登录
1 若一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的两根为$x_1$、$x_2$，则$(1 + x_1) + x_2(1 - x_1)$的值是(
A.5
B.3
C.-5
D.-3
A
)。A.5
B.3
C.-5
D.-3
答案
1.A
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程两根，求关于两根的代数式的值的题型，优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）求解，无需计算两根的具体值。首先将所求代数式展开化简，整理为仅含两根之和、两根之积的形式，再根据方程系数求出两根之和与两根之积，代入化简后的式子计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-3$。
根据根与系数的关系可得：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=1$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=-3$。
先化简所求代数式：
$\begin{aligned}(1 + x_1) + x_2(1 - x_1)&=1+x_1+x_2-x_1x_2\\&=1+(x_1+x_2)-x_1x_2\end{aligned}$
将$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=-3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=1+1-(-3)\\&=2+3\\&=5\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题核心是将所求代数式变形为两根之和、两根之积的组合形式，避免直接求解方程的繁琐，能有效提升解题效率，要求熟练掌握韦达定理的基本结论和简单的代数式变形技巧。
【难度系数】
0.8
遇到已知一元二次方程两根，求关于两根的代数式的值的题型，优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）求解，无需计算两根的具体值。首先将所求代数式展开化简，整理为仅含两根之和、两根之积的形式，再根据方程系数求出两根之和与两根之积，代入化简后的式子计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-3$。
根据根与系数的关系可得：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=1$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=-3$。
先化简所求代数式：
$\begin{aligned}(1 + x_1) + x_2(1 - x_1)&=1+x_1+x_2-x_1x_2\\&=1+(x_1+x_2)-x_1x_2\end{aligned}$
将$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=-3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=1+1-(-3)\\&=2+3\\&=5\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题核心是将所求代数式变形为两根之和、两根之积的组合形式，避免直接求解方程的繁琐，能有效提升解题效率，要求熟练掌握韦达定理的基本结论和简单的代数式变形技巧。
【难度系数】
0.8
2 已知一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的系数满足$(\dfrac{b}{2})^2 = ac$，则方程的两根之比为（
A.$2:1$
B.$1:1$
C.$2:3$
D.$1:2$
B
）。A.$2:1$
B.$1:1$
C.$2:3$
D.$1:2$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时可从两个方向切入：一是结合已知条件推导一元二次方程根的判别式的值，判断根的数量特征；二是结合本节学习的根与系数关系，通过完全平方公式变形推导两根的数量关系。首先对已知条件$(\dfrac{b}{2})^2 = ac$变形得到$b^2=4ac$，若用判别式，直接代入$\Delta = b^2-4ac$即可得$\Delta=0$，说明方程有两个相等实根，比值为1:1；若用韦达定理，将两根和、两根积代入变形后的已知条件，也可推导出两根相等，进而得到比值。
【解析】
方法1：利用根的判别式求解
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
已知$(\dfrac{b}{2})^2 = ac$，等式两边同乘4得：$b^2=4ac$。
将$b^2=4ac$代入判别式得：$\Delta = 4ac - 4ac = 0$，因此方程有两个相等的实数根，即两根大小相等，故两根之比为$1:1$。
方法2：利用根与系数的关系求解
设方程的两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$。
对已知$(\dfrac{b}{2})^2 = ac$变形得$b^2=4ac$，将$x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}$两边平方得：
$(x_1+x_2)^2 = \dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{4ac}{a^2} = 4·\dfrac{c}{a} = 4x_1x_2$。
