20 解方程：
(1) $(x-1)(x+2)=70$；
(2) $2x^2 + 4x = 7$。

20 (1)$x_1=-9$，$x_2=8$ (2)$x = \dfrac{-2 \pm 3\sqrt{2}}{2}$

【分析】
对于第(1)题，方程左侧是两个一次式的乘积，右侧为非零常数，不能直接拆分求解，需先展开左侧、移项整理为一元二次方程的一般形式，观察整理后的二次三项式可通过十字相乘法因式分解，再转化为两个一次方程即可快速求解。对于第(2)题，先整理为一般形式，发现无法直接因式分解，因此选用公式法求解：先确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式，最后化简根式得到结果即可。
【解析】
(1) 先展开并整理方程：
$\begin{aligned}(x-1)(x+2)&=70\\x^2 + 2x - x - 2&=70\\x^2 + x - 72&=0\end{aligned}$
对左侧二次三项式十字相乘法因式分解：
$(x+9)(x-8)=0$
可得$x+9=0$或$x-8=0$，解得$x_1=-9$，$x_2=8$。
(2) 先移项整理为一元二次方程一般形式：
$2x^2 + 4x -7=0$
其中$a=2$，$b=4$，$c=-7$，计算判别式：
$\Delta = b^2-4ac = 4^2 - 4×2×(-7)=16+56=72＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$\begin{aligned}x&=\frac{-4\pm\sqrt{72}}{2×2}\\&=\frac{-4\pm6\sqrt{2}}{4}\\&=\frac{-2\pm3\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$x_1=-9$，$x_2=8$ (2)$x = \dfrac{-2 \pm 3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
一元二次方程求解、十字相乘法、求根公式应用
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查题，解题时需先根据方程形式选择合适的解法，可因式分解的优先选择因式分解法提升效率，难以分解的用公式法更稳妥，计算时注意判别式的符号、根式化简和约分，避免低级错误。
【难度系数】
0.75

21 化简：$( \sqrt{ab} - \dfrac{ab}{a + \sqrt{ab}} ) ÷ \dfrac{\sqrt{ab} - a}{a - b}$。

21.$-\sqrt{ab}$

【分析】
这是二次根式与分式的混合化简题，解题可按三步思考：第一步先处理括号内的运算，通过通分将括号内的两个项合并为一个分式；第二步将除法运算转化为乘法运算，同时对分子、分母中的多项式进行因式分解，方便后续约分；第三步约去所有公因式，注意提取负号时的符号变化，最终得到最简结果。
【解析】
解：原式$=[ \dfrac{\sqrt{ab}(a+\sqrt{ab})}{a+\sqrt{ab}} - \dfrac{ab}{a+\sqrt{ab}} ] × \dfrac{a-b}{\sqrt{ab}-a}$
先计算括号内的分子：
$\sqrt{ab}(a+\sqrt{ab}) - ab = a\sqrt{ab} + ab - ab = a\sqrt{ab}$
因此括号内化简为$\dfrac{a\sqrt{ab}}{a+\sqrt{ab}}$。
对各部分因式分解：
$a+\sqrt{ab}=\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$，$a-b=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$，$\sqrt{ab}-a=-\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$
代入原式得：
$=\dfrac{a\sqrt{ab}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} × \dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{-\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$
约去公因式$\sqrt{a}+\sqrt{b}$、$\sqrt{a}-\sqrt{b}$、$\sqrt{a} · \sqrt{a}=a$，可得：
$=\sqrt{ab} × (-1) = -\sqrt{ab}$
【答案】
$-\sqrt{ab}$
【知识点】
二次根式混合运算，分式化简，因式分解
【点评】
本题考察二次根式与分式化简的综合应用，解题核心是掌握通分、除法变乘法、因式分解的基本规则，要尤其注意提取负号时的符号变化，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.6

22 如图，OD平分∠AOG，DC⊥OA，垂足为点C。
（1）若△AOD的面积为18cm²，OA=12cm，求点D到OG的距离；
（2）若点B在线段OG上，∠A=∠GBD，求证：AO+BO=2CO。

22 (1)$3\ \mathrm{cm}$ (2)提示:过点$D$作$DH ⊥ OG$于点$H$。由角平分线可得$CD = DH$,再证$△ DCA ≌ △ DHB$,可得$BH = AC$。由$△ ODC ≌ △ ODH$,可得$CO = OH$,所以$AO + BO = (AC + CO) + (OH - BH) = 2CO$。

