1 下列方程中，属于分式方程的是()。
① $\frac{x-3}{5}=1$；② $\frac{3}{x}=2$；③ $\frac{1+x}{5+x}=\frac{1}{2}$；④ $\frac{x}{2}+\frac{2}{x}=5$。

A.①②
B.②③
C.③④
D.②③④

1.D

【分析】
解这道题首先要明确分式方程的核心判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。接下来我们只需要逐个验证四个方程的分母是否含有未知数，筛选出符合定义的方程，再对应选项选择即可。需要注意的是，只要方程中存在至少一项的分母含未知数，不管其他项是否为整式，都属于分式方程。
【解析】
首先回忆分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，我们逐个分析：
① $\frac{x-3}{5}=1$：分母为5，是不含未知数的常数，属于整式方程，不是分式方程；
② $\frac{3}{x}=2$：分母为x，含有未知数，属于分式方程；
③ $\frac{1+x}{5+x}=\frac{1}{2}$：分母为$5+x$，含有未知数x，属于分式方程；
④ $\frac{x}{2}+\frac{2}{x}=5$：其中$\frac{2}{x}$项的分母为x，含有未知数，属于分式方程。
因此②③④都是分式方程，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义、整式与分式的区分
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的关键是准确掌握分式方程的判定规则，注意不要因为方程中存在整式项就误判，只要有分母含未知数的项，就属于分式方程。
【难度系数】
0.85

2 $\frac{(x - 3)(x + 2)}{x^2 - 9} = 0$ 的根为()。

A.3或－2
B.3
C.－2
D.±3

2.C

【分析】
要解这个分式方程求根，需牢记分式值为0的两个必要条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义），二者缺一不可。解题时先求出使分子为0的x的所有可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的增根，剩下的就是方程的根。
【解析】
解：分式的值为0需同时满足：①分子为0；②分母不为0。
1. 令分子为0，即$(x - 3)(x + 2) = 0$
解得$x=3$或$x=-2$
2. 要求分母不为0，即$x^2 - 9 ≠ 0$
化简得$x^2 ≠ 9$，即$x ≠ 3$且$x ≠ -3$
3. 综上，$x=3$会使分式无意义，属于增根，需舍去，符合条件的根为$x=-2$。
【答案】
C
【知识点】
分式值为0的条件；增根判定；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求根的常见题型，易错点是解题时只关注分子为0的情况，忽略分母不能为0的限制，忘记验根导致误选。求解分式相关的题目时，一定要优先考虑分式有意义的前提。
【难度系数】
0.7

3 方程$\frac{x - 4}{x} = \frac{x - 4}{6}$的根是（）。

A.6
B.4

D.4或6

3.D

【分析】
本题是分式方程求解问题，解题时注意不可直接约去等式两边的$(x-4)$，否则会漏掉$x=4$这个根。我们可以先通过去分母将分式方程转化为整式方程，再利用因式分解法求解，最后检验所得根是否使原方程分母不为0，排除增根即可。
【解析】
解：原方程为$\frac{x - 4}{x} = \frac{x - 4}{6}$，
首先确定分母不为0，即$x≠0$，
方程两边同时乘最简公分母$6x$，去分母得：
$6(x-4)=x(x-4)$，
移项得：$6(x-4)-x(x-4)=0$，
提取公因式$(x-4)$得：$(x-4)(6-x)=0$，
则$x-4=0$或$6-x=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=6$。
检验：当$x=4$时，原方程左边$=\frac{4-4}{4}=0$，右边$=\frac{4-4}{6}=0$，左边=右边，且分母$x=4≠0$，是原方程的根；
当$x=6$时，原方程左边$=\frac{6-4}{6}=\frac{1}{3}$，右边$=\frac{6-4}{6}=\frac{1}{3}$，左边=右边，且分母$x=6≠0$，是原方程的根。
所以原方程的根为4或6。
【答案】
D
【知识点】
分式方程求解，因式分解应用，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，易错点是直接约去可能为0的公因式$(x-4)$导致漏解，解题时要注意：若等式两边的公因式取值可能为0，不可直接约分，求解后要验根，保证根使原方程的分母不为0。
【难度系数】
0.7

