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1.「2025安徽合肥瑶海期末」已知线段AB，在线段AB的延长线上取一点C，使$AB=\frac{1}{2}BC$，M是线段AC的中点，若$AB=20$，则AM的长为（
A.5
B.10
C.15
D.30
D
）A.5
B.10
C.15
D.30
答案
1.D 因为AB=20,$AB=\frac{1}{2}BC$,所以BC=40,则AC=AB+BC=60,因为M是线段AC的中点,所以$AM=\frac{1}{2}AC=30$.故选D.
解析
【分析】
我们可以按照从已知到未知的顺序逐步推导：第一步，先利用AB的长度和AB与BC的数量关系求出BC的长度；第二步，因为点C在AB的延长线上，所以线段AC的总长度等于AB与BC的长度之和；第三步，根据线段中点的性质，中点会把线段分为长度相等的两段，因此AM的长度是AC的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
已知$AB=20$，且$AB=\frac{1}{2}BC$，因此可得$BC=2AB=2×20=40$。
因为点C在线段AB的延长线上，所以$AC=AB+BC=20+40=60$。
又因为M是线段AC的中点，根据线段中点的定义，$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×60=30$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题核心是理清各线段之间的数量关系，先求出总线段AC的长度，再结合中点性质求解即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
我们可以按照从已知到未知的顺序逐步推导：第一步，先利用AB的长度和AB与BC的数量关系求出BC的长度；第二步，因为点C在AB的延长线上，所以线段AC的总长度等于AB与BC的长度之和；第三步，根据线段中点的性质，中点会把线段分为长度相等的两段，因此AM的长度是AC的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
已知$AB=20$，且$AB=\frac{1}{2}BC$，因此可得$BC=2AB=2×20=40$。
因为点C在线段AB的延长线上，所以$AC=AB+BC=20+40=60$。
又因为M是线段AC的中点，根据线段中点的定义，$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×60=30$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题核心是理清各线段之间的数量关系，先求出总线段AC的长度，再结合中点性质求解即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
2.「2026安徽淮南期末」如图，E是线段AB的中点，点C在EB上，且$BC=4CE$，$AC=12\ \mathrm{cm}$.
(1)求AB的长.
(2)若F为CB的中点，则$EF=$
(1)求AB的长.
(2)若F为CB的中点，则$EF=$
6 cm
.答案
2.解析 (1)因为$BC=4CE$,所以$BE=BC+CE=5CE$,因为E是线段AB的中点,所以$AE=BE=\frac{1}{2}AB=5CE$,所以$AC=AE+EC=6CE$,因为$AC=12\ \mathrm{cm}$,所以$CE=\frac{1}{6}×12=2(\mathrm{cm})$,所以$AB=2BE=10CE=20\ \mathrm{cm}$.
(2)6 cm.
详解:由(1)得,$CE=2\ \mathrm{cm}$,$BE=10\ \mathrm{cm}$,因为F为CB的中点,所以$BF=\frac{1}{2}BC$,因为$BC=4CE=8\ \mathrm{cm}$,所以$BF=4\ \mathrm{cm}$,所以$EF=BE-BF=10-4=6\ \mathrm{cm}$.
(2)6 cm.
