac{S_{△ BOC}}{S_{△ AOF}}=(\frac{10}{5})^2=4$，
已知$S_{△ AOF}=8$，
$\therefore S_{△ BOC}=4×8=32$。
【答案】
（1）证明成立；（2）32
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形面积比
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题型，解题关键是灵活运用相似的判定和性质，通过角的等量代换、边比例的转化逐步推导得到目标相似关系，是几何部分的常考题型，需要熟练掌握相似相关定理并灵活运用条件。
【难度系数】
0.65
（1）要证明$△ ABE ∽ △ ACF$，可从已知的$△ ABC ∽ △ AEF$入手，先得到对应角相等、对应边成比例，再通过角的等量运算得到两个三角形的夹角相等，同时转化边的比例得到两边对应成比例，即可用“两边成比例且夹角相等”判定两三角形相似。
（2）要求$△ BOC$的面积，已知$△ AOF$的面积，可尝试证明两个三角形相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解。首先由（1）的相似结论得到对应角相等，结合对顶角相等推导中间相似三角形，转化边的比例后，再结合对顶角相等证明$△ AOF ∽ △ BOC$，最后代入已知条件计算面积即可。
【解析】
（1）证明：$\because △ ABC ∽ △ AEF$，
$\therefore ∠ BAC=∠ EAF$，$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}$，
将边的比例变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}$，
两个角同时减去公共角$∠ EAC$，得$∠ BAC-∠ EAC=∠ EAF-∠ EAC$，即$∠ BAE=∠ CAF$，
$\therefore △ ABE ∽ △ ACF$。
（2）解：由（1）可知$△ ABE ∽ △ ACF$，
$\therefore ∠ ABE=∠ ACF$，
又$\because ∠ AOB=∠ FOC$（对顶角相等），
$\therefore △ AOB ∽ △ FOC$，
$\therefore \frac{AO}{FO}=\frac{OB}{OC}$，变形得$\frac{AO}{BO}=\frac{FO}{CO}$，
又$\because ∠ AOF=∠ BOC$（对顶角相等），
$\therefore △ AOF ∽ △ BOC$，
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△ BOC}}{S_{△ AOF}}=(\frac{BC}{AF})^2$，
代入$AF=5$，$BC=10$，得$\frac{S_{△ BOC}}{S_{△ AOF}}=(\frac{10}{5})^2=4$，
已知$S_{△ AOF}=8$，
$\therefore S_{△ BOC}=4×8=32$。
【答案】
（1）证明成立；（2）32
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形面积比
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题型，解题关键是灵活运用相似的判定和性质，通过角的等量代换、边比例的转化逐步推导得到目标相似关系，是几何部分的常考题型，需要熟练掌握相似相关定理并灵活运用条件。
【难度系数】
0.65
11 [2025石家庄辛集期末]有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上。每本书的厚度为5 cm，高度为20 cm，书架的长为40 cm，则FI的长为 （
A.5 cm
B.$\frac{40}{17}$ cm
C.$\frac{20}{17}$ cm
D.8 cm
B
）A.5 cm
B.$\frac{40}{17}$ cm
C.$\frac{20}{17}$ cm
D.8 cm
答案
11. B
解析
【分析】
首先观察图形特征：斜放的书与书架的水平底边、竖直侧边形成两个直角三角形，由同角的余角相等可判定这两个三角形相似，相似比等于书的高度与厚度的比值4:1。结合四本竖放书的总厚度、书架的总长度，可得到斜放书籍所在区域的边长关系，设FI的长度为未知数，利用相似三角形对应边成比例建立方程即可求解。
【解析】
解：由题意可知，每本书厚度为5cm，高度为20cm，斜放的书与书架边框形成的两个直角三角形相似，相似比为$20:5=4:1$。
设$FI=x\ \mathrm{cm}$，根据相似三角形对应边成比例的性质，结合书架边长的数量关系列方程可得：
$17x=40$
解得$x=\frac{40}{17}$
即FI的长为$\frac{40}{17}\ \mathrm{cm}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合生活中书架放书的场景，考查相似三角形的实际应用，解题关键是准确识别图中的相似三角形，利用相似比结合边长关系列方程求解，对学生的图形观察能力和方程思想有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先观察图形特征：斜放的书与书架的水平底边、竖直侧边形成两个直角三角形，由同角的余角相等可判定这两个三角形相似，相似比等于书的高度与厚度的比值4:1。结合四本竖放书的总厚度、书架的总长度，可得到斜放书籍所在区域的边长关系，设FI的长度为未知数，利用相似三角形对应边成比例建立方程即可求解。
【解析】
解：由题意可知，每本书厚度为5cm，高度为20cm，斜放的书与书架边框形成的两个直角三角形相似，相似比为$20:5=4:1$。
设$FI=x\ \mathrm{cm}$，根据相似三角形对应边成比例的性质，结合书架边长的数量关系列方程可得：
$17x=40$
解得$x=\frac{40}{17}$
即FI的长为$\frac{40}{17}\ \mathrm{cm}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合生活中书架放书的场景，考查相似三角形的实际应用，解题关键是准确识别图中的相似三角形，利用相似比结合边长关系列方程求解，对学生的图形观察能力和方程思想有一定要求。
【难度系数】
0.6
