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1.【新考法·阅读理解】[阅读材料]
利用整式的乘法运算法则推导得出$(ax+b)·(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$.我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得$acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)·(cx+d)$.通过观察可把$acx^2+(ad+bc)x+bd$看作以$x$为未知数，$a,b,c,d$为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数$ac$与常数项$bd$分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”（
），这种分解因式的方法称为十字相乘法.例如，将二次三项式$2x^2+11x+12$的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解（），则$2x^2+11x+12=(x+4)(2x+3)$.
根据材料解决下列问题：
[应用新知]
(1)用十字相乘法分解因式：
①$x^2+3x-10$；
②$5x^2-13x-6$；
③$2x^2+7x+3$；
④$3a^2+5a-8$.
(2)若$x^2+mx+3=(x+n)(x-3)$，则$m=$
[拓展提升]
(3)如果$x^2+mx+6=(x+p)(x+q)$，其中$m,p,q$均为整数，求$m$的值.
(4)结合本题知识，分解因式：$6(x+y)^2-7(x+y)-20$.
利用整式的乘法运算法则推导得出$(ax+b)·(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$.我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得$acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)·(cx+d)$.通过观察可把$acx^2+(ad+bc)x+bd$看作以$x$为未知数，$a,b,c,d$为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数$ac$与常数项$bd$分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”（
），这种分解因式的方法称为十字相乘法.例如，将二次三项式$2x^2+11x+12$的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解（），则$2x^2+11x+12=(x+4)(2x+3)$.根据材料解决下列问题：
[应用新知]
(1)用十字相乘法分解因式：
①$x^2+3x-10$；
②$5x^2-13x-6$；
③$2x^2+7x+3$；
④$3a^2+5a-8$.
(2)若$x^2+mx+3=(x+n)(x-3)$，则$m=$
-4
，$n=$-1
.[拓展提升]
(3)如果$x^2+mx+6=(x+p)(x+q)$，其中$m,p,q$均为整数，求$m$的值.
(4)结合本题知识，分解因式：$6(x+y)^2-7(x+y)-20$.
答案
(1)①$(x+5)(x-2)$
②$(x-3)(5x+2)$
③$(2x+1)(x+3)$
④$(3a+8)(a-1)$
(2)$-4$，$-1$
(3)$5$或$-5$或$7$或$-7$
(4)$(2x+2y-5)(3x+3y+4)$
②$(x-3)(5x+2)$
③$(2x+1)(x+3)$
④$(3a+8)(a-1)$
(2)$-4$，$-1$
(3)$5$或$-5$或$7$或$-7$
(4)$(2x+2y-5)(3x+3y+4)$
解析
【分析】
解题时首先明确十字相乘法的规则：将二次三项式$acx^2+(ad+bc)x+bd$的二次项系数拆为$a、c$（竖直排列），常数项拆为$b、d$（竖直排列），交叉相乘求和得$ad+bc$，若结果等于一次项系数，即可分解为$(ax+b)(cx+d)$。解题思路如下：
