1. [2025成都中考]在平面直角坐标系$xOy$中，点$P(-2,a^2+1)$所在的象限是（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

1 B 因为$-2＜0,a^2+1＞0$,所以点P所在的象限是第二象限.

【分析】
要判断点所在的象限，首先要明确四个象限的坐标符号特征：第一象限$(+,+)$、第二象限$(-,+)$、第三象限$(-,-)$、第四象限$(+,-)$。解题时先分别确定点$P$横、纵坐标的符号：横坐标是已知的$-2$，可直接判断符号；纵坐标是$a^2+1$，根据平方的非负性就能推出它的符号，最后对应象限特征即可得到答案。
【解析】
步骤1：判断横坐标的符号
点$P$的横坐标为$-2$，可得$-2＜0$。
步骤2：判断纵坐标的符号
根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，即$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1＞0$。
步骤3：对应象限特征判断
横坐标为负、纵坐标为正的点符合第二象限的坐标符号特征，因此点$P$在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
象限的坐标特征；平方的非负性
【点评】
本题属于基础题，结合了平方的性质和平面直角坐标系象限的知识点，只要牢记各象限的坐标符号规律、掌握平方的非负性，就能快速解题。
【难度系数】
0.9

2. [2024威海中考]定义新运算:①在平面直角坐标系中,{a,b}表示动点从原点出发,沿着x轴正方向(a≥0)或负方向(a＜0)平移|a|个单位长度,再沿着y轴正方向(b≥0)或负方向(b＜0)平移|b|个单位长度.例如,动点从原点出发,沿着x轴负方向平移2个单位长度,再沿着y轴正方向平移1个单位长度,记作{-2,1}.②加法运算法则:{a,b}+{c,d}={a+c,b+d},其中a,b,c,d为实数.若{3,5}+{m,n}={-1,2},则下列结论正确的是 ()

A.$m=2,n=7$
B.$m=-4,n=-3$
C.$m=4,n=3$
D.$m=-4,n=3$

2 B 由题知,3+m=-1,5+n=2,解得m=-4,n=-3.

【分析】
本题为新定义运算题型，解题首先需准确理解题目给出的新运算加法规则：两个有序数对相加时，对应位置的数分别相加，得到的结果仍为有序数对。已知两个有序数对相加的结果，只需让两个数对的x坐标之和等于结果的x坐标，y坐标之和等于结果的y坐标，分别列一元一次方程求解即可得到m、n的值。
【解析】
根据题意给出的新运算加法法则：$\{a,b\}+\{c,d\}=\{a+c,b+d\}$，可得：
$\{3,5\}+\{m,n\}=\{3+m,5+n\}$
已知$\{3,5\}+\{m,n\}=\{-1,2\}$，因此对应坐标相等，可列方程：
$3+m=-1$，解得$m=-1-3=-4$
$5+n=2$，解得$n=2-5=-3$
因此$m=-4$，$n=-3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题核心是读懂题目给出的新运算规则，将陌生的新运算转化为我们熟悉的一元一次方程求解即可，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8

3. 新趋势·数学文化 [2024甘肃中考] 敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将长方形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的长方形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率。如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为(15,16)，那么有序数对记为(12,17)对应的田地面积为 ()


A.一亩八十步
B.一亩二十步
C.半亩七十八步
D.半亩八十四步

3 D 根据(15,16)可得,横从上面自右向左看,纵从右边自下而上看,所以(12,17)对应的是半亩八十四步.

【分析】
本题是结合传统数学文化的新定义应用题，解题核心是先明确有序数对与《田积表》的对应规则。首先结合给出的示例(15,16)的含义，理清表格的读取方法：有序数对的第一个数对应表格顶部的横向步数，需从表头最右侧向左读取；第二个数对应表格右侧的纵向步数，需从表头最下方向上读取，找到两个步数交叉位置的内容即为所求面积。
【解析】
根据已知条件，有序数对(15,16)对应长15步、宽16步的田地面积，由此可确定表格的读取规则：
1. 横向步数对应表格最上方的表头，从右向左依次为10步、11步、12步……20步；
2. 纵向步数对应表格最右侧的表头，从下向上依次为11步、12步、13步……20步；
3. 查找有序数对(12,17)的对应位置：横向自右向左找到12步对应的列，纵向自下而上找到17步对应的行，二者交叉的单元格内容为半亩八十四步。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
有序数对的应用，图表信息提取
【点评】
本题以敦煌《算经》中的《田积表》为命题背景，既考查了学生对新定义规则的理解能力和图表信息的读取能力，也展现了我国古代数学的实用价值，解题的关键是准确把握有序数对和表格行列的对应关系。
【难度系数】
0.7

4. [2025威海中考]某广场计划用如图所示的A，B两种瓷砖铺成如图所示的图案.第一行第一列瓷砖的位置记为(1,1)，其右边瓷砖的位置记为(2,1)，其上面瓷砖的位置记为(1,2)，按照这样的规律，下列说法正确的是 ()

A.(2024,2025)位置是B种瓷砖
B.(2025,2025)位置是B种瓷砖
C.(2026,2026)位置是A种瓷砖
D.(2025,2026)位置是B种瓷砖

4 B 由题意可知,A种瓷砖所在位置依次为(1,2),(1,4),(1,6),…,(2,1),(2,3),(2,5),…;B种瓷砖所在位置依次为(1,1),(1,3),(1,5),…,(2,2),(2,4),(2,6),….由此可得,A种瓷砖的位置规律为(奇数,偶数),(偶数,奇数),B种瓷砖的位置规律为(奇数,奇数),(偶数,偶数).结合选项,可知只有B符合题意.