④ 在分式方程 $\frac{3}{x^2 -9} -1 = \frac{2}{3 -x}$ 的两边都乘以可约去分母。

4.$(x-3)(x+3)$

【分析】
要解决分式方程约去分母的问题，核心是找到所有分母的最简公分母，给方程两边同乘该最简公分母即可消去分母。思考步骤如下：第一步先对每个分母进行因式分解，第二步将互为相反数的因式统一形式，第三步取各分母所有不同因式的最高次幂的乘积，得到的就是最简公分母，也就是需要乘的式子。
【解析】
首先列出方程中所有的分母：$x^2-9$和$3-x$。
1. 对分母因式分解：根据平方差公式，$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$；
2. 处理符号相反的分母：$3-x=-(x-3)$；
3. 确定最简公分母：两个分母的所有因式为$(x+3)$和$(x-3)$，因此最简公分母为$(x-3)(x+3)$，给方程两边同乘该式即可约去所有分母。
【答案】
$(x-3)(x+3)$
【知识点】
最简公分母的确定，分式方程去分母，因式分解
【点评】
本题是分式方程解法的基础题，解题的关键是准确对分母因式分解，注意互为相反数的因式的变形，掌握找最简公分母的方法是解分式方程的重要前提。
【难度系数】
0.8

5 关于$x$的分式方程$\frac{x^2}{x - a} = \frac{a^2}{x - a}$的解是。

5.$x=-a$

【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验所得的根是否为增根（即使原方程分母为0的根）。本题中方程两边分母相同，首先明确分母不为0的前提条件，再去分母转化为整式方程，解出整式方程的根后排除增根即可得到原方程的解。
【解析】
1. 确定分式有意义的条件：要使方程中的分式有意义，则分母$x-a\ne0$，即$x\ne a$；
2. 去分母：方程两边同时乘以$(x-a)$（此时$x-a\ne0$，等式仍然成立），可得：
$x^2=a^2$
3. 解整式方程：对$x^2=a^2$开平方，得$x=a$或$x=-a$；
4. 检验增根：$x=a$会使原方程分母为0，属于增根，需舍去；将$x=-a$代入原方程，分母$x-a=-2a\ne0$，且左右两边计算结果相等，符合方程解的要求。
【答案】
$x=-a$
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，直接开平方解整式方程
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，易错点是求解整式方程后忽略检验步骤，误将增根$x=a$当作原方程的解，牢记分式方程求解后必须验证根是否使原分式的分母为0。
【难度系数】
0.7

6 若关于$x$的分式方程$\dfrac{x - a}{x - 1} - \dfrac{3}{x} = 1$无解，则$a=$。

6.－2或1

【分析】
分式方程无解包含两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的x的值）。解题时先给分式方程去分母转化为整式方程，再分别对应两种情况计算a的值即可。
【解析】
第一步：去分母，将分式方程转化为整式方程
原方程最简公分母为$x(x-1)$，方程两边同时乘$x(x-1)$（注意$x≠0$且$x≠1$）得：
$x(x-a) - 3(x-1) = x(x-1)$
第二步：化简整式方程
展开左右两边：
$x^2 - ax - 3x + 3 = x^2 - x$
消去两边的$x^2$，移项合并同类项得：
$(a+2)x = 3$
第三步：分类讨论方程无解的情况
情况1：整式方程本身无解
当一次项系数为0时，整式方程无解，即$a+2=0$，解得$a=-2$，此时方程变为$0=3$，恒不成立，原分式方程无解。
情况2：整式方程的解为原分式方程的增根
原分式方程的增根满足分母为0，即$x=0$或$x=1$：
①将$x=0$代入$(a+2)x=3$，得$0=3$，不成立，排除；
②将$x=1$代入$(a+2)x=3$，得$a+2=3$，解得$a=1$，此时整式方程的解为$x=1$，是原分式方程的增根，原分式方程无解。
综上，$a$的值为$-2$或$1$。
【答案】
$-2$或$1$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的判定；解分式方程
【点评】
本题重点考查分式方程无解的两类情形，解题时需要分类讨论，易错点是容易遗漏整式方程本身无解的情况，求出参数后代入验证是否符合题意即可避免错误。
【难度系数】
0.6

