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⑦ 设a、b是方程$x^2 + x - 2025 = 0$的两个实数根，则$a + b =$
$-1$
。答案
7.$-1$
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两个实根的和，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先明确一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，若方程有两个实数根$x_1、x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$，我们只需对应找到题干方程的二次项系数、一次项系数，代入公式即可计算结果。
【解析】
已知方程$x^2 + x - 2025 = 0$，对照一元二次方程一般形式$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，可得：
二次项系数$A=1$，一次项系数$B=1$
因为$a、b$是该方程的两个实数根，根据根与系数的关系：
$a+b=-\frac{B}{A}=-\frac{1}{1}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根与系数关系的直接应用，只要熟练掌握公式、准确识别方程各项系数即可快速得出答案，是代数部分的常规考查题目。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程两个实根的和，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先明确一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，若方程有两个实数根$x_1、x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$，我们只需对应找到题干方程的二次项系数、一次项系数，代入公式即可计算结果。
【解析】
已知方程$x^2 + x - 2025 = 0$，对照一元二次方程一般形式$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，可得：
二次项系数$A=1$，一次项系数$B=1$
因为$a、b$是该方程的两个实数根，根据根与系数的关系：
$a+b=-\frac{B}{A}=-\frac{1}{1}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根与系数关系的直接应用，只要熟练掌握公式、准确识别方程各项系数即可快速得出答案，是代数部分的常规考查题目。
【难度系数】
0.9
8 如图，在数轴上点A、B所表示的数分别是0和2，且$CB ⊥ AB$，$BC=1$，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是
$\sqrt{5}$
。答案
8.$\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题思路可分三步：首先根据数轴上A、B的坐标求出直角边AB的长度；再在Rt△ABC中利用勾股定理求出斜边AC的长度；最后根据圆的半径相等，得到AD=AC，结合A点在原点、D在正半轴，即可得出D点表示的数。
【解析】
解：
∵点A、B表示的数分别为0和2，
∴$AB = 2 - 0 = 2$，
∵$CB⊥AB$，
∴$∠ABC=90°$，
在$Rt△ABC$中，$AB=2$，$BC=1$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$，
∵以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于D，
∴$AD = AC = \sqrt{5}$，
又
∵点A在原点，D在数轴正半轴，
∴点D表示的数为$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质；数轴与实数
【点评】
本题是几何与数轴结合的基础题型，核心是利用勾股定理求出线段长度，再结合圆半径相等的性质转化为数轴上的点对应的实数，解题时注意明确各线段和数轴上点的对应关系即可。
【难度系数】
0.8
解题思路可分三步：首先根据数轴上A、B的坐标求出直角边AB的长度；再在Rt△ABC中利用勾股定理求出斜边AC的长度；最后根据圆的半径相等，得到AD=AC，结合A点在原点、D在正半轴，即可得出D点表示的数。
【解析】
解：
∵点A、B表示的数分别为0和2，
∴$AB = 2 - 0 = 2$，
∵$CB⊥AB$，
∴$∠ABC=90°$，
在$Rt△ABC$中，$AB=2$，$BC=1$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$，
∵以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于D，
∴$AD = AC = \sqrt{5}$，
又
∵点A在原点，D在数轴正半轴，
∴点D表示的数为$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质；数轴与实数
【点评】
本题是几何与数轴结合的基础题型，核心是利用勾股定理求出线段长度，再结合圆半径相等的性质转化为数轴上的点对应的实数，解题时注意明确各线段和数轴上点的对应关系即可。
【难度系数】
0.8
9 不等式$3\sqrt{2}x - 4 ≥ 2\sqrt{5}x - 2$的解集是
$x ≤-3 \sqrt{2}-2 \sqrt{5}$
。 第8题图答案
9.$x ≤-3 \sqrt{2}-2 \sqrt{5}$
解析
【分析】
本题是含无理系数的一元一次不等式求解问题，解题思路与普通一元一次不等式一致：先移项将含未知数的项移到不等号左侧、常数项移到右侧，再合并同类项，最后系数化为1。注意需先判断一次项系数的正负，若系数为负，系数化为1时不等号方向要反向；最后对结果进行分母有理化即可得到解集。
【解析】
解：对不等式$3\sqrt{2}x - 4 ≥ 2\sqrt{5}x - 2$移项，得：
$3\sqrt{2}x - 2\sqrt{5}x ≥ 4 - 2$
合并同类项，得：
$(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})x ≥ 2$
判断系数正负：$\because (3\sqrt{2})^2=18$，$(2\sqrt{5})^2=20$，$18＜20$，$\therefore 3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}＜0$，系数化为1时不等号反向，得：
