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9.如图，两架梯子AB，CD靠墙摆放，已知梯子AB=6米，BE=3米，DF=4米，CF=2.4米.比较哪一架梯子较陡，并说明理由.
答案
9.解:梯子 AB 较陡.
理由:在$Rt△ ABE$中,$∠ AEB=90°,AB=6,BE=3,$
$\therefore AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=3\sqrt{3},$
$\therefore \tan ∠ ABE=\frac{AE}{BE}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}.$
在$Rt△ DCF$中,$∠ DFC=90°,$
$\therefore \tan ∠ DCF=\frac{DF}{CF}=\frac{4}{2.4}=\frac{5}{3}.$
$\because \tan ∠ ABE＞\tan ∠ DCF,$
$\therefore$梯子 AB 较陡.
理由:在$Rt△ ABE$中,$∠ AEB=90°,AB=6,BE=3,$
$\therefore AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=3\sqrt{3},$
$\therefore \tan ∠ ABE=\frac{AE}{BE}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}.$
在$Rt△ DCF$中,$∠ DFC=90°,$
$\therefore \tan ∠ DCF=\frac{DF}{CF}=\frac{4}{2.4}=\frac{5}{3}.$
$\because \tan ∠ ABE＞\tan ∠ DCF,$
$\therefore$梯子 AB 较陡.
10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$\tan A=\frac{1}{2}$,按以下步骤作图:①以点$C$为圆心,$BC$长为半径画弧,交$AC$于点$D$;②以点$A$为圆心,$AD$长为半径画弧,交$AB$于点$E$.若$AE=mAB$,则$m$的值为 (
A.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
C
)A.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
答案
10.C
11.如图,在$3×1$的正方形网格中,A,B,C均为格点(网格线的交点),则$\tan∠ BAC$的值为 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
B
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
11.B
变式训练
寻找直角三角形→连接格点构造直角三角形
如图,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点(网格线的交点)上,则$\tan∠ BAC$的值为（
A.$2$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
图1（标注在右侧网格图内），网格图标注有A、B、C三点
寻找直角三角形→连接格点构造直角三角形
如图,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点(网格线的交点)上,则$\tan∠ BAC$的值为（
D
）A.$2$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
图1（标注在右侧网格图内），网格图标注有A、B、C三点
答案
【变式训练】D
12.有6个大小相同的小正方形，恰好如图放置在△ABC中，则tan B的值等于
$\dfrac{1}{2}$
。答案
12.$\dfrac{1}{2}$
13. [与T6互为孪生题]如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$ 于点 $D$，$AD = 4$，$BD = 9$. 求 $\tan A$ 的值.
答案
13.解:$\because ∠ ACB=90°,CD⊥ AB,$
$\therefore ∠ BCD+∠ ACD=∠ A+∠ ACD=90°,$
$\therefore ∠ BCD=∠ A,\therefore \tan A=\tan ∠ BCD,$
$\therefore \frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD},即CD^2=AD· BD=36,$
$\therefore CD=6(负值舍去),$
$\therefore \tan A=\frac{CD}{AD}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.$
$\therefore ∠ BCD+∠ ACD=∠ A+∠ ACD=90°,$
$\therefore ∠ BCD=∠ A,\therefore \tan A=\tan ∠ BCD,$
$\therefore \frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD},即CD^2=AD· BD=36,$
$\therefore CD=6(负值舍去),$
$\therefore \tan A=\frac{CD}{AD}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.$
14.定义:如图,在$Rt△ ABC$中,锐角$α$的邻边与对边的比叫作角$α$的余切,记作$\cot α$,即$\cot α=\frac{\mathrm{角}α\mathrm{的邻边}}{\mathrm{角}α\mathrm{的对边}}=\frac{AC}{BC}$. 根据上述角的余切定义,回答下列问题:
(1)求$\cot 30°$的值;
(2)若$\tan A=\frac{3}{4}$,其中$∠ A$为锐角,试求$\cot A$的值.
(1)求$\cot 30°$的值;
(2)若$\tan A=\frac{3}{4}$,其中$∠ A$为锐角,试求$\cot A$的值.
答案
14.解:(1)$\because$在$Rt△ ABC$中,$α=30°,$
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB,即AB=2BC,$
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2BC)^2-BC^2}=\sqrt{3}BC,$
$\therefore \cot 30°=\frac{AC}{BC}=\sqrt{3}.$
(2)$\because \tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4},$
$\therefore 设BC=3k,AC=4k,$
$\therefore \cot A=\frac{AC}{BC}=\frac{4k}{3k}=\frac{4}{3}.$
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB,即AB=2BC,$
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2BC)^2-BC^2}=\sqrt{3}BC,$
$\therefore \cot 30°=\frac{AC}{BC}=\sqrt{3}.$
(2)$\because \tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4},$
$\therefore 设BC=3k,AC=4k,$
$\therefore \cot A=\frac{AC}{BC}=\frac{4k}{3k}=\frac{4}{3}.$