1. 基础分解题：先拆分二次项系数和常数项，反复尝试交叉相乘的和，直到等于一次项系数即可写出分解结果；
2. 含参数的等式题：将右侧整式乘法展开，对应同类项系数相等，列方程求解参数；
3. 整数解问题：先列出常数项所有整数因数对，再分别计算每组因数的和，即为$m$的可能值；
4. 换元分解题：将重复出现的$(x+y)$看作一个整体，转化为普通二次三项式分解后，再回代还原即可。
【解析】
(1) 用十字相乘法分解：
① $x^2+3x-10$：二次项系数1拆为$1×1$，常数项$-10$拆为$5×(-2)$，交叉相乘得$1×(-2)+1×5=3$，等于一次项系数，因此$x^2+3x-10=(x+5)(x-2)$；
② $5x^2-13x-6$：二次项系数5拆为$1×5$，常数项$-6$拆为$(-3)×2$，交叉相乘得$1×2 +5×(-3)=-13$，等于一次项系数，因此$5x^2-13x-6=(x-3)(5x+2)$；
③ $2x^2+7x+3$：二次项系数2拆为$2×1$，常数项3拆为$1×3$，交叉相乘得$2×3 +1×1=7$，等于一次项系数，因此$2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)$；
④ $3a^2+5a-8$：二次项系数3拆为$3×1$，常数项$-8$拆为$8×(-1)$，交叉相乘得$3×(-1)+1×8=5$，等于一次项系数，因此$3a^2+5a-8=(3a+8)(a-1)$；
(2) 先将右侧展开：$(x+n)(x-3)=x^2+(n-3)x-3n$，与左侧$x^2+mx+3$对应同类项系数相等：
常数项：$-3n=3$，解得$n=-1$；
一次项系数：$m=n-3=-1-3=-4$；
(3) 由题意得$pq=6$，$m=p+q$，$p、q$为整数，6的整数因数对有：$\begin{cases}p=1,q=6\\p=-1,q=-6\\p=2,q=3\\p=-2,q=-3\end{cases}$，对应$m$的值为：$1+6=7$，$-1+(-6)=-7$，$2+3=5$，$-2+(-3)=-5$，因此$m$的值为$\pm5$或$\pm7$；
(4) 令$t=x+y$，则原式变为$6t^2-7t-20$，十字相乘：二次项系数6拆为$2×3$，常数项$-20$拆为$(-5)×4$，交叉相乘得$2×4 +3×(-5)=-7$，等于一次项系数，因此$6t^2-7t-20=(2t-5)(3t+4)$，将$t=x+y$代回得：原式$=(2(x+y)-5)(3(x+y)+4)=(2x+2y-5)(3x+3y+4)$。
【答案】
(1)①$(x+5)(x-2)$；②$(x-3)(5x+2)$；③$(2x+1)(x+3)$；④$(3a+8)(a-1)$
(2)$-4$，$-1$
(3)$5$或$-5$或$7$或$-7$
(4)$(2x+2y-5)(3x+3y+4)$
【知识点】
十字相乘法因式分解，因式分解与整式乘法，换元法因式分解
【点评】
本题围绕十字相乘法因式分解设置梯度习题，既考察对十字相乘“交叉凑中项”规则的基础应用，也考察参数求解、整数解讨论、换元法等延伸能力，解题时要注意常数项的符号拆分，整体换元时最后要回代还原为原式的形式。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确十字相乘法的规则：将二次三项式$acx^2+(ad+bc)x+bd$的二次项系数拆为$a、c$（竖直排列），常数项拆为$b、d$（竖直排列），交叉相乘求和得$ad+bc$，若结果等于一次项系数，即可分解为$(ax+b)(cx+d)$。解题思路如下：
1. 基础分解题：先拆分二次项系数和常数项，反复尝试交叉相乘的和，直到等于一次项系数即可写出分解结果；
2. 含参数的等式题：将右侧整式乘法展开，对应同类项系数相等，列方程求解参数；
3. 整数解问题：先列出常数项所有整数因数对，再分别计算每组因数的和，即为$m$的可能值；
4. 换元分解题：将重复出现的$(x+y)$看作一个整体，转化为普通二次三项式分解后，再回代还原即可。
【解析】
(1) 用十字相乘法分解：