$x ≤ \frac{2}{3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}}$
对右侧分母有理化，分子分母同乘$3\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$：
$x ≤ \frac{2(3\sqrt{2} + 2\sqrt{5})}{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{5})}$
利用平方差公式计算分母：$(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{5})^2 = 18 - 20 = -2$，代入得：
$x ≤ \frac{2(3\sqrt{2} + 2\sqrt{5})}{-2} = -(3\sqrt{2} + 2\sqrt{5}) = -3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}$
【答案】
$x ≤-3 \sqrt{2}-2 \sqrt{5}$
【知识点】
一元一次不等式解法，分母有理化，二次根式运算
【点评】
本题核心考查含无理系数的一元一次不等式求解，易错点有两处：一是系数化为1时未注意到一次项系数为负，忘记改变不等号方向；二是分母有理化时计算出错。熟练掌握一元一次不等式的基本求解步骤和二次根式的相关运算性质就能正确解答本题。
【难度系数】
0.6
本题是含无理系数的一元一次不等式求解问题，解题思路与普通一元一次不等式一致：先移项将含未知数的项移到不等号左侧、常数项移到右侧，再合并同类项，最后系数化为1。注意需先判断一次项系数的正负，若系数为负，系数化为1时不等号方向要反向；最后对结果进行分母有理化即可得到解集。
【解析】
解：对不等式$3\sqrt{2}x - 4 ≥ 2\sqrt{5}x - 2$移项，得：
$3\sqrt{2}x - 2\sqrt{5}x ≥ 4 - 2$
合并同类项，得：
$(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})x ≥ 2$
判断系数正负：$\because (3\sqrt{2})^2=18$，$(2\sqrt{5})^2=20$，$18＜20$，$\therefore 3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}＜0$，系数化为1时不等号反向，得：
$x ≤ \frac{2}{3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}}$
对右侧分母有理化，分子分母同乘$3\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$：
$x ≤ \frac{2(3\sqrt{2} + 2\sqrt{5})}{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{5})}$
利用平方差公式计算分母：$(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{5})^2 = 18 - 20 = -2$，代入得：
$x ≤ \frac{2(3\sqrt{2} + 2\sqrt{5})}{-2} = -(3\sqrt{2} + 2\sqrt{5}) = -3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}$
【答案】
$x ≤-3 \sqrt{2}-2 \sqrt{5}$
【知识点】
一元一次不等式解法，分母有理化，二次根式运算
【点评】
本题核心考查含无理系数的一元一次不等式求解，易错点有两处：一是系数化为1时未注意到一次项系数为负，忘记改变不等号方向；二是分母有理化时计算出错。熟练掌握一元一次不等式的基本求解步骤和二次根式的相关运算性质就能正确解答本题。
【难度系数】
0.6
⑩ 在实数范围内因式分解：$2x^2 - 2x - 1 =$
$2(x -\dfrac{1+\sqrt{3}}{2})(x -\dfrac{1-\sqrt{3}}{2})$
。答案
10.$2(x -\dfrac{1+\sqrt{3}}{2})(x -\dfrac{1-\sqrt{3}}{2})$
解析
【分析】
本题要求在实数范围内对二次三项式因式分解，首先观察原式$2x^2-2x-1$，无法通过提公因式、十字相乘法直接分解，因此可采用求根法分解：先求出二次三项式对应的一元二次方程的两个实数根，再利用公式$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$（其中$a≠0$，$x_1、x_2$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根）完成分解，注意分解时不要遗漏二次项系数$a$。
【解析】
解：令$2x^2 - 2x - 1 = 0$，
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-1$，
先计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×2×(-1) = 4 + 8 = 12 ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实数根，
代入一元二次方程求根公式，得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2×2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$，
即方程的两个根为$x_1 = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$，
代入二次三项式因式分解公式，可得：
$2x^2 - 2x - 1 = 2(x - \frac{1+\sqrt{3}}{2})(x - \frac{1-\sqrt{3}}{2})$。
【答案】
$2(x -\dfrac{1+\sqrt{3}}{2})(x -\dfrac{1-\sqrt{3}}{2})$
【知识点】
实数范围因式分解；求根公式应用；二次三项式分解
【点评】
本题是实数范围内因式分解的常规题型，解题关键是熟练掌握求根法分解二次三项式的步骤，易错点是分解时遗漏二次项系数，或者求根过程中出现运算错误。
【难度系数】
0.6
本题要求在实数范围内对二次三项式因式分解，首先观察原式$2x^2-2x-1$，无法通过提公因式、十字相乘法直接分解，因此可采用求根法分解：先求出二次三项式对应的一元二次方程的两个实数根，再利用公式$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$（其中$a≠0$，$x_1、x_2$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根）完成分解，注意分解时不要遗漏二次项系数$a$。
