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9. 细心的小明发现家中的白酒瓶上标有“500 mL，52 % vol”字样。他通过查阅资料了解到：vol 是表示酒精度数的单位，表示酒精体积与白酒总体积的百分比。即“52 % vol”表示 100 mL 白酒中，含有52 mL 的酒精。求：($\rho_{酒精}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$，$\rho_{水}=1\ \mathrm{g/cm}^3$ 不考虑液体体积随温度的变化，不考虑白酒中除水和酒精外的其他物质，不计酒精和水混合后体积的变化)
(1)这瓶白酒中酒精的质量。
(2)这瓶白酒中水的质量。
(3)这瓶白酒的密度。
(1)这瓶白酒中酒精的质量。
(2)这瓶白酒中水的质量。
(3)这瓶白酒的密度。
答案
解：
(1) 白酒的总体积$V=500\ \mathrm{mL}=500\ \mathrm{cm}^3$
白酒中酒精的体积：
$V_{\mathrm{酒精}}=V×52\%=500\ \mathrm{cm}^3×52\%=260\ \mathrm{cm}^3$
由$\rho=\dfrac{m}{V}$得，酒精的质量：
$m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}V_{\mathrm{酒精}}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3×260\ \mathrm{cm}^3=208\ \mathrm{g}$
(2) 白酒中水的体积：
$V_{\mathrm{水}}=V-V_{\mathrm{酒精}}=500\ \mathrm{cm}^3-260\ \mathrm{cm}^3=240\ \mathrm{cm}^3$
水的质量：
$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3×240\ \mathrm{cm}^3=240\ \mathrm{g}$
(3) 这瓶白酒的总质量：
$m_{\mathrm{总}}=m_{\mathrm{酒精}}+m_{\mathrm{水}}=208\ \mathrm{g}+240\ \mathrm{g}=448\ \mathrm{g}$
白酒的密度：
$\rho=\dfrac{m_{\mathrm{总}}}{V}=\dfrac{448\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=0.896\ \mathrm{g/cm}^3$
答：(1)这瓶白酒中酒精的质量为208g；(2)这瓶白酒中水的质量为240g；(3)这瓶白酒的密度为$0.896\ \mathrm{g/cm}^3$。
(1) 白酒的总体积$V=500\ \mathrm{mL}=500\ \mathrm{cm}^3$
白酒中酒精的体积：
$V_{\mathrm{酒精}}=V×52\%=500\ \mathrm{cm}^3×52\%=260\ \mathrm{cm}^3$
由$\rho=\dfrac{m}{V}$得，酒精的质量：
$m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}V_{\mathrm{酒精}}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3×260\ \mathrm{cm}^3=208\ \mathrm{g}$
(2) 白酒中水的体积：
$V_{\mathrm{水}}=V-V_{\mathrm{酒精}}=500\ \mathrm{cm}^3-260\ \mathrm{cm}^3=240\ \mathrm{cm}^3$
水的质量：
$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3×240\ \mathrm{cm}^3=240\ \mathrm{g}$
(3) 这瓶白酒的总质量：
$m_{\mathrm{总}}=m_{\mathrm{酒精}}+m_{\mathrm{水}}=208\ \mathrm{g}+240\ \mathrm{g}=448\ \mathrm{g}$
白酒的密度：
$\rho=\dfrac{m_{\mathrm{总}}}{V}=\dfrac{448\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=0.896\ \mathrm{g/cm}^3$
答：(1)这瓶白酒中酒精的质量为208g；(2)这瓶白酒中水的质量为240g；(3)这瓶白酒的密度为$0.896\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】
解题思路：先明确“52%vol”表示酒精体积占白酒总体积的52%，将白酒总体积单位转换为cm³；第(1)问根据酒精体积占比算出酒精体积，再用密度公式变形$m=\rho V$计算酒精质量；第(2)问水的体积为白酒总体积减酒精体积，再用密度公式计算水的质量；第(3)问白酒总质量是酒精和水的质量之和，总质量除以总体积得到白酒密度。
【解析】
解：
(1) 白酒总体积：$V=500\ \mathrm{mL}=500\ \mathrm{cm}^3$
酒精体积：$V_{\mathrm{酒精}}=V × 52\% = 500\ \mathrm{cm}^3 × 52\% = 260\ \mathrm{cm}^3$
由$\rho=\dfrac{m}{V}$得，酒精质量：$m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}V_{\mathrm{酒精}}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3 × 260\ \mathrm{cm}^3=208\ \mathrm{g}$
