[2025太原晋源区段考] 问题情境:某地计划新建一所高校,该学校包含图书馆、教学楼、实验楼与宿舍楼等公共设施,图1为该学校的平面设计图.为方便施工,需要建立平面直角坐标系,对该学校各公共设施的位置和所需的面积进行描述.
方案设计:
第一步:图2为该学校平面示意图简图,建立以图书馆为原点的平面直角坐标系,记建筑物中心点的坐标为该建筑坐标,该坐标系中1个单位长度表示的距离为50 m.
第二步:描述学校各设施的位置.
| 建筑物 | 中心点坐标 | 所需面积/$m^2$ | 建筑物 | 中心点坐标 | 所需面积/$m^2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 宿舍楼 | $A_1$ | $(4.5,8)$ | $2500$ | 宿舍楼 | $A_5$ | $(4.5,5)$ | $2500$ |
| | $A_2$ | $(6.5,8)$ | $2500$ | | $A_6$ | ① | $2500$ |
| | $A_3$ | $(4.5,6.5)$ | $2500$ | | $A_7$ | $(4.5,3.5)$ | $2500$ |
| | $A_4$ | ② | $2500$ | | $A_8$ | $(6.5,3.5)$ | $2500$ |
| 餐厅 | ③ | $(3.5,1)$ | $15000$ | 教学楼 | $D_1$ | $(-3,-3.5)$ | $7500$ |
| 报告厅 | $C$ | $(-2.5,3)$ | $15000$ | | $D_2$ | ④ | $7500$ |
| 实验楼 | $E$ | $(-3.25,-5.5)$ | ⑤ | | $D_3$ | $(-3,0)$ | $15000$ |
(1)①处应填写;②处应填写;③处应填写;④处应填写;⑤处应填写.
(2)该学校报告厅预计长为150 m,宽为100 m,根据表格中的信息,在图2中画出报告厅的示意图.
深入研究:学生上课最远通行距离.
(3)若按照图1中的白色路线进行建造,学生从哪个建筑到哪个建筑的通行距离最远?估算此时学生最远通行距离.

解:(1)(6.5,5) (6.5,6.5) B (-3,-2) 12 500
最后一空解法提示:E最右端为-2,最上端为-4.5,中心坐标为(-3.25,-5.5),
所以其长为2.5×50=125(m),宽为2×50=100(m),所以$S_{实验楼}=125×100=12500(m^2)$.
(2)因为报告厅的长为150 m,宽为100 m,所以在平面直角坐标系中报告厅长为3个单位长度,宽为2个单位长度(如图所示).
(3)由题图可知,从宿舍楼$A_2$到实验楼E的通行距离最远,
宿舍楼$A_2$的中心坐标为(6.5,8),实验楼E的中心坐标为(-3.25,-5.5),
$[6.5-(-3.25)]×50+[8-(-5.5)]×50=1162.5(m)$,
即学生最远通行距离约为1162.5 m.

【分析】
首先根据平面直角坐标系中各建筑物的位置，结合已知点的坐标规律推导未知点坐标；利用单位长度与实际距离的转换，确定报告厅的图上尺寸；通过计算各建筑间的坐标差，确定最远通行距离。
【解析】
(1) 观察A系列宿舍楼的坐标规律：同列x坐标相同，同行y坐标相同，因此A₆与A₂同x、与A₅同y，得①处为(6.5,5)；A₄与A₂同x、与A₃同y，得②处为(6.5,6.5)；餐厅对应图中B建筑，故③处为B；D系列中D₁(-3,-3.5)、D₃(-3,0)，D₂在两者之间，得④处为(-3,-2)；实验楼E的长为2.5×50=125m，宽为2×50=100m，面积为125×100=12500m²，故⑤处为12500。
(2) 单位长度为50m，报告厅实际长150m对应图上长度150÷50=3个单位，宽100m对应图上宽度100÷50=2个单位，以C(-2.5,3)为中心，画出长3单位、宽2单位的矩形即可。
(3) 对比各建筑坐标，A₂(6.5,8)与E(-3.25,-5.5)的坐标差最大，横向距离为6.5 - (-3.25)=9.75单位，纵向距离为8 - (-5.5)=13.5单位，总通行距离为(9.75+13.5)×50=1162.5m，故从A₂到E的通行距离最远，约1162.5m。
【答案】
(1) (6.5,5)；(6.5,6.5)；B；(-3,-2)；12500
(2)
(3) 从宿舍楼A₂到实验楼E的通行距离最远，约1162.5m
【知识点】
平面直角坐标系应用；坐标确定位置；距离与面积计算
【点评】
本题结合校园规划的实际场景，考查平面直角坐标系的应用，需要学生观察坐标规律、掌握单位转换及距离计算，题型贴近生活，注重知识的实际运用。
【难度系数】
0.6