【解析】
解：令$2x^2 - 2x - 1 = 0$，
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-1$，
先计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×2×(-1) = 4 + 8 = 12 ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实数根，
代入一元二次方程求根公式，得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2×2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$，
即方程的两个根为$x_1 = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$，
代入二次三项式因式分解公式，可得：
$2x^2 - 2x - 1 = 2(x - \frac{1+\sqrt{3}}{2})(x - \frac{1-\sqrt{3}}{2})$。
【答案】
$2(x -\dfrac{1+\sqrt{3}}{2})(x -\dfrac{1-\sqrt{3}}{2})$
【知识点】
实数范围因式分解；求根公式应用；二次三项式分解
【点评】
本题是实数范围内因式分解的常规题型，解题关键是熟练掌握求根法分解二次三项式的步骤，易错点是分解时遗漏二次项系数，或者求根过程中出现运算错误。
【难度系数】
0.6
11 若二次三项式$4x^2 - (k + 1)x + 25$是完全平方式，则k的值为
19或$-21$
。答案
11.19或$-21$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含“和的平方”和“差的平方”两种形式。解题时先确定给定二次三项式中对应的$a$和$b$，再根据中间项等于$\pm2ab$列等式，分两种情况求解$k$的值即可，注意不要漏掉任意一种情况。
【解析】
完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
已知二次三项式$4x^2-(k+1)x+25$是完全平方式，其中$4x^2=(2x)^2$，$25=5^2$，因此该式对应$(2x\pm5)^2$的展开形式：
1. 当对应$(2x+5)^2$时，展开得$4x^2+20x+25$，与原式对比一次项系数可得：
$-(k+1)=20$
解得：$k=-21$
2. 当对应$(2x-5)^2$时，展开得$4x^2-20x+25$，与原式对比一次项系数可得：
$-(k+1)=-20$
解得：$k=19$
综上，$k$的值为19或$-21$。
【答案】
19或$-21$
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构应用，易错点是容易忽略完全平方式有两种形式，只考虑其中一种导致漏解，解题时需注意中间项系数存在正负两种可能。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含“和的平方”和“差的平方”两种形式。解题时先确定给定二次三项式中对应的$a$和$b$，再根据中间项等于$\pm2ab$列等式，分两种情况求解$k$的值即可，注意不要漏掉任意一种情况。
【解析】
完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
已知二次三项式$4x^2-(k+1)x+25$是完全平方式，其中$4x^2=(2x)^2$，$25=5^2$，因此该式对应$(2x\pm5)^2$的展开形式：
1. 当对应$(2x+5)^2$时，展开得$4x^2+20x+25$，与原式对比一次项系数可得：
$-(k+1)=20$
解得：$k=-21$
2. 当对应$(2x-5)^2$时，展开得$4x^2-20x+25$，与原式对比一次项系数可得：
$-(k+1)=-20$
解得：$k=19$
综上，$k$的值为19或$-21$。
【答案】
19或$-21$
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构应用，易错点是容易忽略完全平方式有两种形式，只考虑其中一种导致漏解，解题时需注意中间项系数存在正负两种可能。
【难度系数】
0.7
12 一个小组内成员每两人之间都互送一件礼物，共送了156件，这个小组共有
13 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=4$，$AC=3$，则斜边上的中线长为
$13$
人。13 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=4$，$AC=3$，则斜边上的中线长为
$\dfrac{5}{2}$或$2$
。答案
12.$13$ 13.$\dfrac{5}{2}$或$2$
解析
【分析】
12题：本题是一元二次方程的实际应用，解题思路如下：每两人互送礼物，意味着小组内每个人都要给除自己外的其他成员各送1件礼物，因此总礼物数=小组人数×（小组人数-1），我们可以设人数为未知数列方程求解，最后根据人数为正整数舍去不符合实际的根即可。
13题：本题考查直角三角形的相关性质，解题思路如下：题干未明确说明Rt△ABC的斜边是哪条边，因此需要分类讨论：①当较长边AB为斜边时，直接利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”计算；②当AB、AC均为直角边时，先用勾股定理求出斜边长度，再利用斜边中线的性质计算，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
12. 设这个小组共有$x$人。
由题意得，每人需要送出$(x-1)$件礼物，总礼物数为：
$x(x-1)=156$
整理得：$x^2 -x -156=0$
因式分解得：$(x-13)(x+12)=0$
解得：$x_1=13$，$x_2=-12$（人数不能为负数，舍去）
因此小组共有13人。
13. 分两种情况讨论：
① 当$AB$为Rt△ABC的斜边时，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得斜边上的中线长为$\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×4=2$；
② 当$AB$、$AC$均为直角边时，由勾股定理得斜边$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，因此斜边上的中线长为$\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{5}{2}$。
综上，斜边上的中线长为$\dfrac{5}{2}$或$2$。
【答案】