详解:由(1)得,$CE=2\ \mathrm{cm}$,$BE=10\ \mathrm{cm}$,因为F为CB的中点,所以$BF=\frac{1}{2}BC$,因为$BC=4CE=8\ \mathrm{cm}$,所以$BF=4\ \mathrm{cm}$,所以$EF=BE-BF=10-4=6\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
(1) 要求AB的长度，已知E是AB中点，可得AB=2BE=2AE，结合已知BC=4CE的倍分关系，可将BE、AE都用CE表示，再根据AC=AE+EC=12cm的等量关系先求出CE的长度，进而推导得到AB的长度。
(2) 求EF的长度，可先借助第一问的结论得到CE、BE、BC的长度，再利用F是CB中点的性质求出CF或BF的长度，最后通过线段的和差关系计算EF即可。
【解析】
(1) 因为$BC=4CE$，所以$BE=BC+CE=4CE+CE=5CE$。
因为E是线段AB的中点，所以$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，即$AE=5CE$。
又因为$AC=AE+EC$，代入得$AC=5CE+CE=6CE$。
已知$AC=12\ \mathrm{cm}$，因此$CE=12÷6=2\ \mathrm{cm}$，$BE=5×2=10\ \mathrm{cm}$。
所以$AB=2BE=2×10=20\ \mathrm{cm}$。
(2) 由(1)可得$CE=2\ \mathrm{cm}$，$BE=10\ \mathrm{cm}$，$BC=4CE=4×2=8\ \mathrm{cm}$。
因为F为CB的中点，所以$BF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
所以$EF=BE-BF=10-4=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $AB=20\ \mathrm{cm}$；(2) $6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点定义、线段和差计算、线段倍分关系
【点评】
本题是线段长度计算的常规题型，解题关键是通过线段的倍分关系将所有未知线段用同一个基准量表示，结合已知条件建立等量关系求解，能很好地考查对线段基本性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求AB的长度，已知E是AB中点，可得AB=2BE=2AE，结合已知BC=4CE的倍分关系，可将BE、AE都用CE表示，再根据AC=AE+EC=12cm的等量关系先求出CE的长度，进而推导得到AB的长度。
(2) 求EF的长度，可先借助第一问的结论得到CE、BE、BC的长度，再利用F是CB中点的性质求出CF或BF的长度，最后通过线段的和差关系计算EF即可。
【解析】
(1) 因为$BC=4CE$，所以$BE=BC+CE=4CE+CE=5CE$。
因为E是线段AB的中点，所以$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，即$AE=5CE$。
又因为$AC=AE+EC$，代入得$AC=5CE+CE=6CE$。
已知$AC=12\ \mathrm{cm}$，因此$CE=12÷6=2\ \mathrm{cm}$，$BE=5×2=10\ \mathrm{cm}$。
所以$AB=2BE=2×10=20\ \mathrm{cm}$。
(2) 由(1)可得$CE=2\ \mathrm{cm}$，$BE=10\ \mathrm{cm}$，$BC=4CE=4×2=8\ \mathrm{cm}$。
因为F为CB的中点，所以$BF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
所以$EF=BE-BF=10-4=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $AB=20\ \mathrm{cm}$；(2) $6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点定义、线段和差计算、线段倍分关系
【点评】
本题是线段长度计算的常规题型，解题关键是通过线段的倍分关系将所有未知线段用同一个基准量表示，结合已知条件建立等量关系求解，能很好地考查对线段基本性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
3.「2026安徽蚌埠二十六中期末」如图，A,B两地间修建了甲、乙两条路径，虽然甲路径有利于游客更好地观赏风光，但增加了路程的长度。其中蕴含的数学道理是
两点之间,线段最短
。答案
3.答案 两点之间,线段最短
解析
【分析】
解题时首先定位图中的两个固定端点A、B，再对比两条路径的特征：乙路径是直接连接A、B的线段，甲路径是弯曲的曲线。接下来回忆线段的相关性质：两点之间的所有连线（线段、曲线、折线等）中，线段的长度是最短的，由此就能对应得出题目蕴含的数学原理。
【解析】
观察图形可知，A、B是两个定点，连接A、B的两条路径中，乙路径为线段AB，甲路径为弯曲的曲线。根据线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短，因此甲路径的长度大于乙路径的长度，即修建甲路径会增加路程长度，对应的数学道理为两点之间，线段最短。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
两点之间线段最短
【点评】
本题结合实际生活场景考查线段的基本性质，难度较低，解题关键是明确两点之间线段最短的含义，能将生活现象和数学原理对应起来，也体现了数学在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.9
解题时首先定位图中的两个固定端点A、B，再对比两条路径的特征：乙路径是直接连接A、B的线段，甲路径是弯曲的曲线。接下来回忆线段的相关性质：两点之间的所有连线（线段、曲线、折线等）中，线段的长度是最短的，由此就能对应得出题目蕴含的数学原理。
【解析】
观察图形可知，A、B是两个定点，连接A、B的两条路径中，乙路径为线段AB，甲路径为弯曲的曲线。根据线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短，因此甲路径的长度大于乙路径的长度，即修建甲路径会增加路程长度，对应的数学道理为两点之间，线段最短。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
两点之间线段最短
【点评】
本题结合实际生活场景考查线段的基本性质，难度较低，解题关键是明确两点之间线段最短的含义，能将生活现象和数学原理对应起来，也体现了数学在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.9
4.「2026安徽合肥肥东期末」如图，$AB=18$，$C$为$AB$的中点，点$D$在线段$AC$上，且$AD:CB=1:3$，则$B$，$D$两点间的距离为
15
。答案
4.答案 15
解析 因为$AB=18$,$C$为$AB$的中点,所以$AC=BC=\frac{1}{2}AB=9$,因为$AD:CB=1:3$,所以$AD=\frac{1}{3}BC=3$,所以$BD=AB-AD=18-3=15$,即$B,D$两点间的距离为15.
