登录
疑难点拨
若关于x的一元二次方程$(k-1)x^{2}+2x-3=0$有实数根,则k的最小整数值为
点拨 由$b^{2}-4ac≥0$得k的不等关系,但容易忽略二次项系数$k≠1$这个条件.
若关于x的一元二次方程$(k-1)x^{2}+2x-3=0$有实数根,则k的最小整数值为
2
.点拨 由$b^{2}-4ac≥0$得k的不等关系,但容易忽略二次项系数$k≠1$这个条件.
答案
2
1. 下列方程中,有两个相等实数根的是 (
A.$(x-2)^{2}=-1$
B.$(x-2)^{2}=0$
C.$(x-2)^{2}=1$
D.$(x-2)^{2}=2$
B
)A.$(x-2)^{2}=-1$
B.$(x-2)^{2}=0$
C.$(x-2)^{2}=1$
D.$(x-2)^{2}=2$
答案
1. B
2. 关于x的方程$x^{2}+\sqrt{2}x-1=0$的根的情况是 (
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有一个实数根
D.没有实数根
A
)A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有一个实数根
D.没有实数根
答案
2. A
3. 不解方程,直接判断下列一元二次方程的根的情况.
(1) $x^{2}-3x-7=0$;
(2) $9x^{2}+6x+1=0$;
(3) $2x^{2}-5x+4=0$.
(1) $x^{2}-3x-7=0$;
(2) $9x^{2}+6x+1=0$;
(3) $2x^{2}-5x+4=0$.
答案
3. (1) $a=1,b=-3,c=-7,\Delta=b^2-4ac=9+28=37＞0$,所以方程有两个不相等的实数根.
(2) $a=9,b=6,c=1,b^2-4ac=36-36=0$,所以方程有两个相等的实数根.
(3) $a=2,b=-5,c=4,b^2-4ac=25-32=-7＜0$,所以方程无实数根.
(2) $a=9,b=6,c=1,b^2-4ac=36-36=0$,所以方程有两个相等的实数根.
(3) $a=2,b=-5,c=4,b^2-4ac=25-32=-7＜0$,所以方程无实数根.
4. 关于x的一元二次方程$x^{2}+2ax+a^{2}-1=0$的根的情况是 (
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数a的取值有关
C
)A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数a的取值有关
答案
4. C
5. 已知关于x的方程$x^{2}+(k+1)x+k^{2}-k+2=0$,求证:不论k取何实数,此方程都没有实数根.
答案
证明：
对于方程$x^{2}+(k+1)x+k^{2}-k+2=0$，
$a=1$，$b=k+1$，$c=k^{2}-k+2$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$
$=(k+1)^2 - 4×1×(k^2 - k + 2)$
$=k^2 + 2k + 1 - 4k^2 + 4k - 8$
$=-3k^2 + 6k - 7$
$=-3(k^2 - 2k) - 7$
$=-3[(k-1)^2 - 1] - 7$
$=-3(k-1)^2 + 3 - 7$
$=-3(k-1)^2 - 4$
因为$(k-1)^2 ≥ 0$，
所以$-3(k-1)^2 ≤ 0$，
则$-3(k-1)^2 - 4 ≤ -4 ＜ 0$，即$\Delta ＜ 0$。
所以不论k取何实数，此方程都没有实数根。
对于方程$x^{2}+(k+1)x+k^{2}-k+2=0$，
$a=1$，$b=k+1$，$c=k^{2}-k+2$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$
$=(k+1)^2 - 4×1×(k^2 - k + 2)$
$=k^2 + 2k + 1 - 4k^2 + 4k - 8$
$=-3k^2 + 6k - 7$
$=-3(k^2 - 2k) - 7$
$=-3[(k-1)^2 - 1] - 7$
$=-3(k-1)^2 + 3 - 7$
$=-3(k-1)^2 - 4$
因为$(k-1)^2 ≥ 0$，
所以$-3(k-1)^2 ≤ 0$，
则$-3(k-1)^2 - 4 ≤ -4 ＜ 0$，即$\Delta ＜ 0$。
所以不论k取何实数，此方程都没有实数根。
6. 已知关于x的一元二次方程$ax^{2}+6x+1=0$没有实数根,则a的取值范围是
$a＞9$
.答案
6. $a＞9$
7. 关于x的一元二次方程$x^{2}-x+c=0$有两个相等的实数根,则c的值为
$\frac{1}{4}$
.答案
7. $\frac{1}{4}$