12.$13$；13.$\dfrac{5}{2}$或$2$
【知识点】
一元二次方程的应用、勾股定理、直角三角形斜边中线性质
【点评】
第12题解题时要注意区分互送礼物与握手类问题的计数差异，互送礼物为双向计数，无需除以2，避免列错方程；第13题要注意未明确直角三角形斜边的情况下，需对斜边的可能情况分类讨论，防止漏解，侧重考查思维的严谨性。
【难度系数】
0.65
12题：本题是一元二次方程的实际应用，解题思路如下：每两人互送礼物，意味着小组内每个人都要给除自己外的其他成员各送1件礼物，因此总礼物数=小组人数×（小组人数-1），我们可以设人数为未知数列方程求解，最后根据人数为正整数舍去不符合实际的根即可。
13题：本题考查直角三角形的相关性质，解题思路如下：题干未明确说明Rt△ABC的斜边是哪条边，因此需要分类讨论：①当较长边AB为斜边时，直接利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”计算；②当AB、AC均为直角边时，先用勾股定理求出斜边长度，再利用斜边中线的性质计算，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
12. 设这个小组共有$x$人。
由题意得，每人需要送出$(x-1)$件礼物，总礼物数为：
$x(x-1)=156$
整理得：$x^2 -x -156=0$
因式分解得：$(x-13)(x+12)=0$
解得：$x_1=13$，$x_2=-12$（人数不能为负数，舍去）
因此小组共有13人。
13. 分两种情况讨论：
① 当$AB$为Rt△ABC的斜边时，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得斜边上的中线长为$\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×4=2$；
② 当$AB$、$AC$均为直角边时，由勾股定理得斜边$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，因此斜边上的中线长为$\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{5}{2}$。
综上，斜边上的中线长为$\dfrac{5}{2}$或$2$。
【答案】
12.$13$；13.$\dfrac{5}{2}$或$2$
【知识点】
一元二次方程的应用、勾股定理、直角三角形斜边中线性质
【点评】
第12题解题时要注意区分互送礼物与握手类问题的计数差异，互送礼物为双向计数，无需除以2，避免列错方程；第13题要注意未明确直角三角形斜边的情况下，需对斜边的可能情况分类讨论，防止漏解，侧重考查思维的严谨性。
【难度系数】
0.65
14 如图，等腰△ABC的底边BC=5，D是腰AB上一点，且CD=4，BD=3，则AD的长为
$\dfrac{7}{6}$
。答案
14.$\dfrac{7}{6}$
解析
【分析】首先观察已知线段长度3、4、5符合勾股数特征，可先利用勾股定理逆定理判断△BDC为直角三角形，得到∠ADC=90°；再结合等腰三角形两腰相等的性质，设AD的长为x，可表示出腰长AC=AB=x+3，最后在Rt△ADC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：在△BDC中，BD=3，CD=4，BC=5
∵ $BD^2 + CD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$BC^2 = 5^2 =25$
∴ $BD^2 + CD^2 = BC^2$
根据勾股定理逆定理可得，△BDC是直角三角形，且$∠ BDC=90°$
∴ $∠ ADC = 180° - ∠ BDC = 90°$，即△ADC是直角三角形
∵ 等腰△ABC的底边为BC，
∴ AB、AC为腰，即$AB=AC$
设$AD = x$，则$AB = AD + BD = x + 3$，故$AC = x + 3$
在Rt△ADC中，由勾股定理得：$AD^2 + CD^2 = AC^2$
代入得：$x^2 + 4^2 = (x + 3)^2$
展开右侧：$x^2 + 16 = x^2 + 6x + 9$
移项化简得：$6x = 7$
解得：$x = \frac{7}{6}$
【答案】$\dfrac{7}{6}$
【知识点】勾股定理及逆定理；等腰三角形的性质
【点评】本题是几何与方程结合的基础题型，解题突破口是通过线段长度特征利用勾股定理逆定理得到直角，再结合等腰三角形性质设未知数列方程求解，较好地考查了对基础定理的运用能力。
【难度系数】0.7
【解析】
解：在△BDC中，BD=3，CD=4，BC=5
∵ $BD^2 + CD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$BC^2 = 5^2 =25$
∴ $BD^2 + CD^2 = BC^2$
根据勾股定理逆定理可得，△BDC是直角三角形，且$∠ BDC=90°$
∴ $∠ ADC = 180° - ∠ BDC = 90°$，即△ADC是直角三角形
∵ 等腰△ABC的底边为BC，
∴ AB、AC为腰，即$AB=AC$
设$AD = x$，则$AB = AD + BD = x + 3$，故$AC = x + 3$
在Rt△ADC中，由勾股定理得：$AD^2 + CD^2 = AC^2$
代入得：$x^2 + 4^2 = (x + 3)^2$
展开右侧：$x^2 + 16 = x^2 + 6x + 9$
移项化简得：$6x = 7$
解得：$x = \frac{7}{6}$
【答案】$\dfrac{7}{6}$
【知识点】勾股定理及逆定理；等腰三角形的性质
【点评】本题是几何与方程结合的基础题型，解题突破口是通过线段长度特征利用勾股定理逆定理得到直角，再结合等腰三角形性质设未知数列方程求解，较好地考查了对基础定理的运用能力。
【难度系数】0.7
15 如图,在$Rt△ ABC$中,$AB=8$,$AC=6$,$∠ BAC=90°$,D、E分别为AB、AC的中点,P为DE上一点,且满足$∠ EAP=∠ ABP$,则$PE=$
$1$
。答案
15.$1$
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：①先在Rt△ABC中用勾股定理求出斜边BC的长度；②根据D、E是AB、AC的中点，判定DE是△ABC的中位线，利用中位线定理得到DE的长度；③结合已知∠EAP=∠ABP和∠BAC=90°，通过角的等量代换推导得出△APB是直角三角形；④利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出PD的长度，最后用DE的长度减去PD的长度即可得到PE的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=8$，$AC=6$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是$△ ABC$的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}BC=5$。