整理得$(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = 0$，由完全平方公式得$(x_1-x_2)^2=0$，因此$x_1=x_2$，两根之比为$1:1$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根与系数的关系
3. 完全平方公式
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的应用，解题关键是对已知系数关系进行合理变形，既可以用判别式快速求解，也可以结合根与系数的关系推导得到结论，属于基础类习题，熟练掌握一元二次方程根的相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.85
解题时可从两个方向切入：一是结合已知条件推导一元二次方程根的判别式的值，判断根的数量特征；二是结合本节学习的根与系数关系，通过完全平方公式变形推导两根的数量关系。首先对已知条件$(\dfrac{b}{2})^2 = ac$变形得到$b^2=4ac$，若用判别式，直接代入$\Delta = b^2-4ac$即可得$\Delta=0$，说明方程有两个相等实根，比值为1:1；若用韦达定理，将两根和、两根积代入变形后的已知条件，也可推导出两根相等，进而得到比值。
【解析】
方法1：利用根的判别式求解
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
已知$(\dfrac{b}{2})^2 = ac$，等式两边同乘4得：$b^2=4ac$。
将$b^2=4ac$代入判别式得：$\Delta = 4ac - 4ac = 0$，因此方程有两个相等的实数根，即两根大小相等，故两根之比为$1:1$。
方法2：利用根与系数的关系求解
设方程的两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$。
对已知$(\dfrac{b}{2})^2 = ac$变形得$b^2=4ac$，将$x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}$两边平方得：
$(x_1+x_2)^2 = \dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{4ac}{a^2} = 4·\dfrac{c}{a} = 4x_1x_2$。
整理得$(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = 0$，由完全平方公式得$(x_1-x_2)^2=0$，因此$x_1=x_2$，两根之比为$1:1$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根与系数的关系
3. 完全平方公式
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的应用，解题关键是对已知系数关系进行合理变形，既可以用判别式快速求解，也可以结合根与系数的关系推导得到结论，属于基础类习题，熟练掌握一元二次方程根的相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.85
3 若关于$x$的方程$x^2 + (m + 1)x + m^2 = 0$的两个实数根互为倒数，则$m$的值为（
A.$-1$
B.$\pm1$
C.$0$
D.$1$
D
）。A.$-1$
B.$\pm1$
C.$0$
D.$1$
答案
3.D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要结合两部分知识：一是一元二次方程根与系数的关系，二是方程有两个实数根的前提是判别式非负。首先，根据“两个实数根互为倒数”可知两根之积为1，利用根与系数的关系先列出关于m的方程求出m的可能值；再代入判别式检验，舍去使得方程无实根的m值，即可得到正确结果。
【解析】
设该一元二次方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据两根互为倒数的性质，可得$x_1x_2=1$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积为$\frac{c}{a}$，本题中方程为$x^2 + (m + 1)x + m^2 = 0$，$a=1$，$c=m^2$，因此：
$x_1x_2 = m^2 = 1$
解得$m=1$或$m=-1$。
2. 由于方程有两个实数根，因此判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta = b^2-4ac = (m+1)^2 - 4×1× m^2 = -3m^2+2m+1$
当$m=1$时，$\Delta=-3×1^2 +2×1 +1=0$，符合$\Delta≥0$的要求，此时方程有两个相等的实根，两根均为1，满足互为倒数的条件；
当$m=-1$时，$\Delta=-3×(-1)^2 +2×(-1) +1=-4＜0$，此时方程无实数根，不符合题意，舍去。
综上，$m$的值为1。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，倒数的性质
【点评】
本题易忽略“方程有两个实数根”的前提，直接由韦达定理求出$m=\pm1$后错选B，解题时求出参数值后一定要代入判别式验证，确保方程存在实数根。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要结合两部分知识：一是一元二次方程根与系数的关系，二是方程有两个实数根的前提是判别式非负。首先，根据“两个实数根互为倒数”可知两根之积为1，利用根与系数的关系先列出关于m的方程求出m的可能值；再代入判别式检验，舍去使得方程无实根的m值，即可得到正确结果。
【解析】
设该一元二次方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据两根互为倒数的性质，可得$x_1x_2=1$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积为$\frac{c}{a}$，本题中方程为$x^2 + (m + 1)x + m^2 = 0$，$a=1$，$c=m^2$，因此：
