1. （青海中考）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连结起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现:
如图①,若$△ ABC$和$△ ADE$是顶角相等的等腰三角形,BC,DE分别是底边.求证:$BD=CE$;
(2)解决问题:
如图②,若$△ ACB$和$△ DCE$均为等腰直角三角形,$∠ ACB=∠ DCE=90°$,点A,D,E在同一条直线上,CM为$△ DCE$中DE边上的高,连结BE,请判断$∠ AEB$的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系并说明理由.

(1)
∵ △ABC 和 △ADE 是顶角相等的等腰三角形,BC,DE分别是底边,
∴ AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE,
∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
∴ △ABD≌△ACE(SAS),
∴ BD=CE.
(2)∠AEB=90°,AE=BE+2CM,理由如下:
∵ △ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形,
∴ AC=BC,DC=EC,∠ACB=90°=∠DCE,
∴ ∠ACD=∠BCE,
∴ △ACD≌△BCE(SAS),
∴ AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵ △CDE 是等腰直角三角形,
∴ ∠CDE=∠CED=45°,
∴ ∠ADC=180°-∠CDE=135°,
∴ ∠BEC=∠ADC=135°,
∴ ∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°.
∵ CD=CE,CM⊥DE,
∴ DM=ME.
∵ ∠DCE=90°,
∴ DM=ME=CM,
∴ DE=2CM,
∴ AE=AD+DE=BE+2CM.

2. （2026·金华期中）如图，$△ ABC$与$△ AED$均为等腰三角形，$AB=AC$，$AE=AD$，$∠ EAD=∠ BAC$，$D$为线段$BC$上一个动点，$AB$与$DE$相交于点$G$。
(1)求证:$EB=DC$；
(2)求证:$∠ BAD=∠ BED$；
(3)若$AE⊥ AC$，且$∠ BAD=2∠ BDE$，$BD=4$，求$△ BDE$的面积。

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(1)
∵ ∠EAD=∠BAC,
∴ ∠EAB=∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD=∠DAC. 在△EAB 和 △DAC 中, $\begin{cases} AE=AD, \\ ∠EAB=∠DAC, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴ △EAB≌△DAC(SAS),
∴ EB=DC.
(2)由(1)知,△EAB≌△DAC,
∴ ∠ABE=∠C.
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC=∠C,
∴ ∠ABE=∠ABC.
∵ AB=AC,AE=AD,∠EAD=∠BAC,
∴ ∠ADE=∠ABC,
∴ ∠ABE=∠ADG. 又
∵ ∠EGB=∠AGD,
∴ ∠BAD=∠BED.
(3)如图,作 EP ⊥ DB 交 DB 的延长线于点 P,在 EP 延长线上截取 PS=PE,连结 DS,交 EB 的延长线于点 H.
∵ AB=AC,AE=AD,
∴ ∠ABC=∠ACB,∠AED=∠ADE,
∴ 2∠C+∠BAC=180°,2∠ADE+∠DAE=180°.
∵ ∠EAD=∠BAC,
∴ ∠C=∠ADE. 又
∵ ∠ADE+∠BDE=∠ADB=∠CAD+∠C,
∴ ∠BDE=∠CAD.设∠BDE=α,则∠EAB=∠CAD=α,
∵ ∠BAD=2∠BDE,
∴ ∠BAD=2α.
∵ AE⊥AC,
∴ ∠EAC=90°,
∴ α+2α+α=90°,
∴ α=22.5°.由(2)知,∠BAD=∠BED,
∴ ∠BED=22.5°×2=45°.
∵ DP⊥ES,
∴ ∠DPE=∠DPS=90°.在△DPE 和 △DPS 中, $\begin{cases} PE=PS, \\ ∠DPE=∠DPS, \\ DP=DP, \end{cases}$(SAS),
∴ ∠PDE=∠PDS,
∴ ∠EDS=2∠PDE=22.5°×2=45°,
∴ ∠EDH=∠DEH,∠EHD=180°-45°-45°=90°,
∴ EH=DH,∠SEH=90°-∠EBP=90°-∠DBH=∠BDH,∠EHS=180°-90°=90°. 在 △EHS 和 △DHB 中, $\begin{cases} ∠EHS=∠DHB=90°, \\ EH=DH, \\ ∠SEH=∠BDH, \end{cases}$
∴ △EHS≌△DHB(ASA),
∴ ES=DB.
∵ PS=PE,BD=4,
∴ EP=2,
∴ $S_{△BDE}=\frac{1}{2}×BD×EP=\frac{1}{2}×4×2=4$.