∵$∠ BAC=90°$，
∴$∠ BAP + ∠ EAP=90°$，
又
∵$∠ EAP=∠ ABP$，
∴$∠ BAP + ∠ ABP=90°$，
∴在$△ ABP$中，$∠ APB=180° - (∠ BAP + ∠ ABP)=90°$，即$△ ABP$是直角三角形，AB为斜边。
∵D是AB的中点，
∴$PD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∴$PE=DE - PD=5 - 4=1$。
【答案】
$1$
【知识点】
勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的关键是通过角的等量代换判断出$△ ABP$为直角三角形，再结合相关定理计算线段长度，对学生的逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下步骤思考：①先在Rt△ABC中用勾股定理求出斜边BC的长度；②根据D、E是AB、AC的中点，判定DE是△ABC的中位线，利用中位线定理得到DE的长度；③结合已知∠EAP=∠ABP和∠BAC=90°，通过角的等量代换推导得出△APB是直角三角形；④利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出PD的长度，最后用DE的长度减去PD的长度即可得到PE的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=8$，$AC=6$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是$△ ABC$的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}BC=5$。
∵$∠ BAC=90°$，
∴$∠ BAP + ∠ EAP=90°$，
又
∵$∠ EAP=∠ ABP$，
∴$∠ BAP + ∠ ABP=90°$，
∴在$△ ABP$中，$∠ APB=180° - (∠ BAP + ∠ ABP)=90°$，即$△ ABP$是直角三角形，AB为斜边。
∵D是AB的中点，
∴$PD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∴$PE=DE - PD=5 - 4=1$。
【答案】
$1$
【知识点】
勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的关键是通过角的等量代换判断出$△ ABP$为直角三角形，再结合相关定理计算线段长度，对学生的逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
16 已知关于$x$的方程$\frac{8}{x - 5} + \frac{x + 1}{x} = \frac{k + 5}{5x - x^2}$有两个不同的实数根，则$k$的取值范围为
$k ＜ 4$且$k ≠ 0$且$k ≠ -45$
。答案
16.$k ＜ 4$且$k ≠ 0$且$k ≠ -45$ [提示:原分式方程去分母可化为$8x+(x+1)(x-5)=-k-5$,整理得,$x^2+4x+k=0$。当$x=0$时,$k=0$,此时方程只有一个实数解$x=-4$;当$x=5$时,$k=-45$,此时方程只有一个实数解$x=-9$。由$\Delta＞0$,可得$16-4k＞0$,解得$k＜4$。所以$k$的取值范围为$k ＜ 4$且$k ≠ 0$且$k ≠ -45$。]
解析
【分析】
解决本题需先明确分式方程的求解要求：首先要去分母转化为整式方程，同时要注意分式方程的分母不能为0，因此存在增根（即使原分母为0的x值，本题为x=0和x=5）。题目要求方程有两个不同实根，需分两步思考：①转化后的一元二次方程要有两个不相等的实数根，即判别式大于0；②排除增根对应的k值，因为增根不属于原分式方程的解，若整式方程的根包含增根，则原方程实根个数会少于2个，最后综合得到k的取值范围。
【解析】
首先确定原分式方程的分母不为0的条件：
$x-5≠0$，$x≠0$，即$x≠0$且$x≠5$，这两个值为原方程的可能增根。
原方程两边同时乘以最简公分母$x(x-5)$去分母得：
$8x+(x+1)(x-5)=-(k+5)$
展开整理等式左边：
$8x + x^2 -5x +x -5 = x^2 +4x -5$
因此等式变为：
$x^2 +4x -5 = -k -5$
移项化简得整式方程：$x^2 +4x +k =0$
第一步：要使原方程有两个不同实根，首先该一元二次方程需有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$：
$\Delta = b^2 -4ac = 4^2 -4×1× k =16-4k＞0$
解得$k＜4$。
第二步：排除增根对应的k值：
①若$x=0$是整式方程的根，代入$x^2 +4x +k =0$得$0+0+k=0$，即$k=0$。此时整式方程的根为$x=0$和$x=-4$，其中$x=0$是增根，原方程仅1个实根$x=-4$，不符合题意，故$k≠0$。
②若$x=5$是整式方程的根，代入$x^2 +4x +k =0$得$25+20+k=0$，即$k=-45$。此时整式方程的根为$x=5$和$x=-9$，其中$x=5$是增根，原方程仅1个实根$x=-9$，不符合题意，故$k≠-45$。
综上，$k$的取值范围为$k＜4$且$k≠0$且$k≠-45$。
【答案】
$k ＜ 4$且$k ≠ 0$且$k ≠ -45$
【知识点】
分式方程的增根；一元二次方程根的判别式；解分式方程
【点评】
本题是分式方程与一元二次方程的综合题，解题核心是先将分式方程转化为整式方程，既要利用判别式判断根的个数，也不能忽略分式方程增根的排除，否则容易得到不完整的取值范围。
【难度系数】
0.6
解决本题需先明确分式方程的求解要求：首先要去分母转化为整式方程，同时要注意分式方程的分母不能为0，因此存在增根（即使原分母为0的x值，本题为x=0和x=5）。题目要求方程有两个不同实根，需分两步思考：①转化后的一元二次方程要有两个不相等的实数根，即判别式大于0；②排除增根对应的k值，因为增根不属于原分式方程的解，若整式方程的根包含增根，则原方程实根个数会少于2个，最后综合得到k的取值范围。
【解析】
首先确定原分式方程的分母不为0的条件：
$x-5≠0$，$x≠0$，即$x≠0$且$x≠5$，这两个值为原方程的可能增根。
原方程两边同时乘以最简公分母$x(x-5)$去分母得：
$8x+(x+1)(x-5)=-(k+5)$
展开整理等式左边：
$8x + x^2 -5x +x -5 = x^2 +4x -5$
因此等式变为：
$x^2 +4x -5 = -k -5$
移项化简得整式方程：$x^2 +4x +k =0$
