例1 下列投影中是正投影的是。

【思路导析】投影线垂直于投影面产生的投影叫正投影。
【请你解答】。

③④⑤⑥

【分析】
解题时首先要明确正投影的判断标准：投影线垂直于投影面产生的投影才是正投影。接下来逐一观察6个投影图，判断投影线和投影面的位置关系：若投影线与投影面倾斜，就不属于正投影；若投影线与投影面垂直，就属于正投影，按照这个标准筛选即可得到结果。
【解析】
根据正投影的定义：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
对各图逐一判断：
1. 图①、图②的投影线为倾斜方向，与投影面不垂直，不属于正投影；
2. 图③、图④、图⑤、图⑥的投影线均与投影面垂直，符合正投影的定义，属于正投影。
【答案】
③④⑤⑥
【知识点】
正投影的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，解题核心是抓住正投影“投影线垂直于投影面”的判定特征，不要被投影物体的形状干扰，只要满足投影线和投影面垂直的条件，就属于正投影。
【难度系数】
0.8

例2 如图，箭头表示投影线的方向，则图中圆柱体的正投影是（）

A.圆
B.圆柱
C.菱形
D.矩形
【思路导析】找出平行于投影面的圆柱的最大截面.
【请你解答】.

互动探究 探究解题规律 总结方法技巧

D

【分析】
解题时先明确正投影的相关规则：正投影属于平行投影，投影线垂直于投影面，投影的形状由投影线方向、几何体的结构共同决定。首先观察本题投影线是水平指向竖直放置的圆柱侧面，此时圆柱的上下圆形底面与投影线平行，侧面的母线与投影面平行，结合这些特征就能推导出最终的投影形状。
【解析】
结合正投影的特征逐步分析：
1. 本题投影线水平朝向竖直放置的圆柱，圆柱的两个圆形底面与投影线平行，因此它们的正投影是两条长度等于圆柱底面直径的水平线段；
2. 圆柱侧面的竖直母线与投影面平行，其投影长度等于圆柱的高，对应两条竖直线段；
3. 上述四条线段首尾相连构成矩形。
选项A是圆柱沿上下方向投影的结果，不符合本题投影方向；选项B是立体图形，正投影为平面图形，直接排除；选项C菱形不符合投影特征，因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
正投影的性质、圆柱的正投影
【点评】
本题考查常见几何体的正投影判断，解题核心是结合投影线方向，分析几何体各部分的投影形态，熟练掌握基础几何体的投影规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8

例3 画出下列图形在平面上的正投影。

【探究点拨】图①中长方体平行于投影面，它的正投影就是长方体的上表面ABCD在平面上的投影；图②中矩形的正投影可以看作四条线段AB，BC，CD，DA在投影面上的正投影。
【规范解答】画图如下：

解：
1. 绘制图①中长方体的正投影：
分别沿垂直于投影面P的投影方向，过点A、B、C、D作投影面P的垂线，得到垂足A'、B'、C'、D'，顺次连接这四个垂足，得到与长方体上表面ABCD全等的矩形A'B'C'D'，该矩形即为长方体在平面P上的正投影。
2. 绘制图②中矩形ABCD的正投影：
分别沿垂直于投影面P的投影方向，过点A、B、C、D作投影面P的垂线，得到垂足A'、B'、C'、D'，顺次连接这四个垂足，得到平行四边形A'B'C'D'，该平行四边形即为矩形ABCD在平面P上的正投影。

【分析】
解答本题需紧扣正投影的核心特征：正投影的投影线垂直于投影面。作图的通用思路为“先确定顶点投影，再顺次连接投影点”：首先找到原图形的所有顶点，过每个顶点作投影面的垂线，垂足就是该顶点的正投影，最后按照原图形的顶点连接顺序连接各投影点，即可得到完整的正投影。针对两个图形的特征分类处理：图①中长方体平行于投影面，它的正投影和上表面ABCD形状、大小完全一致；图②中矩形倾斜于投影面，正投影为和原矩形类似的平行四边形，按上述步骤操作即可完成作图。
【解析】
1. 绘制图①中长方体的正投影：
分别沿垂直于投影面P的投影方向，过点A、B、C、D作投影面P的垂线，得到垂足A'、B'、C'、D'，顺次连接这四个垂足，得到与长方体上表面ABCD全等的矩形A'B'C'D'，该矩形即为长方体在平面P上的正投影。
2. 绘制图②中矩形ABCD的正投影：
分别沿垂直于投影面P的投影方向，过点A、B、C、D作投影面P的垂线，得到垂足A'、B'、C'、D'，顺次连接这四个垂足，得到平行四边形A'B'C'D'，该平行四边形即为矩形ABCD在平面P上的正投影。
【答案】
①长方体的正投影为与上表面ABCD全等的矩形A'B'C'D'；②矩形ABCD的正投影为平行四边形A'B'C'D'，作图步骤见解析。
【知识点】
正投影的定义；正投影作图；正投影的性质
【点评】
本题是正投影的基础作图题，核心考察对正投影特征的理解，掌握“作顶点垂线找投影、按顺序连线”的通用方法即可解题，同时要注意平面图形与投影面的位置关系会直接影响正投影的形状。
【难度系数】
0.8