$x_1x_2 = m^2 = 1$
解得$m=1$或$m=-1$。
2. 由于方程有两个实数根，因此判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta = b^2-4ac = (m+1)^2 - 4×1× m^2 = -3m^2+2m+1$
当$m=1$时，$\Delta=-3×1^2 +2×1 +1=0$，符合$\Delta≥0$的要求，此时方程有两个相等的实根，两根均为1，满足互为倒数的条件；
当$m=-1$时，$\Delta=-3×(-1)^2 +2×(-1) +1=-4＜0$，此时方程无实数根，不符合题意，舍去。
综上，$m$的值为1。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，倒数的性质
【点评】
本题易忽略“方程有两个实数根”的前提，直接由韦达定理求出$m=\pm1$后错选B，解题时求出参数值后一定要代入判别式验证，确保方程存在实数根。
【难度系数】
0.7
④ 若关于x的一元二次方程$x^2 + 2x - 2m + 1 = 0$的两实数根之积为负数，则实数m的取值范围是
$m＞\dfrac{1}{2}$
。答案
4.$m＞\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时需要同时考虑两个核心条件：第一，题目明确说明方程有两个实数根，因此首先要满足一元二次方程根的判别式Δ≥0；第二，两实数根之积为负数，可结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），即两根之积等于常数项除以二次项系数，列出对应不等式求解，最后验证两个条件的公共解集即可，也可通过观察两个不等式的包含关系简化计算。
【解析】
解：设该一元二次方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据根与系数的关系，对一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$c=-2m+1$，因此$x_1x_2=-2m+1$。
由两根之积为负可得不等式：
$-2m+1 ＜ 0$
解得：$m ＞ \frac{1}{2}$。
2. 验证方程有两个实数根的判别式条件：$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$。
代入$a=1$、$b=2$、$c=-2m+1$计算得：
$\Delta = 2^2 - 4×1×(-2m+1) = 4 + 8m -4 = 8m$
当$m ＞ \frac{1}{2}$时，$8m ＞ 4 ＞ 0$，满足方程有两个不相等实数根的要求。
综上，实数$m$的取值范围为$m ＞ \frac{1}{2}$。
【答案】
$m＞\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题时需注意结合根的判别式确保方程存在实数根，本题中满足两根之积为负的条件时，判别式自动满足大于0的要求，整体逻辑清晰，是巩固一元二次方程根的相关性质的典型基础题。
【难度系数】
0.75
解题时需要同时考虑两个核心条件：第一，题目明确说明方程有两个实数根，因此首先要满足一元二次方程根的判别式Δ≥0；第二，两实数根之积为负数，可结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），即两根之积等于常数项除以二次项系数，列出对应不等式求解，最后验证两个条件的公共解集即可，也可通过观察两个不等式的包含关系简化计算。
【解析】
解：设该一元二次方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据根与系数的关系，对一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$c=-2m+1$，因此$x_1x_2=-2m+1$。
由两根之积为负可得不等式：
$-2m+1 ＜ 0$
解得：$m ＞ \frac{1}{2}$。
2. 验证方程有两个实数根的判别式条件：$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$。
代入$a=1$、$b=2$、$c=-2m+1$计算得：
$\Delta = 2^2 - 4×1×(-2m+1) = 4 + 8m -4 = 8m$
当$m ＞ \frac{1}{2}$时，$8m ＞ 4 ＞ 0$，满足方程有两个不相等实数根的要求。
综上，实数$m$的取值范围为$m ＞ \frac{1}{2}$。
【答案】
$m＞\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题时需注意结合根的判别式确保方程存在实数根，本题中满足两根之积为负的条件时，判别式自动满足大于0的要求，整体逻辑清晰，是巩固一元二次方程根的相关性质的典型基础题。
【难度系数】
0.75
5 已知$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2 - 2x -1=0$的两根，则$\dfrac{1}{x_1x_2}=$
$-1$
。答案
5.$-1$
解析
【分析】
本题要求两根乘积的倒数，无需单独求解两根的具体值，可直接利用一元二次方程根与系数的关系简化计算：第一步先确定给定一元二次方程的二次项系数a、常数项c；第二步根据两根之积的计算公式求出$x_1x_2$的值；第三步将$x_1x_2$代入目标代数式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则两根之积满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程为$x^2 - 2x -1=0$，其中$a=1$，$c=-1$，代入公式得：
