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1. 用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（
C
）答案
1. C
解析
【分析】
要判断哪个是线段垂直平分线的正确尺规作法，首先回忆尺规作线段垂直平分线的核心要求：①只能用无刻度直尺和圆规，不能用三角板等带刻度或直角的工具；②作图时需分别以线段的两个端点为圆心，取大于线段长度一半的长度为半径画弧，两弧会在线段的上下两侧各形成一个交点，过这两个交点的直线才是线段的垂直平分线。按照这个标准逐一判断选项即可。
【解析】
尺规作线段垂直平分线的正确步骤为：
1. 分别以已知线段的两个端点为圆心，以大于$\frac{1}{2}$线段长的长度为半径画弧，两弧在线段的上方、下方各交于一点；
2. 过上述两个交点作直线，该直线即为线段的垂直平分线。
对各选项逐一分析：
选项A：使用三角板作图，不符合尺规作图的工具要求，作法错误；
选项B：仅画出了线段上方的一个交点，仅一个交点无法确定垂直平分线，作法错误；
选项C：符合上述尺规作图的步骤，作法正确；
选项D：画弧时圆心不是线段的两个端点，不符合作图要求，作法错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作图、尺规作图基本要求
【点评】
本题属于基础作图类考题，重点考查线段垂直平分线的尺规作图规范，只要牢记作图的操作细节，明确圆心选取、交点数量的要求，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是线段垂直平分线的正确尺规作法，首先回忆尺规作线段垂直平分线的核心要求：①只能用无刻度直尺和圆规，不能用三角板等带刻度或直角的工具；②作图时需分别以线段的两个端点为圆心，取大于线段长度一半的长度为半径画弧，两弧会在线段的上下两侧各形成一个交点，过这两个交点的直线才是线段的垂直平分线。按照这个标准逐一判断选项即可。
【解析】
尺规作线段垂直平分线的正确步骤为：
1. 分别以已知线段的两个端点为圆心，以大于$\frac{1}{2}$线段长的长度为半径画弧，两弧在线段的上方、下方各交于一点；
2. 过上述两个交点作直线，该直线即为线段的垂直平分线。
对各选项逐一分析：
选项A：使用三角板作图，不符合尺规作图的工具要求，作法错误；
选项B：仅画出了线段上方的一个交点，仅一个交点无法确定垂直平分线，作法错误；
选项C：符合上述尺规作图的步骤，作法正确；
选项D：画弧时圆心不是线段的两个端点，不符合作图要求，作法错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作图、尺规作图基本要求
【点评】
本题属于基础作图类考题，重点考查线段垂直平分线的尺规作图规范，只要牢记作图的操作细节，明确圆心选取、交点数量的要求，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
2. [2026合肥段考]如图，$AB = AC$，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 BD.
（1）请对题干中的划线部分尺规作图（保留作图痕迹），并标记 D，E 两点；
（2）若 $AE = 6$，$△ BCD$ 的周长为 19，求 BC 的长.
（1）请对题干中的划线部分尺规作图（保留作图痕迹），并标记 D，E 两点；
（2）若 $AE = 6$，$△ BCD$ 的周长为 19，求 BC 的长.
答案
解:(1)所求作如图所示.
(2)
∵ MN 垂直平分AB,
∴ AD = BD ,AB = 2AE = 12,
∴ AC = AB = 12.
∵ △BCD 的周长为 19,即 BC + CD + BD = BC + CD + AD = BC + AC = 19,
∴ BC = 19 - AC =7.
解析
【分析】
（1）作AB的垂直平分线时，依据尺规作垂直平分线的方法：分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧的两个交点连线就是AB的垂直平分线，再按要求标记交点D、E即可。
（2）求BC长度时，首先利用线段垂直平分线的性质得到AD=BD、AB=2AE，再结合AB=AC的条件，可将△BCD的周长转化为BC与AC的和，代入已知数值就能计算出BC的长。
【解析】
（1）作图步骤：①分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧分别交于M、N两点；②作直线MN，MN与AB交于点E，与AC交于点D，即为所求图形。
（2）
∵ MN垂直平分AB，
∴ AD=BD，AB=2AE，
∵ AE=6，
∴ AB=2×6=12，
又
∵ AB=AC，
∴ AC=12，
∵ △BCD的周长为19，
∴ BC+CD+BD=19，
将BD替换为等量AD，可得：BC+CD+AD=BC+AC=19，
∴ BC=19-AC=19-12=7。
【答案】
(1)所求作如图所示.
