1. 如图,在长方形ABCD中,AB=6,BC=3.
(1)如图①,点E是AB的中点,若点P,Q分别是边BC,CD上的动点,求四边形AEPQ周长的最小值;
(2)如图②,若点P,Q分别是AB,CD上的动点,求AQ+QP+PC的最小值.

1.(1) 作出点A关于CD的对称点A',作出点E关于BC的对称点E',连结A'E',分别交CD,BC于点Q,P.
∴AQ=A'Q,EP=E'P,
∴四边形AEPQ的周长=A'Q+PQ+E'P+AE=A'E'+AE,此时周长最小.
∵AB=6,BC=3,点E是AB的中点,
∴AD=3,AE=BE=3.
∴AD=A'D=3,AE=BE=BE'=3.
∵AA'=6,AE'=9,
∴$A'E' = √(AA'^2+AE'^2) = √(6^2+9^2) = √117,$
∴四边形AEPQ周长的最小值为√117+3.

(2) 作出点A关于CD的对称点A',作出点C关于AB的对称点C',连结A'C',分别交CD,AB于点Q,P,过点A'作A'E⊥BC,与BC的延长线交于点E,则四边形A'DCE为长方形,
∴AQ=A'Q,CP=C'P,
∴AQ+QP+PC=A'Q+PQ+C'P=A'C',此时AQ+QP+PC最小.
∵AB=6,BC=3,
∴AD=3,A'E=CD=AB=6.
∵AD=A'D=CE=3,BC=BC'=3,
∴C'E=9,
∴$A'C' = √(A'E^2+C'E^2) = √(6^2+9^2) = √117,$
∴AQ+QP+PC的最小值为√117.

2. 如图,已知$∠ AOB=20°$,点$M,N$分别为$OA,OB$上的点,$OM=ON=4$,点$P,Q$分别为$OA,OB$上的动点,求$MQ+PQ+PN$的最小值,并说明此时$∠ QPN$的度数.

作点M关于OB的对称点M',点N关于OA的对称点N',连结M'N'交OA于点P',交OB于点Q',连结PN',QM',P'N,OM',ON',则MQ=M'Q,PN=PN',
∴MQ+PQ+PN=M'Q+PQ+PN'≥M'N',
∴MQ+PQ+PN的最小值为M'N'的长.
∵OM=OM',ON=ON',MM'⊥OB,NN'⊥OA,∠M'OB=∠AOB=20°,∠N'OA=∠AOB=20°,
∴∠M'ON' = 60°,
∴△M'ON'为等边三角形,
∴M'N'=OM'=4,即MQ+PQ+PN的值最小为4.当MQ+PQ+PN取得最小值时,∠QPN=∠Q'P'N,由作图知∠NP'N' = 2∠AP'N' = 2(∠AON'+∠ON'P') = 2×(20°+60°) = 160°,
∴∠Q'P'N=180°-∠NP'N' = 180°-160° = 20°.