(2) 水的体积：$V_{\mathrm{水}}=V - V_{\mathrm{酒精}}=500\ \mathrm{cm}^3 - 260\ \mathrm{cm}^3=240\ \mathrm{cm}^3$
水的质量：$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3 × 240\ \mathrm{cm}^3=240\ \mathrm{g}$
(3) 白酒总质量：$m_{\mathrm{总}}=m_{\mathrm{酒精}} + m_{\mathrm{水}}=208\ \mathrm{g} + 240\ \mathrm{g}=448\ \mathrm{g}$
白酒密度：$\rho=\dfrac{m_{\mathrm{总}}}{V}=\dfrac{448\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=0.896\ \mathrm{g/cm}^3$
答：(1)这瓶白酒中酒精的质量为208g；(2)这瓶白酒中水的质量为240g；(3)这瓶白酒的密度为$0.896\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
(1)208g；(2)240g；(3)$0.896\ \mathrm{g/cm}^3$
【知识点】
密度公式应用、质量计算、混合物密度计算
【点评】
本题结合生活实际考察密度公式的应用，需理解酒精度数含义、掌握体积单位换算，步骤清晰，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
解题思路：先明确“52%vol”表示酒精体积占白酒总体积的52%，将白酒总体积单位转换为cm³；第(1)问根据酒精体积占比算出酒精体积，再用密度公式变形$m=\rho V$计算酒精质量；第(2)问水的体积为白酒总体积减酒精体积，再用密度公式计算水的质量；第(3)问白酒总质量是酒精和水的质量之和，总质量除以总体积得到白酒密度。
【解析】
解：
(1) 白酒总体积：$V=500\ \mathrm{mL}=500\ \mathrm{cm}^3$
酒精体积：$V_{\mathrm{酒精}}=V × 52\% = 500\ \mathrm{cm}^3 × 52\% = 260\ \mathrm{cm}^3$
由$\rho=\dfrac{m}{V}$得，酒精质量：$m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}V_{\mathrm{酒精}}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3 × 260\ \mathrm{cm}^3=208\ \mathrm{g}$
(2) 水的体积：$V_{\mathrm{水}}=V - V_{\mathrm{酒精}}=500\ \mathrm{cm}^3 - 260\ \mathrm{cm}^3=240\ \mathrm{cm}^3$
水的质量：$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3 × 240\ \mathrm{cm}^3=240\ \mathrm{g}$
(3) 白酒总质量：$m_{\mathrm{总}}=m_{\mathrm{酒精}} + m_{\mathrm{水}}=208\ \mathrm{g} + 240\ \mathrm{g}=448\ \mathrm{g}$
白酒密度：$\rho=\dfrac{m_{\mathrm{总}}}{V}=\dfrac{448\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=0.896\ \mathrm{g/cm}^3$
答：(1)这瓶白酒中酒精的质量为208g；(2)这瓶白酒中水的质量为240g；(3)这瓶白酒的密度为$0.896\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
(1)208g；(2)240g；(3)$0.896\ \mathrm{g/cm}^3$
【知识点】
密度公式应用、质量计算、混合物密度计算
【点评】
本题结合生活实际考察密度公式的应用，需理解酒精度数含义、掌握体积单位换算，步骤清晰，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
10. 小红的妈妈到某工艺品商店买了一件用金铜合金制成的实心工艺品。商店的售货员告诉她，这件工艺品是由质量相等的金、铜两种金属混合制成的，因此含金量为50%。小红的妈妈对商店售货员的话表示怀疑，让小红进行验证。小红通过实验测出工艺品的质量为598 g，体积为52 cm³，并从课本中查出了金、铜的密度分别是19.3 g/cm³和8.9 g/cm³。
(1)请根据小红的实验结果计算工艺品的密度。
(2)请计算这件工艺品的实际含金量。
(1)请根据小红的实验结果计算工艺品的密度。
(2)请计算这件工艺品的实际含金量。
答案
解：
(1) 工艺品的密度：
$\rho = \frac{m}{V} = \frac{598\ \mathrm{g}}{52\ \mathrm{cm}^3} = 11.5\ \mathrm{g/cm}^3$
(2) 设工艺品中含金的质量为$ m_{\mathrm{金}} $，则铜的质量为$ m_{\mathrm{铜}} = 598\ \mathrm{g} - m_{\mathrm{金}} $
由$ \rho = \frac{m}{V} $可知，工艺品总体积满足：
$ V = V_{\mathrm{金}} + V_{\mathrm{铜}} = \frac{m_{\mathrm{金}}}{\rho_{\mathrm{金}}} + \frac{m_{\mathrm{铜}}}{\rho_{\mathrm{铜}}} $