7 若分式方程$\frac{2(x - 2a)}{a^2(x - 1)} = 1$的根为$x = 3$，则$a$的值为。

7.－3或1

【分析】
已知分式方程的根求参数值，首先将方程的根代入原分式方程，得到仅含参数a的方程，再求解该方程，最后检验得到的a的值是否能让原分式方程的分母不为0（保证分式有意义），即可得到a的取值。
【解析】
∵ x=3是分式方程$\frac{2(x - 2a)}{a^2(x - 1)} = 1$的根
∴ 将x=3代入原方程，得：
$\frac{2×(3 - 2a)}{a^2×(3 - 1)} = 1$
化简得：$\frac{3 - 2a}{a^2} = 1$
∵ 分母$a^2≠0$，即$a≠0$，两边同乘$a^2$得：
$3 - 2a = a^2$
移项整理为标准一元二次方程：$a^2 + 2a - 3 = 0$
因式分解得：$(a + 3)(a - 1) = 0$
解得：$a_1 = -3$，$a_2 = 1$
检验：当a=-3时，原方程分母$a^2(x-1)=9×2=18≠0$，分式有意义；
当a=1时，原方程分母$a^2(x-1)=1×2=2≠0$，分式有意义。
∴ a的值为-3或1。
【答案】
－3或1
【知识点】
分式方程根的定义、分式有意义的条件、解一元二次方程
【点评】
本题是分式方程的基础应用题型，核心是利用方程根的含义代入参数，解题时注意要验证参数的取值是否满足分式分母不为0的要求，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7

8 对于非零的两个实数a、b，规定$a \otimes b = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$。若$x \otimes (x + 1) = 2$，则x的值为。

8.$\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

【分析】
解题首先要准确理解题目给出的新定义运算规则，将x和x+1对应到规则中a、b的位置，列出对应的分式方程；再按照分式方程的求解步骤，先去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，需代入最简公分母检验解是否为增根，同时要满足新定义中a、b为非零实数的隐含条件，最终得到符合要求的x的值。
【解析】
根据新定义的运算规则$a \otimes b = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$，可得：
$x \otimes (x + 1) = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x} = 2$
首先确定未知数的取值范围：$x≠0$且$x+1≠0$，即$x≠0$且$x≠-1$。
方程两边同时乘以最简公分母$x(x+1)$去分母，得：
$x + (x+1) = 2x(x+1)$
化简整理：
左边合并同类项得$2x + 1$，右边展开得$2x^2 + 2x$
移项得：$2x + 1 - 2x^2 - 2x = 0$
化简得：$2x^2 = 1$，即$x^2 = \frac{1}{2}$
开平方得：$x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
检验：将$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$和$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$分别代入$x(x+1)$，结果均不为0，且均满足$x≠0$、$x≠-1$的要求，是原方程的解。
【答案】
$\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
新定义运算、分式方程解法、平方根计算
【点评】
本题将新定义运算与分式方程求解结合，解题核心是正确根据新定义列出方程，求解过程中要注意分式方程必须检验增根，同时不要忽略新定义对参数非零的限制条件。
【难度系数】
0.7

9 关于x的方程：$\frac{x}{x^2 -1} + \frac{1 - x^2}{3x} = 2$，如果设$y = \frac{x}{x^2 -1}$，那么原方程转化为关于y的整式方程为。