第一步：要使原方程有两个不同实根，首先该一元二次方程需有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$：
$\Delta = b^2 -4ac = 4^2 -4×1× k =16-4k＞0$
解得$k＜4$。
第二步：排除增根对应的k值：
①若$x=0$是整式方程的根，代入$x^2 +4x +k =0$得$0+0+k=0$，即$k=0$。此时整式方程的根为$x=0$和$x=-4$，其中$x=0$是增根，原方程仅1个实根$x=-4$，不符合题意，故$k≠0$。
②若$x=5$是整式方程的根，代入$x^2 +4x +k =0$得$25+20+k=0$，即$k=-45$。此时整式方程的根为$x=5$和$x=-9$，其中$x=5$是增根，原方程仅1个实根$x=-9$，不符合题意，故$k≠-45$。
综上，$k$的取值范围为$k＜4$且$k≠0$且$k≠-45$。
【答案】
$k ＜ 4$且$k ≠ 0$且$k ≠ -45$
【知识点】
分式方程的增根；一元二次方程根的判别式；解分式方程
【点评】
本题是分式方程与一元二次方程的综合题，解题核心是先将分式方程转化为整式方程，既要利用判别式判断根的个数，也不能忽略分式方程增根的排除，否则容易得到不完整的取值范围。
【难度系数】
0.6
17 如图，长方形ABCD内有一点P，连接AP、DP、CP，延长CP交AB于点E，若$∠ APD=90°$，$AD=8$，$CP=CD=6$，则AE的长是
$\dfrac{8}{3}$
。答案
17.$\dfrac{8}{3}$ [提示:因为$CP = CD = 6$,所以$∠CPD = ∠CDP$。因为$∠CDP + ∠ADP = 90°$,$∠DPC + ∠APE = 90°$,所以$∠ADP = ∠APE$。又因为$∠ADP + ∠PAD = 90°$,$∠EAP + ∠PAD = 90°$,所以$∠EAP = ∠ADP$,所以$∠EAP = ∠APE$,所以$AE = EP$。设$PE = AE = x$,则$EB = 6 - x$,$EC = 6 + x$。在$\mathrm{Rt}△EBC$中,$EB^2 + BC^2 = EC^2$,所以$(6 - x)^2 + 8^2 = (6 + x)^2$,解得$x = \dfrac{8}{3}$。]
解析
【分析】
解题时先从已知条件$CP=CD$入手，利用等腰三角形等边对等角得到$∠CPD=∠CDP$；再结合矩形内角为直角、$∠APD=90°$的条件，通过同角的余角相等推导角的等量关系，得出$AE=EP$的结论；最后设$AE$的长为$x$，将$Rt△EBC$的三边用含$x$的式子表示，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形$ABCD$是长方形，
∴$AB=CD=6$，$BC=AD=8$，$∠BAD=∠ADC=∠B=90°$，
∵$CP=CD=6$，
∴$∠CPD=∠CDP$，
∵$∠ADC=90°$，
∴$∠CDP + ∠ADP = 90°$，
∵$∠APD=90°$，
∴$∠CPD + ∠APE = 180° - 90° = 90°$，
∴$∠ADP = ∠APE$（同角的余角相等），
又
∵$∠APD=90°$，
∴$∠ADP + ∠PAD = 90°$，
∵$∠BAD=90°$，
∴$∠EAP + ∠PAD = 90°$，
∴$∠EAP = ∠ADP$（同角的余角相等），
∴$∠EAP = ∠APE$，
∴$AE = EP$（等角对等边）。
设$PE = AE = x$，则$EB = AB - AE = 6 - x$，$EC = CP + PE = 6 + x$，
在$Rt△EBC$中，由勾股定理得：$EB^2 + BC^2 = EC^2$，
代入得：$(6 - x)^2 + 8^2 = (6 + x)^2$，
展开计算：$36 - 12x + x^2 + 64 = 36 + 12x + x^2$，
化简得：$100 - 12x = 36 + 12x$，
移项得：$24x = 64$，
解得：$x = \dfrac{8}{3}$。
【答案】
$\dfrac{8}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质，同角的余角相等，勾股定理
【点评】
本题综合考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题的关键是通过角的等量代换得到$AE=EP$，再结合方程思想利用勾股定理建立方程求解，是几何综合计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件$CP=CD$入手，利用等腰三角形等边对等角得到$∠CPD=∠CDP$；再结合矩形内角为直角、$∠APD=90°$的条件，通过同角的余角相等推导角的等量关系，得出$AE=EP$的结论；最后设$AE$的长为$x$，将$Rt△EBC$的三边用含$x$的式子表示，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形$ABCD$是长方形，
∴$AB=CD=6$，$BC=AD=8$，$∠BAD=∠ADC=∠B=90°$，
∵$CP=CD=6$，
∴$∠CPD=∠CDP$，
∵$∠ADC=90°$，
∴$∠CDP + ∠ADP = 90°$，
∵$∠APD=90°$，
∴$∠CPD + ∠APE = 180° - 90° = 90°$，
∴$∠ADP = ∠APE$（同角的余角相等），
又
∵$∠APD=90°$，
∴$∠ADP + ∠PAD = 90°$，
∵$∠BAD=90°$，
∴$∠EAP + ∠PAD = 90°$，
∴$∠EAP = ∠ADP$（同角的余角相等），
∴$∠EAP = ∠APE$，
∴$AE = EP$（等角对等边）。
设$PE = AE = x$，则$EB = AB - AE = 6 - x$，$EC = CP + PE = 6 + x$，
在$Rt△EBC$中，由勾股定理得：$EB^2 + BC^2 = EC^2$，
代入得：$(6 - x)^2 + 8^2 = (6 + x)^2$，
展开计算：$36 - 12x + x^2 + 64 = 36 + 12x + x^2$，
化简得：$100 - 12x = 36 + 12x$，
移项得：$24x = 64$，
解得：$x = \dfrac{8}{3}$。
【答案】
$\dfrac{8}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质，同角的余角相等，勾股定理
【点评】
本题综合考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题的关键是通过角的等量代换得到$AE=EP$，再结合方程思想利用勾股定理建立方程求解，是几何综合计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