$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$
将$x_1x_2=-1$代入$\dfrac{1}{x_1x_2}$得：
$\dfrac{1}{x_1x_2}=\dfrac{1}{-1}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系
2. 代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题核心是准确识别方程各项系数，牢记两根之积的计算公式，计算时需注意常数项的符号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
本题要求两根乘积的倒数，无需单独求解两根的具体值，可直接利用一元二次方程根与系数的关系简化计算：第一步先确定给定一元二次方程的二次项系数a、常数项c；第二步根据两根之积的计算公式求出$x_1x_2$的值；第三步将$x_1x_2$代入目标代数式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则两根之积满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程为$x^2 - 2x -1=0$，其中$a=1$，$c=-1$，代入公式得：
$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$
将$x_1x_2=-1$代入$\dfrac{1}{x_1x_2}$得：
$\dfrac{1}{x_1x_2}=\dfrac{1}{-1}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系
2. 代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题核心是准确识别方程各项系数，牢记两根之积的计算公式，计算时需注意常数项的符号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
⑥关于x的一元二次方程$x^2 - ax - 3a = 0$的一个根为6，则另一个根是
$-2$
。答案
6.$-2$
解析
【分析】
解题有两种思路：思路1：根据一元二次方程根的定义，将已知根x=6代入原方程，先求出参数a的值，再将a代入原方程，解方程即可求出另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为x₁，结合已知根6，根据两根之和、两根之积与系数的关系列方程，直接求解另一个根，这种方法计算更简便。
【解析】
方法一（利用根的定义求解）：
把x=6代入方程$x^2 - ax - 3a = 0$，得：
$6^2 - 6a - 3a = 0$
$36 - 9a = 0$
解得$a=4$
把a=4代入原方程，得$x^2 - 4x - 12 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+2)=0$
解得$x_1=6$，$x_2=-2$
所以另一个根是-2。
方法二（利用根与系数的关系求解）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$x^2 - ax - 3a = 0$，根据根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1 + 6 = a$
两根之积：$6x_1 = -3a$
将$a = x_1 + 6$代入$6x_1 = -3a$，得：
$6x_1 = -3(x_1 + 6)$
$6x_1 = -3x_1 - 18$
$9x_1 = -18$
解得$x_1 = -2$
所以另一个根是-2。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的应用，两种解题方法均符合要求，其中利用根与系数的关系求解可以省去解完整方程的步骤，提高解题效率，是这类题型的常用技巧。
【难度系数】
0.8
解题有两种思路：思路1：根据一元二次方程根的定义，将已知根x=6代入原方程，先求出参数a的值，再将a代入原方程，解方程即可求出另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为x₁，结合已知根6，根据两根之和、两根之积与系数的关系列方程，直接求解另一个根，这种方法计算更简便。
【解析】
方法一（利用根的定义求解）：
把x=6代入方程$x^2 - ax - 3a = 0$，得：
$6^2 - 6a - 3a = 0$
$36 - 9a = 0$
解得$a=4$
把a=4代入原方程，得$x^2 - 4x - 12 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+2)=0$
解得$x_1=6$，$x_2=-2$
所以另一个根是-2。
方法二（利用根与系数的关系求解）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$x^2 - ax - 3a = 0$，根据根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1 + 6 = a$
两根之积：$6x_1 = -3a$
将$a = x_1 + 6$代入$6x_1 = -3a$，得：
$6x_1 = -3(x_1 + 6)$
$6x_1 = -3x_1 - 18$
$9x_1 = -18$
解得$x_1 = -2$
所以另一个根是-2。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的应用，两种解题方法均符合要求，其中利用根与系数的关系求解可以省去解完整方程的步骤，提高解题效率，是这类题型的常用技巧。
【难度系数】
0.8
7 若α、β是方程$x^2 + 2x - 2024 = 0$的两个实数根，则$α^2 + 3α + β$的值为
$2022$