解析 因为$AB=18$,$C$为$AB$的中点,所以$AC=BC=\frac{1}{2}AB=9$,因为$AD:CB=1:3$,所以$AD=\frac{1}{3}BC=3$,所以$BD=AB-AD=18-3=15$,即$B,D$两点间的距离为15.
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导：第一步，先根据线段中点的性质，求出BC的长度；第二步，结合AD与CB的比例关系，计算出AD的长度；第三步，观察线段位置可知BD的长度等于AB的总长减去AD的长度，代入数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵$AB=18$，$C$为$AB$的中点，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×18=9$，
∵$AD:CB=1:3$，
∴$AD=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×9=3$，
∴$BD=AB-AD=18-3=15$。
【答案】
15
【知识点】
线段中点，线段和差计算，比例计算
【点评】
本题是线段计算的基础常考题，解题关键是熟练运用线段中点的性质求出相关线段长度，再结合比例关系和线段和差关系求解，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.85
解题时从已知条件逐步推导：第一步，先根据线段中点的性质，求出BC的长度；第二步，结合AD与CB的比例关系，计算出AD的长度；第三步，观察线段位置可知BD的长度等于AB的总长减去AD的长度，代入数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵$AB=18$，$C$为$AB$的中点，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×18=9$，
∵$AD:CB=1:3$，
∴$AD=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×9=3$，
∴$BD=AB-AD=18-3=15$。
【答案】
15
【知识点】
线段中点，线段和差计算，比例计算
【点评】
本题是线段计算的基础常考题，解题关键是熟练运用线段中点的性质求出相关线段长度，再结合比例关系和线段和差关系求解，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.85
5.「2026安徽淮南期末，★☆」如图，线段$AB=12$，$C$是线段$AB$的中点，$D$是线段$BC$的中点，在线段$AB$上有一点$E$，$CE=\frac{1}{5}BC$，则$DE$的长为
$\frac{9}{5}$或$\frac{21}{5}$
。答案
5.答案 $\frac{9}{5}$或$\frac{21}{5}$
解析 因为C是线段AB的中点,$AB=12$,所以$BC=\frac{1}{2}AB=6$,因为D是BC的中点,所以$CD=\frac{1}{2}BC=3$,因为$CE=\frac{1}{5}BC$,所以$CE=\frac{1}{5}×6=\frac{6}{5}$,分两种情况:
①当点E在点C右侧时,$DE=CD-CE=3-\frac{6}{5}=\frac{9}{5}$;
②当点E在点C左侧时,$DE=CD+CE=3+\frac{6}{5}=\frac{21}{5}$.
综上,$DE$的长为$\frac{9}{5}$或$\frac{21}{5}$.
解析 因为C是线段AB的中点,$AB=12$,所以$BC=\frac{1}{2}AB=6$,因为D是BC的中点,所以$CD=\frac{1}{2}BC=3$,因为$CE=\frac{1}{5}BC$,所以$CE=\frac{1}{5}×6=\frac{6}{5}$,分两种情况:
①当点E在点C右侧时,$DE=CD-CE=3-\frac{6}{5}=\frac{9}{5}$;
②当点E在点C左侧时,$DE=CD+CE=3+\frac{6}{5}=\frac{21}{5}$.
综上,$DE$的长为$\frac{9}{5}$或$\frac{21}{5}$.