(2)BC的长为7。
【知识点】
1.线段垂直平分线的作图
2.线段垂直平分线的性质
3.等腰三角形的性质
【点评】
本题侧重考查线段垂直平分线的基础应用，解题关键是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转换，将三角形周长转化为已知线段的和，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
（1）作AB的垂直平分线时，依据尺规作垂直平分线的方法：分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧的两个交点连线就是AB的垂直平分线，再按要求标记交点D、E即可。
（2）求BC长度时，首先利用线段垂直平分线的性质得到AD=BD、AB=2AE，再结合AB=AC的条件，可将△BCD的周长转化为BC与AC的和，代入已知数值就能计算出BC的长。
【解析】
（1）作图步骤：①分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧分别交于M、N两点；②作直线MN，MN与AB交于点E，与AC交于点D，即为所求图形。
（2）
∵ MN垂直平分AB，
∴ AD=BD，AB=2AE，
∵ AE=6，
∴ AB=2×6=12，
又
∵ AB=AC，
∴ AC=12，
∵ △BCD的周长为19，
∴ BC+CD+BD=19，
将BD替换为等量AD，可得：BC+CD+AD=BC+AC=19，
∴ BC=19-AC=19-12=7。
【答案】
(1)所求作如图所示.
(2)BC的长为7。
【知识点】
1.线段垂直平分线的作图
2.线段垂直平分线的性质
3.等腰三角形的性质
【点评】
本题侧重考查线段垂直平分线的基础应用，解题关键是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转换，将三角形周长转化为已知线段的和，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
3. 教材P135T2变式 为了方便农民就医,政府准备在某镇新建一个医疗点P,使医疗点P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A,B,C不在同一条直线上,地理位置如图所示),请用尺规作图的方法确定医疗点P的位置.(不写作法,保留作图痕迹)
答案
解:到A村、B村距离相等的点在AB的垂直平分线上,到B村、C村距离相等的点在BC的垂直平分线上,
∴到A村、B村、C村的距离相等的点是AB,BC垂直平分线的交点. 如图,点P即所求.
解析
【分析】
要找到到A、B、C三个村距离都相等的点P，可结合线段垂直平分线的性质思考：到线段两个端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。因此，到A、B两村距离相等的点都在AB的垂直平分线上，到B、C两村距离相等的点都在BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点就同时满足到A、B、C三点距离相等，即为所求的医疗点位置。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
1. 用尺规作线段AB的垂直平分线；
2. 用尺规作线段BC的垂直平分线；
两条垂直平分线的交点即为点P，该点在AB的垂直平分线上，故PA=PB；同时在BC的垂直平分线上，故PB=PC，因此PA=PB=PC，符合医疗点到三个村距离相等的要求。
【答案】
到A村、B村距离相等的点在AB的垂直平分线上,到B村、C村距离相等的点在BC的垂直平分线上,
∴到A村、B村、C村的距离相等的点是AB,BC垂直平分线的交点. 如图,点P即所求.
【知识点】
垂直平分线的性质与判定、尺规作图
【点评】
本题是线段垂直平分线相关知识的实际应用类题目，解题关键是将实际需求转化为“找两条垂直平分线交点”的数学问题，能有效锻炼学生的数学建模能力，属于基础作图类题型。
【难度系数】
0.8
要找到到A、B、C三个村距离都相等的点P，可结合线段垂直平分线的性质思考：到线段两个端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。因此，到A、B两村距离相等的点都在AB的垂直平分线上，到B、C两村距离相等的点都在BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点就同时满足到A、B、C三点距离相等，即为所求的医疗点位置。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
1. 用尺规作线段AB的垂直平分线；
2. 用尺规作线段BC的垂直平分线；
两条垂直平分线的交点即为点P，该点在AB的垂直平分线上，故PA=PB；同时在BC的垂直平分线上，故PB=PC，因此PA=PB=PC，符合医疗点到三个村距离相等的要求。
【答案】
到A村、B村距离相等的点在AB的垂直平分线上,到B村、C村距离相等的点在BC的垂直平分线上,
∴到A村、B村、C村的距离相等的点是AB,BC垂直平分线的交点. 如图,点P即所求.