① $x^2+3x-10$：二次项系数1拆为$1×1$，常数项$-10$拆为$5×(-2)$，交叉相乘得$1×(-2)+1×5=3$，等于一次项系数，因此$x^2+3x-10=(x+5)(x-2)$；
② $5x^2-13x-6$：二次项系数5拆为$1×5$，常数项$-6$拆为$(-3)×2$，交叉相乘得$1×2 +5×(-3)=-13$，等于一次项系数，因此$5x^2-13x-6=(x-3)(5x+2)$；
③ $2x^2+7x+3$：二次项系数2拆为$2×1$，常数项3拆为$1×3$，交叉相乘得$2×3 +1×1=7$，等于一次项系数，因此$2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)$；
④ $3a^2+5a-8$：二次项系数3拆为$3×1$，常数项$-8$拆为$8×(-1)$，交叉相乘得$3×(-1)+1×8=5$，等于一次项系数，因此$3a^2+5a-8=(3a+8)(a-1)$；
(2) 先将右侧展开：$(x+n)(x-3)=x^2+(n-3)x-3n$，与左侧$x^2+mx+3$对应同类项系数相等：
常数项：$-3n=3$，解得$n=-1$；
一次项系数：$m=n-3=-1-3=-4$；
(3) 由题意得$pq=6$，$m=p+q$，$p、q$为整数，6的整数因数对有：$\begin{cases}p=1,q=6\\p=-1,q=-6\\p=2,q=3\\p=-2,q=-3\end{cases}$，对应$m$的值为：$1+6=7$，$-1+(-6)=-7$，$2+3=5$，$-2+(-3)=-5$，因此$m$的值为$\pm5$或$\pm7$；
(4) 令$t=x+y$，则原式变为$6t^2-7t-20$，十字相乘：二次项系数6拆为$2×3$，常数项$-20$拆为$(-5)×4$，交叉相乘得$2×4 +3×(-5)=-7$，等于一次项系数，因此$6t^2-7t-20=(2t-5)(3t+4)$，将$t=x+y$代回得：原式$=(2(x+y)-5)(3(x+y)+4)=(2x+2y-5)(3x+3y+4)$。
【答案】
(1)①$(x+5)(x-2)$；②$(x-3)(5x+2)$；③$(2x+1)(x+3)$；④$(3a+8)(a-1)$
(2)$-4$，$-1$
(3)$5$或$-5$或$7$或$-7$
(4)$(2x+2y-5)(3x+3y+4)$
【知识点】
十字相乘法因式分解，因式分解与整式乘法，换元法因式分解
【点评】
本题围绕十字相乘法因式分解设置梯度习题，既考察对十字相乘“交叉凑中项”规则的基础应用，也考察参数求解、整数解讨论、换元法等延伸能力，解题时要注意常数项的符号拆分，整体换元时最后要回代还原为原式的形式。
【难度系数】
0.7
2.【新考法·过程性学习】阅读:关于$x,y$的二次六项式$x^2 +5xy -24y^2 -x +25y -6$如果可以分解成两个关于$x,y$的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示，先对$x^2 +5xy -24y^2$进行十字相乘分解，得$(x+8y)(x-3y)$，则原式一定可以分解成$(x+8y+a)(x-3y +b)$的形式，然后分别对$x^2 -x -6$与$-24y^2 +25y -6$进行十字相乘分解，从而确定$a=-3$，$b=2$，所以$x^2 +5xy -24y^2 -x +25y -6=(x+8y-3)(x-3y+2)$。
根据材料，解决下列问题：
(1)因式分解:$x^2 +xy -2y^2 +x +14y -20$；
(2)若关于$x,y$的多项式$x^2 +2xy +ky^2 -2x +10y -3$可以分解成两个关于$x,y$的一次三项式的乘积，求$k$的值。
根据材料，解决下列问题：
(1)因式分解:$x^2 +xy -2y^2 +x +14y -20$；
(2)若关于$x,y$的多项式$x^2 +2xy +ky^2 -2x +10y -3$可以分解成两个关于$x,y$的一次三项式的乘积，求$k$的值。
答案
(1)$(x-y+5)(x+2y-4)$
(2)$-8$
(2)$-8$
解析
【分析】
（1）使用双十字相乘法解题，第一步先分解含x、y的二次项部分$x^2+xy-2y^2$，得到两个含x、y的一次式；第二步再拆分常数项，调整常数项的取值，使得交叉相乘后相加的结果分别等于x的一次项系数、y的一次项系数即可。