18 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=15$，$BC=20$，将边$AC$沿$CE$翻折，使点$A$落在$AB$上的点$D$处，再将边$BC$沿$CF$翻折，使点$B$落在$CD$的延长线上的点$B'$处，两条折痕与斜边$AB$分别交于点$E$、$F$，那么线段$B'F$的长为
$4$
。答案
18.$4$ [提示:由勾股定理可得$AB = \sqrt{15^2 + 20^2} = 25$。由翻折的性质可得$CD = AC = 15$,$B'C = BC = 20$,$∠ACE = ∠DCE$,$∠BCF = ∠B'CF$,$CE ⊥ AB$。因为$S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2}AC · BC = \dfrac{1}{2}AB · CE$,所以$CE = 12$,所以$AE = ED = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$。因为$∠ECD = \dfrac{1}{2}∠ACD$,$∠B'CF = \dfrac{1}{2}∠DCB$,所以$∠ECD + ∠B'CF = \dfrac{1}{2}(∠ACD + ∠DCB)$,即$∠ECF = \dfrac{1}{2}∠ACB = 45°$,所以$△ CFE$为等腰直角三角形,所以$CE = EF = 12$,所以$B'F = BF = AB - AE - EF = 25 - 9 - 12 = 4$。]
解析
【分析】
遇到直角三角形的翻折问题，首先回忆翻折的核心性质：翻折前后对应边相等、对应角相等，对应点连线被折痕垂直平分。解题可按以下思路推进：①先用勾股定理求出斜边AB的长度；②结合第一次翻折的性质，用面积法求出斜边上的高CE的长度，再用勾股定理求出AE的长度；③根据两次翻折的角的关系，推导得出∠ECF=45°，判断出△CEF是等腰直角三角形，得到EF=CE；④利用翻折对应边相等的性质得B'F=BF，通过线段和差关系计算BF的长度即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=15$，$BC=20$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25$。
根据翻折的性质可得：$CD=AC=15$，$∠ACE=∠DCE$，$CE⊥AB$，$AE=DE$；$B'C=BC=20$，$∠BCF=∠B'CF$，$B'F=BF$。
∵$S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2}AC · BC = \dfrac{1}{2}AB · CE$，
代入数值计算：$\dfrac{1}{2}×15×20=\dfrac{1}{2}×25×CE$，解得$CE=12$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$，即$DE=AE=9$。
∵$∠ECD = \dfrac{1}{2}∠ACD$，$∠B'CF = \dfrac{1}{2}∠DCB$，
∴$∠ECF = ∠ECD+∠B'CF=\dfrac{1}{2}(∠ACD + ∠DCB)=\dfrac{1}{2}∠ACB = 45°$，
又
∵$CE⊥AB$，即$∠CEF=90°$，
∴$△ CFE$为等腰直角三角形，故$CE = EF = 12$。
∴$BF = AB - AE - EF = 25 - 9 - 12 = 4$，即$B'F=BF=4$。
【答案】
$4$
【知识点】
翻折的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何变换类综合题，解题的关键是熟练运用翻折的性质得到相等的边和角，结合勾股定理、等腰直角三角形的特征逐步推导，对学生的逻辑推理能力和线段关系分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
遇到直角三角形的翻折问题，首先回忆翻折的核心性质：翻折前后对应边相等、对应角相等，对应点连线被折痕垂直平分。解题可按以下思路推进：①先用勾股定理求出斜边AB的长度；②结合第一次翻折的性质，用面积法求出斜边上的高CE的长度，再用勾股定理求出AE的长度；③根据两次翻折的角的关系，推导得出∠ECF=45°，判断出△CEF是等腰直角三角形，得到EF=CE；④利用翻折对应边相等的性质得B'F=BF，通过线段和差关系计算BF的长度即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=15$，$BC=20$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25$。
根据翻折的性质可得：$CD=AC=15$，$∠ACE=∠DCE$，$CE⊥AB$，$AE=DE$；$B'C=BC=20$，$∠BCF=∠B'CF$，$B'F=BF$。
∵$S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2}AC · BC = \dfrac{1}{2}AB · CE$，
代入数值计算：$\dfrac{1}{2}×15×20=\dfrac{1}{2}×25×CE$，解得$CE=12$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$，即$DE=AE=9$。
∵$∠ECD = \dfrac{1}{2}∠ACD$，$∠B'CF = \dfrac{1}{2}∠DCB$，
∴$∠ECF = ∠ECD+∠B'CF=\dfrac{1}{2}(∠ACD + ∠DCB)=\dfrac{1}{2}∠ACB = 45°$，
又
∵$CE⊥AB$，即$∠CEF=90°$，
∴$△ CFE$为等腰直角三角形，故$CE = EF = 12$。
∴$BF = AB - AE - EF = 25 - 9 - 12 = 4$，即$B'F=BF=4$。
【答案】
$4$
【知识点】
翻折的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何变换类综合题，解题的关键是熟练运用翻折的性质得到相等的边和角，结合勾股定理、等腰直角三角形的特征逐步推导，对学生的逻辑推理能力和线段关系分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
19 计算：
(1) $( \sqrt{\dfrac{1}{54}} + \sqrt{6} - \sqrt{\dfrac{1}{24}} ) ÷ \sqrt{\dfrac{1}{6}}$；
(2) $2\dfrac{2}{3} × \sqrt{2} - \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} + \dfrac{1}{\sqrt{5} + 2}$。