1.一根笔直的小木棒(记为线段AB)的正投影为线段CD,比较AB和CD的长短,下列描述一定正确的是()

A.$AB=CD$
B.$AB≤ CD$
C.$AB＞CD$
D.$AB≥ CD$

D

【分析】
要解决这道题，需结合线段正投影的性质，分情况讨论线段AB与投影面的位置关系，再归纳AB和CD的长度关系：首先回忆线段正投影的三种摆放情况，分别判断每种情况对应的投影长度和原线段长度的大小，再汇总所有情况的结论就能选出正确选项。
【解析】
根据正投影的性质，分三种情况讨论线段AB的投影长度：
1. 当线段AB平行于投影面时，正投影CD的长度与AB相等，即$ AB=CD $；
2. 当线段AB倾斜于投影面时，正投影CD的长度小于AB的长度，即$ AB＞CD $；
3. 当线段AB垂直于投影面时，正投影CD是一个点，长度为0，显然$ AB＞CD $。
综合以上所有情况，可得$ AB≥ CD $，因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
正投影的性质
【点评】
本题考查正投影相关知识，解题关键是全面考虑线段与投影面的不同位置关系对应的投影特征，避免因遗漏情况误选其他选项。
【难度系数】
0.8

2.如图,正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P,上底面ADEF垂直于投影面P,并且上底面的对角线AE垂直于投影面P,下列说法正确的个数为()

①正方体中面ABCD在平面P中的正投影是矩形$A'B'C'D'$;
②正方体中面ABGF在平面P中的投影是矩形$A'B'G'F'$;
③正方体中面EFGH在平面P中的正投影是$A'F'G'B'$;
④正方体中面DEHC在平面P中的正投影是$A'F'G'B'$.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

【分析】
解决本题首先要明确正投影的定义：投影线垂直于投影面的平行投影是正投影，其性质为：垂直于投影面的线段的正投影是点，垂直于投影面的平面的正投影是线段，倾斜于投影面的平面的正投影是与原平面类似的平面图形。结合题中AE垂直于投影面P的条件，可知AE上所有点的正投影都与A的投影重合，再逐一找到4个面各顶点的投影，对应判断投影图形即可。
【解析】
我们逐一对4个说法判断：
① 面ABCD倾斜于投影面P，它的四个顶点A、B、C、D的正投影分别对应$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，投影后对边平行且相等、内角均为直角，因此正投影是矩形$A'B'C'D'$，①正确；
② 面ABGF的四个顶点A、B、G、F的正投影分别对应$A'$、$B'$、$G'$、$F'$，投影后构成矩形$A'B'G'F'$，②正确；
③ 面EFGH中，E垂直于投影面P的投影与A的投影重合为$A'$，F、G、H的正投影分别对应$F'$、$G'$、$B'$，因此它的正投影是四边形$A'F'G'B'$，③正确；
④ 面DEHC中，D的投影为$D'$，E的投影为$A'$，H的投影为$B'$，C的投影为$C'$，因此它的正投影是四边形$A'D'C'B'$，不是$A'F'G'B'$，④错误。
综上，正确的说法有3个。
【答案】
C
【知识点】
正投影的性质，立体图形的投影，正方体的特征
【点评】
本题重点考查正投影性质的实际应用，解题的核心是找准几何体各顶点在投影面上的对应投影，尤其注意垂直于投影面的线段上所有点的投影重合这一规律，易错点是混淆不同面顶点的对应投影导致判断错误。
【难度系数】
0.7