（2）先根据x的二次项系数和常数项，确定两个一次三项式的x项系数和常数项，再结合xy项、y的一次项系数求出两个一次式中y项的系数，最终y²项的系数即为k的值。
【解析】
（1）第一步：分解二次项$x^2+xy-2y^2$，通过十字相乘可得$x^2+xy-2y^2=(x-y)(x+2y)$。
设原式可分解为$(x-y+m)(x+2y+n)$，展开得：
$x^2+xy-2y^2+(m+n)x+(2m-n)y+mn$
对比原式$x^2+xy-2y^2+x+14y-20$的系数，可得方程组：
$\begin{cases}m+n=1\\2m-n=14\\mn=-20\end{cases}$
将前两个方程相加得$3m=15$，解得$m=5$，代入$m+n=1$得$n=-4$，验证$mn=5×(-4)=-20$，符合要求。
因此$x^2+xy-2y^2+x+14y-20=(x-y+5)(x+2y-4)$。
（2）已知多项式x的二次项系数为1，常数项为-3，x的一次项系数为-2，设分解后的两个一次三项式为$(x+ay+m)(x+by+n)$。
根据x的一次项系数和常数项可得：$\begin{cases}m+n=-2\\mn=-3\end{cases}$，解得$m=-3，n=1$。
结合xy项系数为2，y的一次项系数为10，可得：
$\begin{cases}a+b=2\\a×1 + b×(-3)=10\end{cases}$
将$a=2-b$代入第二个方程得$2-b-3b=10$，解得$b=-2$，则$a=2-(-2)=4$。
因此y²项的系数$k=ab=4×(-2)=-8$。
【答案】
(1)$(x-y+5)(x+2y-4)$
(2)$-8$
【知识点】
十字相乘法因式分解；双十字相乘法；多项式乘多项式
【点评】
本题属于材料阅读类题型，考查对新方法的理解和应用能力，解题核心是明确双十字相乘法的规则，保证交叉相乘后所得的各项系数与原式对应系数相等，计算时注意系数的符号，避免出错。
【难度系数】
0.6
（1）使用双十字相乘法解题，第一步先分解含x、y的二次项部分$x^2+xy-2y^2$，得到两个含x、y的一次式；第二步再拆分常数项，调整常数项的取值，使得交叉相乘后相加的结果分别等于x的一次项系数、y的一次项系数即可。
（2）先根据x的二次项系数和常数项，确定两个一次三项式的x项系数和常数项，再结合xy项、y的一次项系数求出两个一次式中y项的系数，最终y²项的系数即为k的值。
【解析】
（1）第一步：分解二次项$x^2+xy-2y^2$，通过十字相乘可得$x^2+xy-2y^2=(x-y)(x+2y)$。
设原式可分解为$(x-y+m)(x+2y+n)$，展开得：
$x^2+xy-2y^2+(m+n)x+(2m-n)y+mn$
对比原式$x^2+xy-2y^2+x+14y-20$的系数，可得方程组：
$\begin{cases}m+n=1\\2m-n=14\\mn=-20\end{cases}$
将前两个方程相加得$3m=15$，解得$m=5$，代入$m+n=1$得$n=-4$，验证$mn=5×(-4)=-20$，符合要求。
因此$x^2+xy-2y^2+x+14y-20=(x-y+5)(x+2y-4)$。
（2）已知多项式x的二次项系数为1，常数项为-3，x的一次项系数为-2，设分解后的两个一次三项式为$(x+ay+m)(x+by+n)$。
根据x的一次项系数和常数项可得：$\begin{cases}m+n=-2\\mn=-3\end{cases}$，解得$m=-3，n=1$。
结合xy项系数为2，y的一次项系数为10，可得：
$\begin{cases}a+b=2\\a×1 + b×(-3)=10\end{cases}$
将$a=2-b$代入第二个方程得$2-b-3b=10$，解得$b=-2$，则$a=2-(-2)=4$。
因此y²项的系数$k=ab=4×(-2)=-8$。
【答案】
(1)$(x-y+5)(x+2y-4)$
(2)$-8$
【知识点】
十字相乘法因式分解；双十字相乘法；多项式乘多项式
【点评】
本题属于材料阅读类题型，考查对新方法的理解和应用能力，解题核心是明确双十字相乘法的规则，保证交叉相乘后所得的各项系数与原式对应系数相等，计算时注意系数的符号，避免出错。
【难度系数】
0.6
