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1. 学科特色设参法「2026山东济南期中」如图，已知点C是线段AB上一点，$AC:BC=3:1$，点E是AB的中点，点D是AC的中点。若$DE=2$，则线段AB的长为
16
。答案
1.答案 16
解析 设$BC=x$,因为$AC:BC=3:1$,所以$AC=3x$,
所以$AB=x+3x=4x$,
因为点 E 是 AB 的中点,点 D 是 AC 的中点,
所以 $AE=\frac{1}{2}AB=2x,AD=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}x$,
所以 $DE=AE-AD=2x-\frac{3}{2}x=\frac{1}{2}x$.
又因为 $DE=2$,所以 $\frac{1}{2}x=2$,解得 $x=4$.
所以 $AB=4x=4×4=16$.
解析 设$BC=x$,因为$AC:BC=3:1$,所以$AC=3x$,
所以$AB=x+3x=4x$,
因为点 E 是 AB 的中点,点 D 是 AC 的中点,
所以 $AE=\frac{1}{2}AB=2x,AD=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}x$,
所以 $DE=AE-AD=2x-\frac{3}{2}x=\frac{1}{2}x$.
又因为 $DE=2$,所以 $\frac{1}{2}x=2$,解得 $x=4$.
所以 $AB=4x=4×4=16$.
2.「2025云南昆明期末」如图，已知$∠ COB=2∠ AOC$，OD平分$∠ AOB$，且$∠ COD=19°$，求$∠ AOB$的度数.
答案
2.解析 设$∠ AOC=x$,则$∠ COB=2x$,
所以$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=3x$.
因为 OD 平分$∠ AOB$,
所以 $∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{3}{2}x$.
因为$∠ COD=19°$,所以$∠ AOD-∠ AOC=19°$,即$\frac{3}{2}x-x=19°$.解得 $x=38°$.
所以$∠ AOB=3x=114°$.
所以$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=3x$.
因为 OD 平分$∠ AOB$,
所以 $∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{3}{2}x$.
因为$∠ COD=19°$,所以$∠ AOD-∠ AOC=19°$,即$\frac{3}{2}x-x=19°$.解得 $x=38°$.
所以$∠ AOB=3x=114°$.
3. 学科
特色
分类讨论思想
「2026河北唐山期中」已知A,B,C为平面内任意三点,若满足线段AB=5,BC=3,则下列说法正确的是 (
A.线段AC的长度一定是8
B.线段AC的长度一定是2
C.线段AC的长度只有8和2两种可能
D.无法确定线段AC的长度
特色
分类讨论思想
「2026河北唐山期中」已知A,B,C为平面内任意三点,若满足线段AB=5,BC=3,则下列说法正确的是 (
D
)A.线段AC的长度一定是8
B.线段AC的长度一定是2
C.线段AC的长度只有8和2两种可能
D.无法确定线段AC的长度
答案
3.D 当A,B,C三点共线,点 C 在线段 AB 上时,$AC=AB-BC=2$.当A,B,C三点共线,点 C 在线段 AB 的延长线上时,$AC=AB+BC=8$.当A,B,C三点不共线时,有$AB-BC＜AC＜AB+BC$,即$2＜AC＜8$.所以线段 AC 的长度可能为2到8之间(包含2,8)的任意值,故无法确定线段AC的长度.故选 D.
4.已知$∠ AOB=100°$,过点$O$作射线$OC$,使$∠ AOC=20°$,$OM$是$∠ BOC$的平分线,则$∠ BOM$的度数为
40°或60°
.答案
4.答案 $40°$或$60°$
解析 如图1,当射线 OC 在$∠ AOB$内部时,
因为$∠ AOB=100°$,$∠ AOC=20°$,
所以$∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=80°$.
因为 OM 是$∠ BOC$的平分线,
所以$∠ BOM=\frac{1}{2}∠ BOC=40°$.
如图2,当射线 OC 在$∠ AOB$外部时,
因为$∠ AOB=100°$,$∠ AOC=20°$,
所以$∠ BOC=∠ AOB+∠ AOC=120°$.
因为 OM 是$∠ BOC$的平分线,
所以$∠ BOM=\frac{1}{2}∠ BOC=60°$.
综上所述,$∠ BOM=40°$或$60°$.
5. 学科特色 分类讨论思想「2026山东济南期中」如图,有公共端点P的两条线段MP,NP组成了一条折线M—P—N,若该折线M—P—N上一点Q把这条折线分成相等的两部分,我们把这个点Q称为这条折线的“折中点”.已知点D是折线A—C—B的“折中点”,点E为线段AC的中点,CD=3,CE=7,则线段BC的长为
8或20
.答案
5.答案 8 或 20
解析 如图1,当点 D 在线段 AC 上时,
因为点 E 为线段 AC 的中点,$CE=7$,
所以 $AC=2CE=14$.
因为 $CD=3$,所以 $AD=AC-CD=14-3=11$.
因为点 D 是折线 A—C—B 的“折中点”,
所以 $AD=CD+BC=11$,
所以 $BC=AD-CD=11-3=8$.
如图2,当点 D 在线段 BC 上时,
因为点 E 为线段 AC 的中点,$CE=7$,
所以 $AC=2CE=14$.
因为 $CD=3$,所以 $AC+CD=14+3=17$.
因为点 D 是折线 A—C—B 的“折中点”,
所以 $BD=AC+CD=17$,
所以 $BC=BD+CD=17+3=20$.
综上所述,$BC=8$ 或 20.
6.如图,已知点A,B在数轴上表示的数分别为-2和14,点C,D在线段AB上,且$CD=4$,点E,F分别是AC,BD的中点.
(1)若$AC=4$,求线段EF的长.
(2)当线段CD在线段AB上运动时,试判断EF的长度是否发生变化.如果不变,请求出EF的长;如果变化,请说明理由.
(1)若$AC=4$,求线段EF的长.
(2)当线段CD在线段AB上运动时,试判断EF的长度是否发生变化.如果不变,请求出EF的长;如果变化,请说明理由.
答案
6.解析 (1)因为点 A,B 在数轴上表示的数分别为-2和 14,所以 $AB=16$.
因为 $CD=4$,$AC=4$,所以 $BD=AB-CD-AC=8$.
因为点 E,F 分别是 AC,BD 的中点,
所以 $CE=\frac{1}{2}AC=2$,$DF=\frac{1}{2}BD=4$.
所以 $EF=CE+CD+DF=10$.
(2)不变.
因为 $AB=16$,$CD=4$,所以 $AC+BD=AB-CD=12$.
因为点 E,F 分别是 AC,BD 的中点,
所以 $CE=\frac{1}{2}AC$,$DF=\frac{1}{2}BD$.
所以 $CE+DF=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AC+BD)=6$,
所以 $EF=CE+CD+DF=10$.
因为 $CD=4$,$AC=4$,所以 $BD=AB-CD-AC=8$.
因为点 E,F 分别是 AC,BD 的中点,
所以 $CE=\frac{1}{2}AC=2$,$DF=\frac{1}{2}BD=4$.
所以 $EF=CE+CD+DF=10$.
(2)不变.
因为 $AB=16$,$CD=4$,所以 $AC+BD=AB-CD=12$.
因为点 E,F 分别是 AC,BD 的中点,
所以 $CE=\frac{1}{2}AC$,$DF=\frac{1}{2}BD$.
所以 $CE+DF=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AC+BD)=6$,
所以 $EF=CE+CD+DF=10$.