。答案
7.$2022$
解析
【分析】
解题时先利用一元二次方程根的定义，将根α代入原方程得到α²+2α的数值；再观察待求式的结构，把α²+3α+β拆分为(α²+2α)+(α+β)，最后结合一元二次方程根与系数的关系求出两根之和α+β，代入数值即可算出结果，无需直接求解方程的根，简化运算。
【解析】
1. 因为α是方程$x^2 + 2x - 2024 = 0$的实数根，将$x=α$代入方程可得：
$α^2 + 2α - 2024 = 0$，整理得$α^2 + 2α = 2024$。
2. 已知α、β是方程$x^2 + 2x - 2024 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，本题中$a=1,b=2$，因此$α+β=-\frac{2}{1}=-2$。
3. 对待求式变形：$α^2 + 3α + β = (α^2 + 2α) + (α+β)$，将$α^2+2α=2024$、$α+β=-2$代入得：
原式$=2024 + (-2) = 2022$。
【答案】
2022
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 代数式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心考查学生的代数式变形能力，解题关键是结合根的定义对待求式合理拆分，规避直接求根的繁琐计算，是一元二次方程章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用一元二次方程根的定义，将根α代入原方程得到α²+2α的数值；再观察待求式的结构，把α²+3α+β拆分为(α²+2α)+(α+β)，最后结合一元二次方程根与系数的关系求出两根之和α+β，代入数值即可算出结果，无需直接求解方程的根，简化运算。
【解析】
1. 因为α是方程$x^2 + 2x - 2024 = 0$的实数根，将$x=α$代入方程可得：
$α^2 + 2α - 2024 = 0$，整理得$α^2 + 2α = 2024$。
2. 已知α、β是方程$x^2 + 2x - 2024 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，本题中$a=1,b=2$，因此$α+β=-\frac{2}{1}=-2$。
3. 对待求式变形：$α^2 + 3α + β = (α^2 + 2α) + (α+β)$，将$α^2+2α=2024$、$α+β=-2$代入得：
原式$=2024 + (-2) = 2022$。
【答案】
2022
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 代数式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心考查学生的代数式变形能力，解题关键是结合根的定义对待求式合理拆分，规避直接求根的繁琐计算，是一元二次方程章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
⑧ 若关于x的方程$x^2 -8x +m=0$的两根为$x_1$、$x_2$，且$x_1=3x_2$，则m的值为
$12$
。答案
8.$12$
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程两根的数量关系求参数的问题，首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题中先根据韦达定理写出两根之和的表达式，再结合已知条件$x_1=3x_2$，联立求出两个根的具体值，最后通过两根之积的表达式求出$m$的值即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -8x +m=0$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{-8}{1}=8$，$x_1x_2 = \frac{m}{1}=m$
已知$x_1=3x_2$，将其代入$x_1 + x_2=8$中，得：
$3x_2 + x_2 =8$
合并同类项得$4x_2=8$，解得$x_2=2$
则$x_1=3x_2=3×2=6$
所以$m=x_1x_2=6×2=12$
【答案】
$12$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，结合已知的两根数量关系联立求解即可，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
遇到已知一元二次方程两根的数量关系求参数的问题，首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题中先根据韦达定理写出两根之和的表达式，再结合已知条件$x_1=3x_2$，联立求出两个根的具体值，最后通过两根之积的表达式求出$m$的值即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -8x +m=0$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{-8}{1}=8$，$x_1x_2 = \frac{m}{1}=m$
已知$x_1=3x_2$，将其代入$x_1 + x_2=8$中，得：
$3x_2 + x_2 =8$
合并同类项得$4x_2=8$，解得$x_2=2$
则$x_1=3x_2=3×2=6$
所以$m=x_1x_2=6×2=12$
【答案】
$12$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，结合已知的两根数量关系联立求解即可，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
9 若$ m $、$ n $是一元二次方程$ x^2 + 3x - 1 = 0 $的两个实数根，则$\frac{m^3 + m^2 n}{3m - 1}$的值为