解析
【分析】
解题时首先根据线段中点的定义依次求出BC、CD的长度，再结合已知求出CE的长度；由于题目仅说明点E在线段AB上，未明确E在点C的左侧还是右侧，因此需要分两种情况讨论，分别根据线段的和差关系计算DE的长度即可。
【解析】
解：
∵C是线段AB的中点，AB=12，
∴$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$，
∵D是线段BC的中点，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，
∵$CE=\frac{1}{5}BC$，
∴$CE=\frac{1}{5}×6=\frac{6}{5}$，
分两种情况讨论：
①当点E在点C右侧时，$DE=CD-CE=3-\frac{6}{5}=\frac{9}{5}$；
②当点E在点C左侧时，$DE=CD+CE=3+\frac{6}{5}=\frac{21}{5}$。
综上，DE的长为$\frac{9}{5}$或$\frac{21}{5}$。
【答案】
$\frac{9}{5}$或$\frac{21}{5}$
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题考查线段相关的计算，解题关键是明确点E的位置存在两种情况，结合线段的和差关系分别计算即可，需注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据线段中点的定义依次求出BC、CD的长度，再结合已知求出CE的长度；由于题目仅说明点E在线段AB上，未明确E在点C的左侧还是右侧，因此需要分两种情况讨论，分别根据线段的和差关系计算DE的长度即可。
【解析】
解：
∵C是线段AB的中点，AB=12，
∴$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$，
∵D是线段BC的中点，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，
∵$CE=\frac{1}{5}BC$，
∴$CE=\frac{1}{5}×6=\frac{6}{5}$，
分两种情况讨论：
①当点E在点C右侧时，$DE=CD-CE=3-\frac{6}{5}=\frac{9}{5}$；
②当点E在点C左侧时，$DE=CD+CE=3+\frac{6}{5}=\frac{21}{5}$。
综上，DE的长为$\frac{9}{5}$或$\frac{21}{5}$。
【答案】
$\frac{9}{5}$或$\frac{21}{5}$
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题考查线段相关的计算，解题关键是明确点E的位置存在两种情况，结合线段的和差关系分别计算即可，需注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
6.「2025安徽亳州涡阳期末，★☆」如图，点$M$在线段$AN$的延长线上，且线段$MN=2$.第一次操作：分别取线段$AM$和$AN$的中点$M_1,N_1$.第二次操作：分别取线段$AM_1$和$AN_1$的中点$M_2,N_2$.第三次操作：分别取线段$AM_2$和$AN_2$的中点$M_3,N_3$.……连续这样操作2026次，则$M_1N_1 + M_2N_2 + \dots + M_{2026}N_{2026} =$
$2-\frac{1}{2^{2025}}$
.答案
6.答案 $2-\frac{1}{2^{2025}}$
解析 因为$M_1,N_1$分别为线段$AM,AN$的中点,所以$AM_1=\frac{1}{2}AM$,$AN_1=\frac{1}{2}AN$,所以$M_1N_1=AM_1-AN_1=\frac{1}{2}(AM-AN)=\frac{1}{2}MN$.同理,$M_2N_2=AM_2-AN_2=\frac{1}{2^2}MN$,$M_3N_3=AM_3-AN_3=\frac{1}{2^3}MN$,$\dots\dots$,$M_{2026}N_{2026}=\frac{1}{2^{2026}}MN$,
所以 $M_1N_1 + M_2N_2 + \dots + M_{2026}N_{2026} = (\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{2026}})MN = (1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{2026}})MN = (1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{2026}})MN = \dots\dots = (1-\frac{1}{2^{2026}})MN=2-\frac{1}{2^{2025}}$.
解析 因为$M_1,N_1$分别为线段$AM,AN$的中点,所以$AM_1=\frac{1}{2}AM$,$AN_1=\frac{1}{2}AN$,所以$M_1N_1=AM_1-AN_1=\frac{1}{2}(AM-AN)=\frac{1}{2}MN$.同理,$M_2N_2=AM_2-AN_2=\frac{1}{2^2}MN$,$M_3N_3=AM_3-AN_3=\frac{1}{2^3}MN$,$\dots\dots$,$M_{2026}N_{2026}=\frac{1}{2^{2026}}MN$,
所以 $M_1N_1 + M_2N_2 + \dots + M_{2026}N_{2026} = (\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{2026}})MN = (1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{2026}})MN = (1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{2026}})MN = \dots\dots = (1-\frac{1}{2^{2026}})MN=2-\frac{1}{2^{2025}}$.
