10. 如图，将一张长方形纸片沿线段BD折叠，使点C落在点$C'$的位置. 若$BC'$恰好平分$∠ ABD$，则$∠ ABD=$.

60° 解析：因为四边形 ABCD 是长方形,所以∠ABC = 90°. 由折叠的性质,得 ∠CBD =∠C'BD. 因为 BC' 平分∠ABD,所以 ∠ABC' =∠C'BD,所以 ∠ABC' = ∠C'BD = ∠CBD,所以3∠ABC'=90°,所以∠ABC'=30°,所以∠ABD=∠ABC'+∠C'BD=2∠ABC'=60°.

11. 如图，点A，O，B在同一条直线上，$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ BOC + 30°$，OE平分$∠ BOC$，则$∠ BOE=$。

50° 解析:设∠BOC=x°,则∠AOC=(180-x)°.因为∠AOC=1/2∠BOC+30°,所以180-x=1/2x+30,解得x=100,即∠BOC=100°.因为 OE 平分∠BOC,所以∠BOE=1/2∠BOC=50°.

12. (2026·江苏淮安期末)如图，$∠ AOB=60°$，OC是$∠ AOB$的平分线，$OC_1$是$∠ AOC$的平分线，$OC_2$是$∠ AOC_1$的平分线……$OC_n$是$∠ AOC_{n-1}$的平分线($n≥2$，且$n$为整数)，则$∠ AOC_n=$.

$(\frac{30}{2^n})°$ 解析: 由题意,得∠AOC=30°,∠AOC₁=30°×1/2,∠AOC₂=30°×(1/2)²,…,依此类推,∠AOCₙ=30°×(1/2)ⁿ=(30/2ⁿ)°.

13. 如图，钟表上显示的时间是1时30分.
（1）此时时针与分针的夹角为多少度？
（2）设此时时针与分针的交点为O，时针为OB，分针为OA，过点O引一条射线OC，使$∠ BOC=25°$. 若OM平分$∠ AOC$，ON平分$∠ BOC$，求$∠ MON$的度数.

（1）此时时针与分针的夹角为 4.5×30°=135°.
（2）因为 OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC,所以∠COM = 1/2∠AOC,∠CON = 1/2∠BOC. 因为∠AOB = 135°,所以分类讨论如下:① 当射线OC 在∠AOB 内部时,∠MON = ∠COM + ∠CON =1/2(∠AOC + ∠BOC)=1/2∠AOB=67.5°;② 当射线OC 在∠AOB 外部时,∠MON = ∠COM -∠CON = 1/2(∠AOC- ∠BOC ) = 1/2∠AOB=67.5°.综上所述,∠MON 的度数为 67.5°.

14. (亮点原创) 我们定义:若两个角度数差的绝对值等于$60°$,则称这两个角互为“给力角”.例如:$∠1=160°$,$∠2=100°$,$|∠1-∠2|=60°$,则$∠1$和$∠2$互为“给力角”.如图,已知$∠ MON=120°$,射线OA平分$∠ MON$,$∠ BOC$在$∠ MON$的内部.若$∠ BOC=60°$,$∠ AOB≠∠ AOC$,则图中互为“给力角”的角共有对.

7 解析: 因为∠MON=120°,OA 平分∠MON,所以∠AOM = ∠AON = 1/2∠MON = 60°, 所以∠MON - ∠AOM = 60°,∠MON - ∠AON = 60°,∠MOC-∠AOC=60°,∠NOB-∠AOB=60°.因为∠BOC=60°,所以∠MON-∠BOC=60°,∠MOC-∠MOB=60°,∠NOB-∠NOC=60°.综上所述,互为“给力角”的角共有 7 对,分别为∠MON 和∠AOM,∠MON 和∠AON,∠MOC 和∠AOC,∠NOB 和∠AOB,∠MON 和∠BOC,∠MOC 和∠MOB,∠NOB 和∠NOC.

15. 如图①，O为直线AB上一点，过点O画射线OC，$∠ AOC = 30°$，将一块直角三角板（$∠ M = 30°$）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的上方.
（1）将图①中的三角板绕点O以每秒$3°$的速度按顺时针方向旋转一周，如图②，则经过多长时间，OM平分$∠ BOC$？
（2）在（1）的条件下，若三角板在转动的同时，射线OC也绕点O以每秒$6°$的速度按顺时针方向旋转一周，如图③，则经过多长时间，OC平分$∠ MON$？
（3）在（2）的条件下，经过多长时间，OC平分$∠ BOM$？

（1）因为∠AOC = 30°,所以∠BOC = 180°-∠AOC = 150°. 因为 OM 平分∠BOC,所以∠COM=1/2∠BOC=75°.因为∠MON=90°,所以∠CON=∠MON-∠COM=15°,所以∠AON=∠AOC-∠CON=15°.因为三角板绕点 O 以每秒3°的速度旋转,所以经过 15÷3 = 5(s),OM 平分∠BOC.
（2）设经过 t s,OC 平分∠MON. 因为∠MON=90°,所以∠CON=1/2∠MON=45°.因为三角板绕点 O以每秒 3°的速度旋转,射线 OC 绕点 O 以每秒 6°的速度旋转,所以∠AON=3t°,∠AOC=(30+6t)°,所以∠CON=∠AOC-∠AON=(30+3t)°,所以 30+3t=45,解得 t=5. 故经过 5 s,OC 平分∠MON.
（3）设经过 m s,OC 平分∠BOM. 因为三角板绕点O 以每秒 3°的速度旋转,射线 OC 绕点 O 以每秒 6°的速度旋转,所以∠AON=3m°,∠AOC=(30+6m)°,所以∠BOC = 180°- ∠AOC = (150 - 6m)°, 所以∠BOM=2∠BOC=(300-12m)°,所以∠MON=180°-∠AON-∠BOM=(9m-120)°.又∠MON=90°,所以 9m-120=90,解得 m=70/3. 故经过70/3 s,OC 平分∠BOM.