【分析】
解题时首先明确坐标记法为(横坐标x,纵坐标y)，先观察图2中已知位置的A、B瓷砖对应的x、y的数值特征，总结出瓷砖种类与x、y奇偶性的对应规律，再将各选项的坐标代入规律判断即可。第一步：列举几个已知坐标对应的瓷砖类型；第二步：对比x、y的奇偶性，归纳两类瓷砖的坐标特征；第三步：逐一验证选项，得出正确答案。
【解析】
根据题意和图2，先列出部分坐标对应的瓷砖类型：
x=1（奇数）时：(1,1)为B，(1,2)为A，(1,3)为B，(1,4)为A；
x=2（偶数）时：(2,1)为A，(2,2)为B，(2,3)为A，(2,4)为B；
x=3（奇数）时：(3,1)为B，(3,2)为A，(3,3)为B，(3,4)为A；
x=4（偶数）时：(4,1)为A，(4,2)为B，(4,3)为A，(4,4)为B。
归纳规律：
①A种瓷砖对应坐标(x,y)的特征：x和y奇偶性不同（即一奇一偶），包含（奇数,偶数）、（偶数,奇数）两类；
②B种瓷砖对应坐标(x,y)的特征：x和y奇偶性相同（即同奇同偶），包含（奇数,奇数）、（偶数,偶数）两类。
逐一分析选项：
A. (2024,2025)：x偶y奇，奇偶性不同，为A种瓷砖，错误；
B. (2025,2025)：x奇y奇，奇偶性相同，为B种瓷砖，正确；
C. (2026,2026)：x偶y偶，奇偶性相同，为B种瓷砖，错误；
D. (2025,2026)：x奇y偶，奇偶性不同，为A种瓷砖，错误。
【答案】
B
【知识点】
坐标规律探究，奇偶性判断
【点评】
本题结合生活中的铺瓷砖场景考查规律探究能力，解题核心是通过观察已知坐标的特征，总结出瓷砖类型和横、纵坐标奇偶性的对应关系，再快速判断选项即可，整体思路清晰。
【难度系数】
0.7

5. [2025宿迁中考]点$P(1,a+2)$在第一象限,则实数$a$的取值范围是.

5 $a＞-2$ 由题意可知$a+2＞0$,解得$a＞-2$.

【分析】
解题首先要明确第一象限内点的坐标符号特征：横坐标为正，纵坐标也为正。已知点P的横坐标是1，已经满足大于0的要求，因此只需让纵坐标大于0，据此列出关于a的一元一次不等式，求解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
∵ 第一象限内的点横坐标＞0，纵坐标＞0，
点P(1,a+2)的横坐标1＞0，已满足第一象限点的坐标要求，
∴ 只需纵坐标满足$a+2＞0$，
解这个不等式，移项得：$a ＞ -2$。
【答案】
$a＞-2$
【知识点】
第一象限点的坐标特征；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题，重点考查平面直角坐标系中第一象限的点的坐标符号规律，结合简单一元一次不等式的求解，熟练掌握各象限内点的坐标符号特点是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.9

6. [2024甘南州中考]若点$P(3m +1,2 -m)$在$x$轴上,则点$P$的坐标是.

6 (7,0) 因为点$P(3m+1,2-m)$在$x$轴上,所以$2-m=0$,解得$m=2$.把$m=2$代入$3m+1$,得$3m+1=3×2+1=7$,所以$P(7,0)$.

【分析】
解题时首先回忆x轴上点的坐标特征：所有在x轴上的点，纵坐标都为0。因此我们可以先利用这个特征列出关于m的一元一次方程，求出m的值后，再代入横坐标的表达式计算出横坐标的数值，最终就能得到点P的坐标。
【解析】
因为点$P(3m +1,2 -m)$在$x$轴上，所以点P的纵坐标为0，即：
$2 - m = 0$
解得$m = 2$
将$m = 2$代入横坐标表达式$3m + 1$得：
$3×2 + 1 = 7$
所以点P的坐标为$(7,0)$
【答案】
$(7,0)$
【知识点】
1. x轴上点的坐标特征
2. 解一元一次方程
3. 点坐标的计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查坐标轴上点的坐标性质，牢记x轴上点的纵坐标为0是解题的突破口，整体计算量小，掌握对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

7. 新趋势·结论开放 [2024 广元中考]若点$Q(x,y)$满足$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{xy}$，则称点$Q$为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标：。

7 (2,-1)(答案不唯一,满足$x+y=1$且$x≠0,y≠0$即可)