(1) $( \sqrt{\dfrac{1}{54}} + \sqrt{6} - \sqrt{\dfrac{1}{24}} ) ÷ \sqrt{\dfrac{1}{6}}$；
(2) $2\dfrac{2}{3} × \sqrt{2} - \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} + \dfrac{1}{\sqrt{5} + 2}$。
答案
19 (1)$\dfrac{35}{6}$ (2)$\dfrac{8}{3}\sqrt{2}$
解析
【分析】
(1) 本题属于二次根式的混合运算，可利用除法分配律，将括号内的每一项分别除以$\sqrt{\dfrac{1}{6}}$，再将各项化简为最简二次根式后合并计算，比先通分再计算更简便。
(2) 本题需要分步化简每一项：先将带分数化为假分数，再根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简平方开根号的项，对含分母的二次根式做分母有理化，最后合并同类二次根式即可。
【解析】
(1) 原式$=(\sqrt{\dfrac{1}{54}}+\sqrt{6}-\sqrt{\dfrac{1}{24}})×\sqrt{6}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{54}}×\sqrt{6}+\sqrt{6}×\sqrt{6}-\sqrt{\dfrac{1}{24}}×\sqrt{6}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{54}×6}+6-\sqrt{\dfrac{1}{24}×6}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{9}}+6-\sqrt{\dfrac{1}{4}}$
$=\dfrac{1}{3}+6-\dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{2}{6}+\dfrac{36}{6}-\dfrac{3}{6}=\dfrac{35}{6}$
(2) 原式$=\dfrac{8}{3}×\sqrt{2}-\vert2-\sqrt{5}\vert+\dfrac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}$
$\because \sqrt{5}＞2$，$\therefore \vert2-\sqrt{5}\vert=\sqrt{5}-2$，且$(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=5-4=1$
代入得：
原式$=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}-(\sqrt{5}-2)+\sqrt{5}-2$
$=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}-\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2$
$=\dfrac{8}{3}\sqrt{2}$
【答案】
(1)$\dfrac{35}{6}$；(2)$\dfrac{8}{3}\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式混合运算；二次根式的性质；分母有理化
【点评】
本题是二次根式运算的基础典型题，主要考查二次根式的化简和运算规则，计算时要注意符号处理，尤其是开平方后的绝对值化简、去括号的符号变化，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于二次根式的混合运算，可利用除法分配律，将括号内的每一项分别除以$\sqrt{\dfrac{1}{6}}$，再将各项化简为最简二次根式后合并计算，比先通分再计算更简便。
(2) 本题需要分步化简每一项：先将带分数化为假分数，再根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简平方开根号的项，对含分母的二次根式做分母有理化，最后合并同类二次根式即可。
【解析】
(1) 原式$=(\sqrt{\dfrac{1}{54}}+\sqrt{6}-\sqrt{\dfrac{1}{24}})×\sqrt{6}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{54}}×\sqrt{6}+\sqrt{6}×\sqrt{6}-\sqrt{\dfrac{1}{24}}×\sqrt{6}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{54}×6}+6-\sqrt{\dfrac{1}{24}×6}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{9}}+6-\sqrt{\dfrac{1}{4}}$
$=\dfrac{1}{3}+6-\dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{2}{6}+\dfrac{36}{6}-\dfrac{3}{6}=\dfrac{35}{6}$
(2) 原式$=\dfrac{8}{3}×\sqrt{2}-\vert2-\sqrt{5}\vert+\dfrac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}$
$\because \sqrt{5}＞2$，$\therefore \vert2-\sqrt{5}\vert=\sqrt{5}-2$，且$(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=5-4=1$
代入得：
原式$=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}-(\sqrt{5}-2)+\sqrt{5}-2$
$=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}-\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2$
$=\dfrac{8}{3}\sqrt{2}$
【答案】
(1)$\dfrac{35}{6}$；(2)$\dfrac{8}{3}\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式混合运算；二次根式的性质；分母有理化
【点评】
本题是二次根式运算的基础典型题，主要考查二次根式的化简和运算规则，计算时要注意符号处理，尤其是开平方后的绝对值化简、去括号的符号变化，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