解析
【分析】
解题时首先结合线段中点的性质，推导首次操作得到的$M_1N_1$和已知线段$MN$的数量关系，再依次推导后续每次操作得到的$M_2N_2$、$M_3N_3$……的长度，归纳出$M_nN_n$的通用规律；再观察待求的和式是分数的累加，利用分数加减的逐项抵消规律计算总和，最后代入$MN=2$即可得到结果。
【解析】
因为$M_1$、$N_1$分别是$AM$、$AN$的中点，根据线段中点的定义，可得：
$AM_1=\frac{1}{2}AM$，$AN_1=\frac{1}{2}AN$
所以$M_1N_1=AM_1 - AN_1=\frac{1}{2}(AM - AN)=\frac{1}{2}MN$，已知$MN=2$。
同理，第二次操作时，$M_2$、$N_2$分别是$AM_1$、$AN_1$的中点，可得：
$M_2N_2=\frac{1}{2}M_1N_1=\frac{1}{2^2}MN$
第三次操作得$M_3N_3=\frac{1}{2^3}MN$
以此类推，第2026次操作时$M_{2026}N_{2026}=\frac{1}{2^{2026}}MN$
所以求和：
$M_1N_1 + M_2N_2 + \dots + M_{2026}N_{2026}$
$=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{2026}})× MN$
观察分数部分的规律：$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}=1-\frac{1}{2^2}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}=1-\frac{1}{2^3}$，以此类推，可得$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^{2026}}=1-\frac{1}{2^{2026}}$
代入$MN=2$得：
原式$=(1-\frac{1}{2^{2026}})×2=2-\frac{1}{2^{2025}}$
【答案】
$2-\frac{1}{2^{2025}}$
【知识点】
线段中点的性质；线段和差计算；规律探究
【点评】
本题将线段中点运算与规律探究相结合，解题核心是先归纳出每次操作后所得线段长度的变化规律，再利用分数求和的抵消技巧简化计算，能很好地考查逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合线段中点的性质，推导首次操作得到的$M_1N_1$和已知线段$MN$的数量关系，再依次推导后续每次操作得到的$M_2N_2$、$M_3N_3$……的长度，归纳出$M_nN_n$的通用规律；再观察待求的和式是分数的累加，利用分数加减的逐项抵消规律计算总和，最后代入$MN=2$即可得到结果。
【解析】
因为$M_1$、$N_1$分别是$AM$、$AN$的中点，根据线段中点的定义，可得：
$AM_1=\frac{1}{2}AM$，$AN_1=\frac{1}{2}AN$
所以$M_1N_1=AM_1 - AN_1=\frac{1}{2}(AM - AN)=\frac{1}{2}MN$，已知$MN=2$。
同理，第二次操作时，$M_2$、$N_2$分别是$AM_1$、$AN_1$的中点，可得：
$M_2N_2=\frac{1}{2}M_1N_1=\frac{1}{2^2}MN$
第三次操作得$M_3N_3=\frac{1}{2^3}MN$
以此类推，第2026次操作时$M_{2026}N_{2026}=\frac{1}{2^{2026}}MN$
所以求和：
$M_1N_1 + M_2N_2 + \dots + M_{2026}N_{2026}$
$=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{2026}})× MN$
观察分数部分的规律：$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}=1-\frac{1}{2^2}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}=1-\frac{1}{2^3}$，以此类推，可得$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^{2026}}=1-\frac{1}{2^{2026}}$
代入$MN=2$得：
原式$=(1-\frac{1}{2^{2026}})×2=2-\frac{1}{2^{2025}}$
【答案】
$2-\frac{1}{2^{2025}}$
【知识点】
线段中点的性质；线段和差计算；规律探究
【点评】
本题将线段中点运算与规律探究相结合，解题核心是先归纳出每次操作后所得线段长度的变化规律，再利用分数求和的抵消技巧简化计算，能很好地考查逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
7. 学科特色 方程思想 「2026安徽合肥新桥中学月考，★★」已知，点A,B,C,D在直线l上，且点A在点B的左侧，点C在点D的左侧，AB=6，CD=2.