【分析】
（1）根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到OA的距离等于点D到OG的距离。已知△AOD的面积和OA的长度，可先通过三角形面积公式求出D到OA的距离DC，即可得到D到OG的距离。
（2）要证明AO+BO=2CO，需通过作辅助线构造全等三角形转化线段：过D作DH⊥OG于H，首先利用角平分线性质得DC=DH，先证△OCD≌△OHD得到OC=OH，再证△DCA≌△DHB得到AC=BH，最后将AO、BO拆分为含AC、CO、OH、BH的线段，代入化简即可得到结论。
【解析】
（1）过点D作DH⊥OG，垂足为H。
∵ OD平分∠AOG，DC⊥OA，DH⊥OG
∴ DC=DH（角平分线上的点到角两边的距离相等）
已知△AOD的面积为18cm²，OA=12cm，由三角形面积公式：
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2} × OA × DC$
代入得：$18=\frac{1}{2} × 12 × DC$
解得：$DC=3\ \mathrm{cm}$
∴ $DH=DC=3\ \mathrm{cm}$，即点D到OG的距离为3cm。
（2）证明：过点D作DH⊥OG，垂足为H。
∵ OD平分∠AOG，DC⊥OA，DH⊥OG
∴ $DC=DH$，$∠ OCD=∠ OHD=∠ ACD=∠ BHD=90°$
① 证明$△ OCD ≌ △ OHD$：
$\begin{cases}∠ OCD=∠ OHD \\∠ COD=∠ HOD \\OD=OD\end{cases}$
∴ $△ OCD ≌ △ OHD$（AAS）
∴ $CO=OH$
② 证明$△ DCA ≌ △ DHB$：
$\begin{cases}∠ A=∠ GBD \\∠ ACD=∠ BHD \\DC=DH\end{cases}$
∴ $△ DCA ≌ △ DHB$（AAS）
∴ $AC=BH$
③ 线段转化：
$AO=AC+CO$，$BO=OH-BH$
∴ $AO+BO=(AC+CO)+(OH-BH)$
将$AC=BH$，$CO=OH$代入得：
$AO+BO=CO+OH=CO+CO=2CO$，得证。
【答案】
（1）$\boxed{3\ \mathrm{cm}}$；（2）证明见解析。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，第一问直接考查角平分线性质和面积公式的应用，难度较低；第二问的核心是作垂线构造全等三角形，通过全等转化线段完成和差关系的推导，熟练掌握辅助线构造方法和线段拆分技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6

23 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，售价为120元时，每天可售出20件。经市场调研发现，如果每件童装降价1元，那么每天平均可多售出2件。设每件童装降价x元。
（1）每天可销售件，每件盈利元；（用含x的代数式直接填空）
（2）当平均每天盈利1200元时，求x的值；
（3）设平均每天可盈利y元，求y的最大值。

23 (1)$(20+2x)$，$(40-x)$ (2) 根据题意,得$(20+2x)(40-x)=1200$,解得$x_1=20$,$x_2=10$。 (3) 根据题意得:$y=(20+2x)(40-x)=-2x^2+60x+800=-2(x-15)^2+1250$。当$x=15$时,$y$有最大值,最大值为$1250$。

【分析】
（1）先梳理销售量和单件盈利的变化规律：每降价1元多售出2件，降价x元就多售出2x件，加上原有销售量20件即可得到现在的日销售量；原本每件盈利为售价减进价即120-80=40元，降价x元后单件盈利对应减少x元，即可得到单件盈利的代数式。
（2）根据“总盈利=日销售量×单件盈利”的等量关系，代入（1）中得到的两个代数式，结合总盈利为1200元列一元二次方程，求解后验证解符合实际意义即可。
（3）先根据总盈利的等量关系列出y关于x的二次函数解析式，再用配方法将解析式化为顶点式，结合二次项系数为负、抛物线开口向下的性质，顶点处即为函数最大值点，代入计算即可得到最大盈利。
【解析】
（1）降价x元后，日增加销售量为2x件，因此每天可销售$20+2x$件；
原本每件盈利$120-80=40$元，降价x元后每件盈利为$40-x$元。
（2）由总盈利的等量关系列方程：
$(20+2x)(40-x)=1200$
展开整理得：$x^2-30x+200=0$
因式分解得：$(x-10)(x-20)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=20$，两个解均满足实际销售的取值要求。
（3）由题意得：
$y=(20+2x)(40-x)$
展开并配方：
$\begin{aligned}y&=-2x^2+60x+800\\&=-2(x^2-30x)+800\\&=-2(x-15)^2+1250\end{aligned}$
∵二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=15$时，y取得最大值。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(20+2x)}$，$\boldsymbol{(40-x)}$
(2) $x_1=10$，$x_2=20$
(3) $y$的最大值为1250
【知识点】
列代数式、一元二次方程的应用、二次函数的最值
【点评】
本题是销售利润类的典型实际应用题，核心需要掌握总利润、单件利润、销售量三者的等量关系，综合考查了代数式表达、方程求解和二次函数最值的应用，是实际应用题型的高频考点。
【难度系数】
0.7