9.$3y^2-6y-1=0$

【分析】
本题要求用换元法将原分式方程转化为关于y的整式方程，解题思路分三步：第一步，根据给定的换元式$y = \frac{x}{x^2 -1}$，找到原方程中另一个分式$\frac{1 - x^2}{3x}$与y的关系；第二步，将两个分式都用含y的代数式替换，得到关于y的分式方程；第三步，通过去分母将分式方程化为整式方程，整理为标准形式即可。
【解析】
已知设$y = \frac{x}{x^2 -1}$，解题步骤如下：
1. 推导$\frac{1 - x^2}{3x}$的表达式：
由$y = \frac{x}{x^2 -1}$可得$\frac{x^2 -1}{x} = \frac{1}{y}$，因此$\frac{1 - x^2}{3x} = -\frac{x^2 -1}{3x} = -\frac{1}{3y}$。
2. 代入原方程：
将$\frac{x}{x^2 -1}=y$和$\frac{1 - x^2}{3x}=-\frac{1}{3y}$代入原方程，得：
$y - \frac{1}{3y} = 2$
3. 去分母化为整式方程：
方程两边同时乘以$3y$（$y≠0$）消去分母，得：
$3y^2 - 1 = 6y$
移项整理为标准整式方程形式：
$3y^2 - 6y - 1 = 0$
【答案】
$3y^2-6y-1=0$
【知识点】
换元法解分式方程；分式的基本性质；去分母化整式方程
【点评】
本题是换元法解分式方程的基础题型，解题核心是利用两个分式互为负倒数的关系，正确用含y的代数式替换原方程中的分式，再通过去分母完成整式转化，需注意替换时不要写错符号。
【难度系数】
0.7

⑩ 若关于x的方程$\frac{1}{x^2 -x} + \frac{1}{x^2 -3x +2} + \frac{k}{x^2 -2x} = 0$有无数个解，则k=。

10.－2

【分析】
解题时先对分式方程的各分母因式分解，确定最简公分母，同时明确分母不为0的限制（x≠0，x≠1，x≠2）；再通过去分母将分式方程转化为整式方程，若原分式方程有无数个解，说明转化后的整式方程对所有满足分母不为0的x都恒成立，对应一次整式的一次项系数和常数项均为0，据此即可求出k的值。
【解析】
首先对各分母因式分解：
$x^2 - x = x(x-1)$，
$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$，
$x^2 - 2x = x(x-2)$，
要使分式有意义，需满足$x≠0$，$x≠1$，$x≠2$。
方程两边同时乘最简公分母$x(x-1)(x-2)$，去分母得：
$(x-2) + x + k(x-1) = 0$，
展开并合并同类项：
$x - 2 + x + kx - k = 0$，
$(2+k)x - (2+k) = 0$，
原方程有无数个解，说明上述整式方程对所有$x≠0,1,2$恒成立，因此一次项系数和常数项均为0，即$2 + k = 0$，
解得$k = -2$。
此时整式方程为$0=0$，所有$x≠0,1,2$的实数都是原方程的解，符合有无数个解的要求。
【答案】
$-2$
【知识点】
分式方程的解法、因式分解、一次方程恒成立条件
【点评】
本题考查分式方程无数解的判定，解题核心是将分式方程转化为整式方程，理解整式方程恒成立时，原方程在分母有意义的范围内有无数解，解题时需注意不要遗漏分式分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.6

解下列关于x的分式方程。
11 $\frac{x^2}{x-3}=\frac{3x}{x-3}$。
12 $\frac{2x^2 -6x}{x-3}=x+3$。
13 $\frac{4}{x}-\frac{1}{x-1}=1$。
14 $\frac{2x}{x^2 -4}-1=\frac{1}{x+2}$。
15 $\frac{x+1}{x^2 -x}+\frac{x+5}{3-3x}=\frac{1}{3x}$。
16 $\frac{1}{x-1}=\frac{4}{x^2 +2x -3}+1$。