(1) 如图1，若线段BC=1，则线段AD=
(2) 如图2，P,Q分别为AD,BC的中点，则PQ=
(3) 如图3，若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，N是线段BD的中点，若MN=2DN，求线段CD运动的时间.
(1) 如图1，若线段BC=1，则线段AD=
7或9
.(2) 如图2，P,Q分别为AD,BC的中点，则PQ=
2
.(3) 如图3，若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，N是线段BD的中点，若MN=2DN，求线段CD运动的时间.
答案
7.解析 (1)7或9.
详解:①
,当点C在点B的左侧时,因为AB=6,BC=1,CD=2,所以AD=AB+CD-BC=7.
②
,当点C在点B的右侧时,AD=AB+BC+CD=9.综上,线段AD=7或9.
(2)设$BC=x$,则$AD=AB+BC+CD=8+x$.
因为P,Q分别为AD,BC的中点,
所以$PD=\frac{1}{2}AD=4+\frac{1}{2}x$,$CQ=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}x$,
所以$PQ=PD-CD-CQ=4+\frac{1}{2}x-2-\frac{1}{2}x=2$.
(3)设线段CD运动的时间为t,则$AM=2t$,$BC=t$,
所以$BD=BC+CD=t+2$,因为N是线段BD的中点,
所以$DN=BN=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}t+1$,
当$t＜3$时,点M在线段AB上,$BM=AB-AM=6-2t$,
$MN=BM+BN=2DN$,
所以$6-2t+\frac{1}{2}t+1=2(\frac{1}{2}t+1)$,解得$t=2$;
当$3＜t＜6$时,点M在线段BC上,$BM=AM-AB=2t-6$,
$MN=BM-BN=2DN$或$MN=BN-BM=2DN$,
所以$(2t-6)-(\frac{1}{2}t+1)=2(\frac{1}{2}t+1)$,解得$t=18$(舍去),
或$(\frac{1}{2}t+1)-(2t-6)=2(\frac{1}{2}t+1)$,解得$t=2$(舍去);
当$t＞6$时,点M在BC的延长线上,$MN=BM-BN=2DN$,所以$(2t-6)-(\frac{1}{2}t+1)=2(\frac{1}{2}t+1)$,解得$t=18$.
综上,线段CD运动的时间为2秒或18秒.
解析
【分析】
(1) 未明确点C与点B的位置关系，需分两种情况讨论：①点C在点B左侧，②点C在点B右侧，结合线段和差关系计算AD长度；
(2) 设BC长度为x，先表示出AD总长度，再根据线段中点性质分别表示PD、CQ的长度，结合线段和差推导PQ长度，计算中x会抵消得到定值；
(3) 设CD运动时间为t秒，先表示出运动后各线段长度，根据N是BD中点得到DN、BN的表达式，再分三种情况讨论点M的位置，结合MN=2DN的等量关系列方程求解，舍去不符合区间的解即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
①，当点C在点B的左侧时，已知AB=6，BC=1，CD=2，因此$AD=AB+CD-BC=6+2-1=7$；
②，当点C在点B的右侧时，$AD=AB+BC+CD=6+1+2=9$；
综上，线段AD的长为7或9。
(2) 设$BC=x$，则$AD=AB+BC+CD=6+x+2=8+x$。
因为P是AD的中点，所以$PD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}(8+x)=4+\frac{1}{2}x$；
因为Q是BC的中点，所以$CQ=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}x$；
因此$PQ=PD-CD-CQ=(4+\frac{1}{2}x)-2-\frac{1}{2}x=2$。
(3) 设线段CD运动的时间为t秒，由题意得：$AM=2t$，$BC=t$。
则$BD=BC+CD=t+2$，因为N是线段BD的中点，所以$DN=BN=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}t+1$。
分三种情况讨论：
① 当$t＜3$时，点M在线段AB上，$BM=AB-AM=6-2t$，此时$MN=BM+BN$，代入$MN=2DN$得：
$6-2t+\frac{1}{2}t+1=2(\frac{1}{2}t+1)$，解得$t=2$，符合$t＜3$的条件；