【知识点】
垂直平分线的性质与判定、尺规作图
【点评】
本题是线段垂直平分线相关知识的实际应用类题目，解题关键是将实际需求转化为“找两条垂直平分线交点”的数学问题，能有效锻炼学生的数学建模能力，属于基础作图类题型。
【难度系数】
0.8
4. [2026安庆段考]已知$△ ABC(AC ＜ AB ＜ BC)$，用尺规在线段$BC$上确定一点$P$，使得$PA + PC = BC$，则符合要求的作图痕迹是 (
D
)答案
4. D
∵ PA + PC = BC ,PB + PC = BC ,
∴ PA = PB ,
∴ 点 P 是线段 AB 的垂直平分线与 BC 边的交点,结合选项图可知选 D.
∵ PA + PC = BC ,PB + PC = BC ,
∴ PA = PB ,
∴ 点 P 是线段 AB 的垂直平分线与 BC 边的交点,结合选项图可知选 D.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件PA+PC=BC入手，结合线段BC的和差关系BP+PC=BC，通过等量代换推导得出PA=PB；再根据线段垂直平分线的性质，可知到线段AB两端点距离相等的点P在AB的垂直平分线上，因此点P是AB的垂直平分线与BC的交点，最后对应选项判断作图痕迹即可。
【解析】
∵ PA + PC = BC，且点P在BC上，故BP + PC = BC，
∴ 联立两式可得PA = PB，
根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，可知点P在线段AB的垂直平分线上，即P为AB的垂直平分线与BC边的交点。
观察各选项作图痕迹：
A是作AP=AC，B是作角平分线，C是作AP=AB，均不符合要求；D是作AB的垂直平分线交BC于P，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作图识别，线段和差关系
【点评】
本题的核心是将待求的线段和条件转化为线段相等关系，进而结合垂直平分线的性质确定点的位置，考查了学生对基础几何性质的应用能力和对尺规作图痕迹的识别能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件PA+PC=BC入手，结合线段BC的和差关系BP+PC=BC，通过等量代换推导得出PA=PB；再根据线段垂直平分线的性质，可知到线段AB两端点距离相等的点P在AB的垂直平分线上，因此点P是AB的垂直平分线与BC的交点，最后对应选项判断作图痕迹即可。
【解析】
∵ PA + PC = BC，且点P在BC上，故BP + PC = BC，
∴ 联立两式可得PA = PB，
根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，可知点P在线段AB的垂直平分线上，即P为AB的垂直平分线与BC边的交点。
观察各选项作图痕迹：
A是作AP=AC，B是作角平分线，C是作AP=AB，均不符合要求；D是作AB的垂直平分线交BC于P，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作图识别，线段和差关系
【点评】
本题的核心是将待求的线段和条件转化为线段相等关系，进而结合垂直平分线的性质确定点的位置，考查了学生对基础几何性质的应用能力和对尺规作图痕迹的识别能力。
【难度系数】
0.7
5. 教材P135T2变式 A,B两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A的坐标是(2,2),点B的坐标是(7,3).
(1)一辆汽车沿公路由西向东行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使点C到A,B两校的距离相等,如果有?请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标;
(2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之和最小,通过作图在图中找出建游乐场P的位置,并求出它的坐标.
(1)一辆汽车沿公路由西向东行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使点C到A,B两校的距离相等,如果有?请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标;
(2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之和最小,通过作图在图中找出建游乐场P的位置,并求出它的坐标.