11.$x=0$
12.无解
13.$x=2$
14.$x=3$
15.$x=-4$
16.$x=-2$

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为已学的整式方程求解，具体步骤为：1. 先对各分母因式分解，找到所有分母的最简公分母；2. 方程两边同时乘最简公分母，约去分母得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的项；3. 解所得的整式方程；4. 检验：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值为0，则这个解是增根，原分式方程无解；若最简公分母不为0，该解才是原方程的解，检验是分式方程必不可少的步骤。
【解析】
11. $\frac{x^2}{x-3}=\frac{3x}{x-3}$
最简公分母为$x-3$，方程两边同时乘$x-3$（$x≠3$）得：
$x^2=3x$
移项因式分解得$x(x-3)=0$，解得$x=0$或$x=3$
检验：当$x=3$时，$x-3=0$，是增根，舍去；当$x=0$时，$x-3=-3≠0$，符合要求。
12. $\frac{2x^2 -6x}{x-3}=x+3$
先化简分子得$2x^2-6x=2x(x-3)$，最简公分母为$x-3$，方程两边同时乘$x-3$（$x≠3$）得：
$2x(x-3)=(x+3)(x-3)$
整理得$x^2-6x+9=0$，即$(x-3)^2=0$，解得$x=3$
检验：当$x=3$时，$x-3=0$，是增根，原方程无有效解。
13. $\frac{4}{x}-\frac{1}{x-1}=1$
最简公分母为$x(x-1)$，方程两边同时乘$x(x-1)$（$x≠0$且$x≠1$）得：
$4(x-1)-x=x(x-1)$
整理得$x^2-4x+4=0$，即$(x-2)^2=0$，解得$x=2$
检验：当$x=2$时，$x(x-1)=2×1=2≠0$，符合要求。
14. $\frac{2x}{x^2 -4}-1=\frac{1}{x+2}$
因式分解分母得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$，方程两边同时乘最简公分母（$x≠\pm2$）得：
$2x-(x^2-4)=x-2$
整理得$x^2-x-6=0$，因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x=3$或$x=-2$
检验：当$x=-2$时，$(x+2)(x-2)=0$，是增根，舍去；当$x=3$时，$(3+2)(3-2)=5≠0$，符合要求。
15. $\frac{x+1}{x^2 -x}+\frac{x+5}{3-3x}=\frac{1}{3x}$
因式分解分母得$x^2-x=x(x-1)$，$3-3x=-3(x-1)$，最简公分母为$3x(x-1)$，方程两边同时乘最简公分母（$x≠0$且$x≠1$）得：
$3(x+1)-x(x+5)=x-1$
整理得$x^2+3x-4=0$，因式分解得$(x+4)(x-1)=0$，解得$x=-4$或$x=1$
检验：当$x=1$时，$3x(x-1)=0$，是增根，舍去；当$x=-4$时，$3×(-4)×(-4-1)=60≠0$，符合要求。
16. $\frac{1}{x-1}=\frac{4}{x^2 +2x -3}+1$
因式分解分母得$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$，最简公分母为$(x+3)(x-1)$，方程两边同时乘最简公分母（$x≠1$且$x≠-3$）得：
$x+3=4+(x+3)(x-1)$
整理得$x^2+x-2=0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x=-2$或$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+3)(x-1)=0$，是增根，舍去；当$x=-2$时，$(-2+3)×(-2-1)=-3≠0$，符合要求。
【答案】
11.$x=0$
12.无解
13.$x=2$
14.$x=3$
15.$x=-4$
16.$x=-2$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的检验，增根的识别
【点评】
解分式方程时，去分母环节容易出现漏乘不含分母的常数项的错误，解完整式方程后必须进行检验，增根需要舍去，遗漏检验是这类题的常见失分点。
【难度系数】
0.65