$3$
。答案
9.3 [提示:因为m、n是一元二次方程$x^2+3x-1=0$的两个实数根,所以$m^2+3m-1=0$,所以$3m-1=-m^2$,$m+n=-3$,所以$\dfrac{m^3+m^2n}{3m-1}=\dfrac{m^2(m+n)}{3m-1}=\dfrac{-3m^2}{-m^2}=3$。]
解析
【分析】
拿到这道题首先明确已知条件：m、n是给定一元二次方程的两个实根，由此可关联两个核心知识点：①方程的根代入方程等式成立；②一元二次方程根与系数的关系可直接得到两根之和。再观察所求代数式，先对分子因式分解，可构造出含m+n的结构，分母可通过根的定义替换为含m²的式子，整体代入后即可消去同类项得到结果，无需单独求解m、n的值，避免复杂运算。
【解析】
解：
∵m是一元二次方程$x^2 + 3x - 1 = 0$的实数根，
∴将x=m代入方程得：$m^2 + 3m - 1 = 0$，变形可得$3m - 1 = -m^2$。
又
∵m、n是该一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$m + n = -3$。
对所求代数式分子因式分解：
$\frac{m^3 + m^2n}{3m - 1} = \frac{m^2(m + n)}{3m - 1}$
将$m + n = -3$、$3m - 1 = -m^2$代入上式：
原式$=\frac{m^2 × (-3)}{-m^2}$
由$m^2 + 3m -1 = 0$可知m≠0（若m=0，代入方程得-1=0，不成立），因此可约去$m^2$，得：
原式$=\frac{-3}{-1}=3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，因式分解
【点评】
本题是一元二次方程性质的基础综合应用题，解题核心是用整体代入的思路化简代数式，避开直接求解方程根的复杂运算，是此类代数式求值题的典型考法。
【难度系数】
0.7
拿到这道题首先明确已知条件：m、n是给定一元二次方程的两个实根，由此可关联两个核心知识点：①方程的根代入方程等式成立；②一元二次方程根与系数的关系可直接得到两根之和。再观察所求代数式，先对分子因式分解，可构造出含m+n的结构，分母可通过根的定义替换为含m²的式子，整体代入后即可消去同类项得到结果，无需单独求解m、n的值，避免复杂运算。
【解析】
解：
∵m是一元二次方程$x^2 + 3x - 1 = 0$的实数根，
∴将x=m代入方程得：$m^2 + 3m - 1 = 0$，变形可得$3m - 1 = -m^2$。
又
∵m、n是该一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$m + n = -3$。
对所求代数式分子因式分解：
$\frac{m^3 + m^2n}{3m - 1} = \frac{m^2(m + n)}{3m - 1}$
将$m + n = -3$、$3m - 1 = -m^2$代入上式：
原式$=\frac{m^2 × (-3)}{-m^2}$
由$m^2 + 3m -1 = 0$可知m≠0（若m=0，代入方程得-1=0，不成立），因此可约去$m^2$，得：
原式$=\frac{-3}{-1}=3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，因式分解
【点评】
本题是一元二次方程性质的基础综合应用题，解题核心是用整体代入的思路化简代数式，避开直接求解方程根的复杂运算，是此类代数式求值题的典型考法。
【难度系数】
0.7
10 在解方程$x^2 + bx + c = 0$时，小明看错了一次项系数$b$，得到的解为$x_1 = -2$，$x_2 = -3$；小刚看错了常数项$c$，得到的解为$x_1 = 1$，$x_2 = 4$。则正确的方程是
$x^2 - 5x + 6 = 0$
。答案
10.$x^2 - 5x + 6 = 0$ [提示:根据题意得$(-2)×(-3)=c$,$1+4=-b$,解得$b=-5$,$c=6$。所以正确的一元二次方程为$x^2 - 5x + 6 = 0$。]
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：首先回忆一元二次方程根与系数的关系：对于方程$x^2+bx+c=0$，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。其次分析两人的错误特征：小明仅看错一次项系数$b$，说明他计算出的常数项$c$是正确的；小刚仅看错常数项$c$，说明他计算出的一次项系数$b$是正确的。最后分别用两人的根求出正确的$b$、$c$，代入即可得到正确方程。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = c$
1. 求正确的常数项$c$：
小明仅看错一次项系数$b$，常数项$c$未看错，因此用他得到的两根计算乘积，可得正确的$c$：
$c = (-2) × (-3) = 6$
2. 求正确的一次项系数$b$：
小刚仅看错常数项$c$，一次项系数$b$未看错，因此用他得到的两根计算和，可得：
$-b = 1 + 4 = 5$，解得$b = -5$
将$b=-5$、$c=6$代入原方程，即可得到正确的一元二次方程。
【答案】
$x^2 - 5x + 6 = 0$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是抓住“看错某一项时另一项计算正确”的关键点，对应套用根与系数关系即可求解，能够有效考查对基础公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步梳理：首先回忆一元二次方程根与系数的关系：对于方程$x^2+bx+c=0$，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。其次分析两人的错误特征：小明仅看错一次项系数$b$，说明他计算出的常数项$c$是正确的；小刚仅看错常数项$c$，说明他计算出的一次项系数$b$是正确的。最后分别用两人的根求出正确的$b$、$c$，代入即可得到正确方程。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = c$