答案
解题思路:(1)连接 AB ,作出线段 AB 的垂直平分线,与 x 轴的交点即为所求的点;
(2)找到点 A 关于 x 轴的对称点,连接对称点与点 B ,与 x 轴的交点即为所求作的点.
解:(1)存在满足条件的点 C,如图所示.
(2)如图,作点 A 关于 x 轴的对称点 A'(2,-2),连接 A'B,A'B与 x 轴的交点即为所求的点 P.
设直线 A'B 的表达式为 y = kx + b(k≠0),
把(2,-2)和(7,3)代入,
得$\begin{cases}7k + b = 3,\\2k + b = -2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 1,\\b = -4,\end{cases}$
∴ 直线 A'B 的表达式为 y = x - 4,
令 y = 0,则 x = 4,
∴ 点 P 的坐标为(4,0).
解析
【分析】
(1) 要找到x轴上到A、B两点距离相等的点，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此只需作出线段AB的垂直平分线，它与x轴的交点就是满足条件的点C。
(2) 要在x轴上找一点P使PA+PB最小，属于同侧两点到直线上一点距离和最小的最短路径问题，可利用对称法转化：作点A关于x轴的对称点A'，根据对称的性质可知PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，根据两点之间线段最短，当A'、P、B三点共线时，PA'+PB最小，即PA+PB最小。求出直线A'B的解析式，再求它与x轴的交点坐标，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) 存在满足条件的点C。作图方法：连接AB，用尺规作出线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与x轴的交点即为所求的点C，保留作图痕迹即可。
(2) ① 作点A关于x轴的对称点A'，由关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得A'的坐标为(2,-2)。
② 连接A'B，A'B与x轴的交点即为所求的游乐场P的位置。
③ 设直线A'B的表达式为$y = kx + b(k≠0)$，将A'(2,-2)、B(7,3)代入表达式得方程组：
$\begin{cases}7k + b = 3\\2k + b = -2\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去b，得$5k=5$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$2k + b = -2$，得$2×1 + b = -2$，解得$b=-4$。
因此直线A'B的表达式为$y = x - 4$。
④ 求直线A'B与x轴的交点坐标：x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，则$x-4=0$，解得$x=4$。
【答案】
(1) 存在，作图如图所示；
(2) 点P的坐标为(4,0)，作图如图所示。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；最短路径问题；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题综合考查了尺规作图、轴对称的性质、一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质和最短路径问题的转化方法，同时能灵活运用待定系数法求函数解析式，属于几何与代数结合的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要找到x轴上到A、B两点距离相等的点，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此只需作出线段AB的垂直平分线，它与x轴的交点就是满足条件的点C。
(2) 要在x轴上找一点P使PA+PB最小，属于同侧两点到直线上一点距离和最小的最短路径问题，可利用对称法转化：作点A关于x轴的对称点A'，根据对称的性质可知PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，根据两点之间线段最短，当A'、P、B三点共线时，PA'+PB最小，即PA+PB最小。求出直线A'B的解析式，再求它与x轴的交点坐标，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) 存在满足条件的点C。作图方法：连接AB，用尺规作出线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与x轴的交点即为所求的点C，保留作图痕迹即可。
(2) ① 作点A关于x轴的对称点A'，由关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得A'的坐标为(2,-2)。
② 连接A'B，A'B与x轴的交点即为所求的游乐场P的位置。
③ 设直线A'B的表达式为$y = kx + b(k≠0)$，将A'(2,-2)、B(7,3)代入表达式得方程组：
$\begin{cases}7k + b = 3\\2k + b = -2\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去b，得$5k=5$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$2k + b = -2$，得$2×1 + b = -2$，解得$b=-4$。
因此直线A'B的表达式为$y = x - 4$。
④ 求直线A'B与x轴的交点坐标：x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，则$x-4=0$，解得$x=4$。
【答案】
(1) 存在，作图如图所示；
(2) 点P的坐标为(4,0)，作图如图所示。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；最短路径问题；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题综合考查了尺规作图、轴对称的性质、一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质和最短路径问题的转化方法，同时能灵活运用待定系数法求函数解析式，属于几何与代数结合的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
