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8.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁4个三角形.若OA:OC=OB:OD=1:2,则下列说法正确的是 (
A.甲、丙相似,乙、丁相似
B.甲、丙相似,乙、丁不相似
C.甲、丙不相似,乙、丁相似
D.甲、丙不相似,乙、丁不相似
B
)A.甲、丙相似,乙、丁相似
B.甲、丙相似,乙、丁不相似
C.甲、丙不相似,乙、丁相似
D.甲、丙不相似,乙、丁不相似
答案
8.B
9.[2025·合肥庐阳区校级期末]如图,线段AC与BD相交于点O,给出下列条件:①$∠A=∠D$;②$∠B=∠C$;③$\frac{AB}{OB}=\frac{DC}{OC}$;④$OA· OC=OB· OD$.其中能判定$△ AOB$和$△ DOC$相似的个数为（
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
）A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
9.B
10.[与T6互为孪生题][2025·六安裕安区校级期中]如图,方格纸中每个小正方形的边长为1,$△ ABC$的顶点都在格点(网格线的交点)上,点$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,A,C$是$△ ABC$边上的7个格点.请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与$△ ABC$相似.符合题意的三角形共有
6
个.答案
10.6
11. 如图,在锐角△ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,垂足为点D,E.
(1)求证:△ACD∽△ABE.
(2)连接DE,△AED与△ABC相似吗?请说明理由.
(1)求证:△ACD∽△ABE.
(2)连接DE,△AED与△ABC相似吗?请说明理由.
答案
11.解:(1)
∵CD,BE分别是AB,AC边上的高，
∴∠ADC=∠AEB=90°.
∵∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABE.
(2)△AED∽△ABC.
理由:
∵△ACD∽△ABE,
∴AD:AE=AC:AB，
∴AD:AC=AE:AB.
∵∠A=∠A,
∴△AED∽△ABC.
∵CD,BE分别是AB,AC边上的高，
∴∠ADC=∠AEB=90°.
∵∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABE.
(2)△AED∽△ABC.
理由:
∵△ACD∽△ABE,
∴AD:AE=AC:AB，
∴AD:AC=AE:AB.
∵∠A=∠A,
∴△AED∽△ABC.
12. 如图,在等腰$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,E是$△ ABC$内任意一点,连接BE,CE,以CE为斜边在其一侧作等腰$Rt△ CEF$,连接AF.探究AF与BE的数量关系,并说明理由.
答案
12.解:$\frac{AF}{BE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
理由:
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=45°,$\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BCA=45°,$\frac{CA}{CB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠ACF=∠BCE,$\frac{CF}{CE}=\frac{CA}{CB}$，
∴△CAF∽△CBE,
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
理由:
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=45°,$\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BCA=45°,$\frac{CA}{CB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠ACF=∠BCE,$\frac{CF}{CE}=\frac{CA}{CB}$，
∴△CAF∽△CBE,
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