1. 求正确的常数项$c$：
小明仅看错一次项系数$b$，常数项$c$未看错，因此用他得到的两根计算乘积，可得正确的$c$：
$c = (-2) × (-3) = 6$
2. 求正确的一次项系数$b$：
小刚仅看错常数项$c$，一次项系数$b$未看错，因此用他得到的两根计算和，可得：
$-b = 1 + 4 = 5$，解得$b = -5$
将$b=-5$、$c=6$代入原方程，即可得到正确的一元二次方程。
【答案】
$x^2 - 5x + 6 = 0$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是抓住“看错某一项时另一项计算正确”的关键点，对应套用根与系数关系即可求解，能够有效考查对基础公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
11 已知关于$x$的一元二次方程$mx^2 - (2m - 1)x + m - 2 = 0$有两个不相等的实数根。
(1) 求$m$的取值范围；
(2) 若方程有一个根是0，求方程的另一个根。
(1) 求$m$的取值范围；
(2) 若方程有一个根是0，求方程的另一个根。
答案
11.(1) 根据题意得$m ≠ 0$且$\Delta=(2m-1)^2-4m(m-2)＞0$,解得$m＞-\dfrac{1}{4}$且$m ≠ 0$。
所以$m$的取值范围为$m＞-\dfrac{1}{4}$且$m ≠ 0$。
(2) 把$x=0$代入方程,得$m-2=0$,解得$m=2$。
此时方程变形为$2x^2-3x=0$。设方程另一个根为$t$,根据根与系数的关系得$0+t=\dfrac{3}{2}$,解得$t=\dfrac{3}{2}$,即方程的另一个根为$\dfrac{3}{2}$。
所以$m$的取值范围为$m＞-\dfrac{1}{4}$且$m ≠ 0$。
(2) 把$x=0$代入方程,得$m-2=0$,解得$m=2$。
此时方程变形为$2x^2-3x=0$。设方程另一个根为$t$,根据根与系数的关系得$0+t=\dfrac{3}{2}$,解得$t=\dfrac{3}{2}$,即方程的另一个根为$\dfrac{3}{2}$。
解析
【分析】
（1）求解参数m的取值范围时，首先要满足一元二次方程的定义：二次项系数不能为0，即$m≠0$；其次方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式$\Delta＞0$，联立两个条件解不等式就能得到m的取值范围。
（2）已知方程的一个根为0，先将$x=0$代入原方程求出m的值，得到确定的一元二次方程后，既可以直接解方程求另一个根，也可以利用根与系数的关系快速计算出另一个根。
【解析】
(1) 由题意，方程是一元二次方程且有两个不相等的实数根，因此：
二次项系数$m≠0$，且判别式$\Delta=(2m-1)^2-4m(m-2)＞0$
展开计算判别式：
$\Delta=4m^2-4m+1-4m^2+8m=4m+1$
即$4m+1＞0$，解得$m＞-\dfrac{1}{4}$
综上，m的取值范围为$m＞-\dfrac{1}{4}$且$m≠0$。
(2) 把$x=0$代入原方程，得：
$m-2=0$，解得$m=2$
将$m=2$代入原方程，得$2x^2-3x=0$
设方程的另一个根为$t$，根据根与系数的关系，两根之和为$\dfrac{3}{2}$
因此$0+t=\dfrac{3}{2}$，解得$t=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) $m＞-\dfrac{1}{4}$且$m≠0$；
(2) $\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问容易遗漏二次项系数不为0的隐藏条件导致错解，第二问可灵活选择代入法或根与系数的关系简化计算，熟练掌握一元二次方程的相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）求解参数m的取值范围时，首先要满足一元二次方程的定义：二次项系数不能为0，即$m≠0$；其次方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式$\Delta＞0$，联立两个条件解不等式就能得到m的取值范围。
（2）已知方程的一个根为0，先将$x=0$代入原方程求出m的值，得到确定的一元二次方程后，既可以直接解方程求另一个根，也可以利用根与系数的关系快速计算出另一个根。
【解析】
(1) 由题意，方程是一元二次方程且有两个不相等的实数根，因此：
二次项系数$m≠0$，且判别式$\Delta=(2m-1)^2-4m(m-2)＞0$
展开计算判别式：
$\Delta=4m^2-4m+1-4m^2+8m=4m+1$
即$4m+1＞0$，解得$m＞-\dfrac{1}{4}$
综上，m的取值范围为$m＞-\dfrac{1}{4}$且$m≠0$。
(2) 把$x=0$代入原方程，得：
$m-2=0$，解得$m=2$
将$m=2$代入原方程，得$2x^2-3x=0$
设方程的另一个根为$t$，根据根与系数的关系，两根之和为$\dfrac{3}{2}$
因此$0+t=\dfrac{3}{2}$，解得$t=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) $m＞-\dfrac{1}{4}$且$m≠0$；
(2) $\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问容易遗漏二次项系数不为0的隐藏条件导致错解，第二问可灵活选择代入法或根与系数的关系简化计算，熟练掌握一元二次方程的相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