【分析】
首先理解新定义“美好点”的要求：点的横、纵坐标满足给定的分式方程。解题时第一步先明确分式有意义的条件：分母不能为0，因此x≠0，y≠0；第二步对分式方程去分母化简，得到x与y的数量关系；第三步任意取一个符合条件的x值，计算对应的y值，即可得到满足要求的坐标。
【解析】
要使分式$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{xy}$有意义，需满足$x≠0$，$y≠0$，且$xy≠0$。
将等式两边同时乘以公分母$xy$，去分母得：
$y + x = 1$，即$x + y = 1$。
取$x=2$（$x≠0$），代入得$y=1-2=-1$（$y≠0$），因此$(2,-1)$是一个“美好点”的坐标。
【答案】
$(2,-1)$（答案不唯一，满足$x+y=1$且$x≠0,y≠0$即可）
【知识点】
分式化简，新定义运算，点的坐标
【点评】
本题属于结论开放的新定义类题型，解题核心是先通过分式运算化简得到横纵坐标的关系，取值时注意要满足分式有意义的条件，避免x、y取0。
【难度系数】
0.8

8. 新趋势·结论开放 [2025 德阳中考] 三角形 ABC 在平面直角坐标系中,已知$A(1,0),B(3,0)$,如果三角形 ABC 的面积为 1,那么点 C 的坐标可以是.(只需写出一个即可)

8 (2,1)(答案不唯一,纵坐标绝对值为1即可) 因为A(1,0),B(3,0),所以AB=2.因为三角形ABC的面积为1,所以$\frac{1}{2}AB×|y_c|=1$,所以$|y_c|=1$,所以$y_c=±1$,所以点C的坐标可以是(2,1).

【分析】
首先观察点A、B的坐标特征，发现两点都在x轴上，第一步先计算线段AB的长度，将其作为三角形ABC的底边；三角形AB边上的高就是点C到x轴的距离，也就是点C纵坐标的绝对值，结合已知的三角形面积，代入面积公式即可求出点C纵坐标的取值范围，横坐标可任意选取，写出一个符合纵坐标要求的坐标即可。
【解析】
解：
∵A(1,0)，B(3,0)，两点均在x轴上，
∴$AB=3-1=2$，
设点C的纵坐标为$y_C$，则AB边上的高为点C到x轴的距离$|y_C|$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知$S_{△ ABC}=1$，代入得：
$\frac{1}{2}×2×|y_C|=1$，
解得$|y_C|=1$，即$y_C=1$或$y_C=-1$，
横坐标可取任意实数，例如取横坐标为2，可得点C坐标为(2,1)。
【答案】
(2,1)（答案不唯一，纵坐标绝对值为1即可）
【知识点】
三角形面积计算，平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是结论开放类基础题，将坐标系中点的坐标特征和三角形面积计算结合考查，解题关键是理解x轴上点的纵坐标为0，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，注意纵坐标可正可负，取值不唯一。
【难度系数】
0.9

9. [2022陕西中考] 如图,三角形ABC的顶点分别为A(-2,3),B(-3,0),C(-1,-1).将三角形ABC平移后得到三角形A'B'C',且点A的对应点是A'(2,3),点B,C的对应点分别是B',C'.
(1)点A,A'之间的距离是;
(2)请在图中画出三角形A'B'C'.

9 解:(1)4
由A(-2,3),A'(2,3)得,A,A'之间的距离是2-(-2)=4.
(2)由题意,得B'(1,0),C'(3,-1).
如图,三角形A'B'C'即为所求.

【分析】
(1) 求点A、A'的距离时，先观察两点坐标特征，发现两点纵坐标相同，说明两点连线平行于x轴，此时两点距离等于横坐标之差的绝对值，直接计算即可。(2) 画平移后的三角形，首先根据点A到对应点A'的坐标变化，确定平移规则为横坐标加4、纵坐标不变，再依据该规则算出点B、C对应点B'、C'的坐标，最后在坐标系中描出三个对应点，顺次连接即可得到平移后的三角形。
【解析】
(1) 已知A(-2,3)，A'(2,3)，两点纵坐标相等，因此两点的距离为横坐标差的绝对值，即$|2 - (-2)| = 4$。
(2) 由A到A'的坐标变化可知，平移规则为：图形上所有点的横坐标加4，纵坐标保持不变。
由此计算对应点坐标：点B(-3,0)的对应点B'坐标为$(-3+4,0)=(1,0)$，点C(-1,-1)的对应点C'坐标为$(-1+4,-1)=(3,-1)$。
在坐标系中依次描出A'(2,3)、B'(1,0)、C'(3,-1)，顺次连接三点，得到的三角形A'B'C'即为所求。
【答案】
(1) 4
(2) 如图，三角形A'B'C'即为所求。
【知识点】
两点间距离计算，坐标平移规律，平移作图
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平面直角坐标系中点的平移性质和距离计算，解题的关键是掌握平移前后对应点的坐标变化规律：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减，以及纵坐标相同的两点距离等于横坐标差的绝对值。
【难度系数】
0.9