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10. 一次函数 $ y = kx + b $ 的图象如图所示，则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + bx + k - 1 = 0 $ 的根的情况是（
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
C
）A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案
10.C
11.(新定义)对于实数a,b定义新运算:a※b=ab²−b.若关于x的方程2※x=k有两个相等的实数根,则k的值为
$-\frac{1}{8}$
.答案
11. $-\frac{1}{8}$
12.(原创题)如图,点A在数轴的负半轴上,点B在数轴的正半轴上,且点A对应的数是$2x-1$,点B对应的数是$x^2+x$,已知$AB=5$,则x的值为
$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
.(点拨:x的值要满足$2x-1＜0.$)答案
12. $\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
13. 用公式法解下列方程：
(1)$x(x+2\sqrt{3})+2=0$；
(2)$(2x-3)^2=x(x-7)+7$。
(1)$x(x+2\sqrt{3})+2=0$；
(2)$(2x-3)^2=x(x-7)+7$。
答案
13. (1)解:原方程可化为$x^2+2\sqrt{3}x+2=0$.$\because a=1,b=2\sqrt{3},c=2,\therefore\Delta=b^2-4ac=(2\sqrt{3})^2-4×1×2=4＞0$.$\therefore$方程有两个不相等的实数根.
$\therefore x=\frac{-2\sqrt{3}\pm4}{2}=\frac{-2\sqrt{3}\pm2}{2}$.$\therefore x_1=-\sqrt{3}+1,x_2=-\sqrt{3}-1$.
(2)解:原方程可化为$3x^2-5x+2=0$,$\because a=3,b=-5,c=2,\therefore\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×3×2=1＞0$,$\therefore$方程有两个不相等的实数根.$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2×3}=\frac{5\pm1}{6}$,即$x_1=1,x_2=\frac{2}{3}$.
$\therefore x=\frac{-2\sqrt{3}\pm4}{2}=\frac{-2\sqrt{3}\pm2}{2}$.$\therefore x_1=-\sqrt{3}+1,x_2=-\sqrt{3}-1$.
(2)解:原方程可化为$3x^2-5x+2=0$,$\because a=3,b=-5,c=2,\therefore\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×3×2=1＞0$,$\therefore$方程有两个不相等的实数根.$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2×3}=\frac{5\pm1}{6}$,即$x_1=1,x_2=\frac{2}{3}$.
14.已知方程$x^2 - 2(k+1)x + k^2 -2k -3=0$有两个不相等的实数根，其中一根为0.
(1)求$k$的值；
(2)求方程的另一根.
(1)求$k$的值；
(2)求方程的另一根.
答案
14. (1)解:$\because$原方程有一个根为0,$\therefore$把$x=0$代入原方程中,得$k^2-2k-3=0$,解得$k_1=3,k_2=-1$.$\because$原方程有两个不相等的实数根,$\therefore\Delta=[-2(k+1)]^2-4(k^2-2k-3)＞0$,解得$k＞-1$,$\therefore k=3$.
(2)当$k=3$时,原方程化为$x^2-8x=0$,解得$x_1=0,x_2=8$,$\therefore$方程的另一根为8.
(2)当$k=3$时,原方程化为$x^2-8x=0$,解得$x_1=0,x_2=8$,$\therefore$方程的另一根为8.
15.（核心素养·推理能力）已知关于$ x $的一元二次方程$(2a + c)x^2 + 4bx + 2a - c = 0$，其中$ a,b,c $分别为$△ ABC$三边的长.
（1）如果$ x = -1 $是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
（2）如果$△ ABC$是等边三角形，试用公式法求这个一元二次方程的根.
（1）如果$ x = -1 $是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
（2）如果$△ ABC$是等边三角形，试用公式法求这个一元二次方程的根.
答案
15. (1)解:$△ ABC$是等腰三角形.理由如下:把$x=-1$代入原方程,得$2a+c-4b+2a-c=0$,$\therefore4a-4b=0$,$\therefore a=b$,$\therefore△ ABC$是等腰三角形.
(2)当$△ ABC$是等边三角形时,$a=b=c$,$\therefore$原方程可化为$(2a+a)x^2+4ax+2a-a=0$,$\therefore3ax^2+4ax+a=0$.又$\because a＞0$,$\therefore3x^2+4x+1=0$,$\therefore\Delta=4^2-4×3×1=4＞0$,$\therefore x=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{2×3}=\frac{-2\pm1}{3}$.即$x_1=-1$,$x_2=-\frac{1}{3}$.
(2)当$△ ABC$是等边三角形时,$a=b=c$,$\therefore$原方程可化为$(2a+a)x^2+4ax+2a-a=0$,$\therefore3ax^2+4ax+a=0$.又$\because a＞0$,$\therefore3x^2+4x+1=0$,$\therefore\Delta=4^2-4×3×1=4＞0$,$\therefore x=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{2×3}=\frac{-2\pm1}{3}$.即$x_1=-1$,$x_2=-\frac{1}{3}$.