代入已知数据：
$ 52\ \mathrm{cm}^3 = \frac{m_{\mathrm{金}}}{19.3\ \mathrm{g/cm}^3} + \frac{598\ \mathrm{g} - m_{\mathrm{金}}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3} $
解得：$ m_{\mathrm{金}} \approx 251\ \mathrm{g} $
工艺品的实际含金量为：
$ \frac{m_{\mathrm{金}}}{m} × 100\% = \frac{251\ \mathrm{g}}{598\ \mathrm{g}} × 100\% \approx 42\% $
答：(1) 工艺品的密度为$ 11.5\ \mathrm{g/cm}^3 $；(2) 这件工艺品的实际含金量约为42%。
(1) 工艺品的密度：
$\rho = \frac{m}{V} = \frac{598\ \mathrm{g}}{52\ \mathrm{cm}^3} = 11.5\ \mathrm{g/cm}^3$
(2) 设工艺品中含金的质量为$ m_{\mathrm{金}} $，则铜的质量为$ m_{\mathrm{铜}} = 598\ \mathrm{g} - m_{\mathrm{金}} $
由$ \rho = \frac{m}{V} $可知，工艺品总体积满足：
$ V = V_{\mathrm{金}} + V_{\mathrm{铜}} = \frac{m_{\mathrm{金}}}{\rho_{\mathrm{金}}} + \frac{m_{\mathrm{铜}}}{\rho_{\mathrm{铜}}} $
代入已知数据：
$ 52\ \mathrm{cm}^3 = \frac{m_{\mathrm{金}}}{19.3\ \mathrm{g/cm}^3} + \frac{598\ \mathrm{g} - m_{\mathrm{金}}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3} $
解得：$ m_{\mathrm{金}} \approx 251\ \mathrm{g} $
工艺品的实际含金量为：
$ \frac{m_{\mathrm{金}}}{m} × 100\% = \frac{251\ \mathrm{g}}{598\ \mathrm{g}} × 100\% \approx 42\% $
答：(1) 工艺品的密度为$ 11.5\ \mathrm{g/cm}^3 $；(2) 这件工艺品的实际含金量约为42%。
解析
【分析】
本题是密度公式在合金问题中的应用，解题思路如下：第(1)问直接利用密度定义式ρ=m/V，代入工艺品的总质量和总体积即可计算密度；第(2)问需根据“工艺品体积等于金的体积与铜的体积之和”，结合密度公式变形V=m/ρ，设金的质量为未知量列方程，求解金的质量后，再计算其占总质量的百分比（即实际含金量）。
【解析】
(1) 根据密度公式ρ = m/V，已知工艺品质量m=598g，体积V=52cm³，代入得：
ρ = 598g / 52cm³ = 11.5g/cm³。
(2) 设工艺品中金的质量为m金，则铜的质量m铜 = 598g - m金。
由于工艺品体积等于金、铜体积之和，由V=m/ρ可得：
V = V金 + V铜 = m金/ρ金 + m铜/ρ铜。
代入ρ金=19.3g/cm³、ρ铜=8.9g/cm³、V=52cm³，得方程：
52 = m金/19.3 + (598 - m金)/8.9
通分整理：
52×19.3×8.9 = 8.9m金 + 19.3×(598 - m金)
计算得：8932.04 = 11541.4 - 10.4m金
解得：m金≈251g。
实际含金量为：
(m金/m)×100% = (251g/598g)×100%≈42%。
【答案】
(1) 工艺品的密度为11.5g/cm³；(2) 这件工艺品的实际含金量约为42%。
【知识点】
密度公式应用、合金问题计算
【点评】
本题是密度章节的典型应用题，核心是利用密度公式变形建立体积关系，需掌握密度定义及含金量的定义，难度适中，适合考查学生对密度公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
本题是密度公式在合金问题中的应用，解题思路如下：第(1)问直接利用密度定义式ρ=m/V，代入工艺品的总质量和总体积即可计算密度；第(2)问需根据“工艺品体积等于金的体积与铜的体积之和”，结合密度公式变形V=m/ρ，设金的质量为未知量列方程，求解金的质量后，再计算其占总质量的百分比（即实际含金量）。
【解析】
(1) 根据密度公式ρ = m/V，已知工艺品质量m=598g，体积V=52cm³，代入得：
ρ = 598g / 52cm³ = 11.5g/cm³。
(2) 设工艺品中金的质量为m金，则铜的质量m铜 = 598g - m金。
由于工艺品体积等于金、铜体积之和，由V=m/ρ可得：
V = V金 + V铜 = m金/ρ金 + m铜/ρ铜。
代入ρ金=19.3g/cm³、ρ铜=8.9g/cm³、V=52cm³，得方程：
52 = m金/19.3 + (598 - m金)/8.9
通分整理：
52×19.3×8.9 = 8.9m金 + 19.3×(598 - m金)
计算得：8932.04 = 11541.4 - 10.4m金
解得：m金≈251g。
实际含金量为：
(m金/m)×100% = (251g/598g)×100%≈42%。
【答案】
(1) 工艺品的密度为11.5g/cm³；(2) 这件工艺品的实际含金量约为42%。
【知识点】
密度公式应用、合金问题计算
【点评】
本题是密度章节的典型应用题，核心是利用密度公式变形建立体积关系，需掌握密度定义及含金量的定义，难度适中，适合考查学生对密度公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