② 当$3＜t＜6$时，点M在线段BC上，$BM=AM-AB=2t-6$：
若$MN=BM-BN$，则$(2t-6)-(\frac{1}{2}t+1)=2(\frac{1}{2}t+1)$，解得$t=18$，不符合$3＜t＜6$，舍去；
若$MN=BN-BM$，则$(\frac{1}{2}t+1)-(2t-6)=2(\frac{1}{2}t+1)$，解得$t=2$，不符合$3＜t＜6$，舍去；
③ 当$t＞6$时，点M在BC的延长线上，$MN=BM-BN$，代入得：
$(2t-6)-(\frac{1}{2}t+1)=2(\frac{1}{2}t+1)$，解得$t=18$，符合$t＞6$的条件。
综上，线段CD运动的时间为2秒或18秒。
【答案】
(1) $\boxed{7}$或$\boxed{9}$
(2) $\boxed{2}$
(3) $\boxed{2}$秒或$\boxed{18}$秒
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的性质、动点方程应用
【点评】
本题综合考查线段的相关计算，解题时需注意对不确定的点的位置进行分类讨论，避免漏解，运用方程思想处理动点类线段问题是此类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.6
(1) 未明确点C与点B的位置关系，需分两种情况讨论：①点C在点B左侧，②点C在点B右侧，结合线段和差关系计算AD长度；
(2) 设BC长度为x，先表示出AD总长度，再根据线段中点性质分别表示PD、CQ的长度，结合线段和差推导PQ长度，计算中x会抵消得到定值；
(3) 设CD运动时间为t秒，先表示出运动后各线段长度，根据N是BD中点得到DN、BN的表达式，再分三种情况讨论点M的位置，结合MN=2DN的等量关系列方程求解，舍去不符合区间的解即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
①
，当点C在点B的左侧时，已知AB=6，BC=1，CD=2，因此$AD=AB+CD-BC=6+2-1=7$；②
，当点C在点B的右侧时，$AD=AB+BC+CD=6+1+2=9$；综上，线段AD的长为7或9。
(2) 设$BC=x$，则$AD=AB+BC+CD=6+x+2=8+x$。
因为P是AD的中点，所以$PD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}(8+x)=4+\frac{1}{2}x$；
因为Q是BC的中点，所以$CQ=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}x$；
因此$PQ=PD-CD-CQ=(4+\frac{1}{2}x)-2-\frac{1}{2}x=2$。
(3) 设线段CD运动的时间为t秒，由题意得：$AM=2t$，$BC=t$。
则$BD=BC+CD=t+2$，因为N是线段BD的中点，所以$DN=BN=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}t+1$。
分三种情况讨论：
① 当$t＜3$时，点M在线段AB上，$BM=AB-AM=6-2t$，此时$MN=BM+BN$，代入$MN=2DN$得：
$6-2t+\frac{1}{2}t+1=2(\frac{1}{2}t+1)$，解得$t=2$，符合$t＜3$的条件；
② 当$3＜t＜6$时，点M在线段BC上，$BM=AM-AB=2t-6$：
若$MN=BM-BN$，则$(2t-6)-(\frac{1}{2}t+1)=2(\frac{1}{2}t+1)$，解得$t=18$，不符合$3＜t＜6$，舍去；
若$MN=BN-BM$，则$(\frac{1}{2}t+1)-(2t-6)=2(\frac{1}{2}t+1)$，解得$t=2$，不符合$3＜t＜6$，舍去；
③ 当$t＞6$时，点M在BC的延长线上，$MN=BM-BN$，代入得：
$(2t-6)-(\frac{1}{2}t+1)=2(\frac{1}{2}t+1)$，解得$t=18$，符合$t＞6$的条件。
综上，线段CD运动的时间为2秒或18秒。
【答案】
(1) $\boxed{7}$或$\boxed{9}$
(2) $\boxed{2}$
(3) $\boxed{2}$秒或$\boxed{18}$秒
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的性质、动点方程应用
【点评】
本题综合考查线段的相关计算，解题时需注意对不确定的点的位置进行分类讨论，避免漏解，运用方程思想处理动点类线段问题是此类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.6
