登录
7.已知铝的密度为$2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，小明的父亲外出时买了一个用铝材料制造的艺术球，用天平测得球的质量是594 g，体积为300 cm³。请你回答下列问题。($\rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)
(1)判断此球是实心的还是空心的？若是空心的，则空心部分的体积为多少？
(2)若在空心部分注满水，则注入水的质量为多少？
(1)判断此球是实心的还是空心的？若是空心的，则空心部分的体积为多少？
(2)若在空心部分注满水，则注入水的质量为多少？
答案
解：
(1) 统一单位得：$\rho_{\mathrm{铝}}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=2.7\ \mathrm{g/cm}^3$
由$\rho=\frac{m}{V}$可得，594g铝的实际体积：
$V_{\mathrm{铝}}=\frac{m_{\mathrm{球}}}{\rho_{\mathrm{铝}}}=\frac{594\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=220\ \mathrm{cm}^3$
因为$V_{\mathrm{铝}}=220\ \mathrm{cm}^3 ＜ V_{\mathrm{球}}=300\ \mathrm{cm}^3$，所以此球是空心的。
空心部分的体积：
$V_{\mathrm{空}}=V_{\mathrm{球}}-V_{\mathrm{铝}}=300\ \mathrm{cm}^3-220\ \mathrm{cm}^3=80\ \mathrm{cm}^3$
(2) 统一单位得：$\rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=1\ \mathrm{g/cm}^3$
空心部分注满水时，水的体积等于空心部分体积，即$V_{\mathrm{水}}=V_{\mathrm{空}}=80\ \mathrm{cm}^3$
注入水的质量：
$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3×80\ \mathrm{cm}^3=80\ \mathrm{g}$
答：(1) 此球是空心的，空心部分的体积为$80\ \mathrm{cm}^3$；(2) 注入水的质量为$80\ \mathrm{g}$。
(1) 统一单位得：$\rho_{\mathrm{铝}}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=2.7\ \mathrm{g/cm}^3$
由$\rho=\frac{m}{V}$可得，594g铝的实际体积：
$V_{\mathrm{铝}}=\frac{m_{\mathrm{球}}}{\rho_{\mathrm{铝}}}=\frac{594\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=220\ \mathrm{cm}^3$
因为$V_{\mathrm{铝}}=220\ \mathrm{cm}^3 ＜ V_{\mathrm{球}}=300\ \mathrm{cm}^3$，所以此球是空心的。
空心部分的体积：
$V_{\mathrm{空}}=V_{\mathrm{球}}-V_{\mathrm{铝}}=300\ \mathrm{cm}^3-220\ \mathrm{cm}^3=80\ \mathrm{cm}^3$
(2) 统一单位得：$\rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=1\ \mathrm{g/cm}^3$
空心部分注满水时，水的体积等于空心部分体积，即$V_{\mathrm{水}}=V_{\mathrm{空}}=80\ \mathrm{cm}^3$
注入水的质量：
$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3×80\ \mathrm{cm}^3=80\ \mathrm{g}$
答：(1) 此球是空心的，空心部分的体积为$80\ \mathrm{cm}^3$；(2) 注入水的质量为$80\ \mathrm{g}$。
解析
【分析】
要判断铝球是实心还是空心，可利用密度公式计算质量为594g的铝的实际体积，与球的体积比较：若铝的实际体积小于球体积则为空心，空心体积等于球体积减去铝的实际体积。第二问中，空心部分注满水时，水的体积等于空心体积，再结合水的密度计算注入水的质量。
【解析】
解：
(1) 统一单位：$\rho_{\mathrm{铝}}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=2.7\ \mathrm{g/cm}^3$
根据$\rho=\frac{m}{V}$，可得594g铝的实际体积：
$V_{\mathrm{铝}}=\frac{m_{\mathrm{球}}}{\rho_{\mathrm{铝}}}=\frac{594\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=220\ \mathrm{cm}^3$
因为$V_{\mathrm{铝}}=220\ \mathrm{cm}^3 ＜ V_{\mathrm{球}}=300\ \mathrm{cm}^3$，所以此球是空心的。
空心部分体积：
$V_{\mathrm{空}}=V_{\mathrm{球}}-V_{\mathrm{铝}}=300\ \mathrm{cm}^3-220\ \mathrm{cm}^3=80\ \mathrm{cm}^3$
(2) 统一单位：$\rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=1\ \mathrm{g/cm}^3$
空心部分注满水时，水的体积等于空心体积，即$V_{\mathrm{水}}=V_{\mathrm{空}}=80\ \mathrm{cm}^3$
注入水的质量：
$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3×80\ \mathrm{cm}^3=80\ \mathrm{g}$
【答案】
(1) 此球是空心的，空心部分的体积为$80\ \mathrm{cm}^3$；(2) 注入水的质量为$80\ \mathrm{g}$
【知识点】
密度公式应用，空心物体体积计算
【点评】
本题是密度知识的典型基础应用题，通过判断物体空心状态、计算空心体积及注入液体质量，考查学生对密度公式的掌握与运用，题型常规，难度适中。
【难度系数】
0.7
要判断铝球是实心还是空心，可利用密度公式计算质量为594g的铝的实际体积，与球的体积比较：若铝的实际体积小于球体积则为空心，空心体积等于球体积减去铝的实际体积。第二问中，空心部分注满水时，水的体积等于空心体积，再结合水的密度计算注入水的质量。
【解析】
解：
(1) 统一单位：$\rho_{\mathrm{铝}}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=2.7\ \mathrm{g/cm}^3$
根据$\rho=\frac{m}{V}$，可得594g铝的实际体积：
$V_{\mathrm{铝}}=\frac{m_{\mathrm{球}}}{\rho_{\mathrm{铝}}}=\frac{594\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=220\ \mathrm{cm}^3$
因为$V_{\mathrm{铝}}=220\ \mathrm{cm}^3 ＜ V_{\mathrm{球}}=300\ \mathrm{cm}^3$，所以此球是空心的。
空心部分体积：
$V_{\mathrm{空}}=V_{\mathrm{球}}-V_{\mathrm{铝}}=300\ \mathrm{cm}^3-220\ \mathrm{cm}^3=80\ \mathrm{cm}^3$
(2) 统一单位：$\rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=1\ \mathrm{g/cm}^3$
空心部分注满水时，水的体积等于空心体积，即$V_{\mathrm{水}}=V_{\mathrm{空}}=80\ \mathrm{cm}^3$
注入水的质量：
$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3×80\ \mathrm{cm}^3=80\ \mathrm{g}$
【答案】
(1) 此球是空心的，空心部分的体积为$80\ \mathrm{cm}^3$；(2) 注入水的质量为$80\ \mathrm{g}$
【知识点】
密度公式应用，空心物体体积计算
【点评】
本题是密度知识的典型基础应用题，通过判断物体空心状态、计算空心体积及注入液体质量，考查学生对密度公式的掌握与运用，题型常规，难度适中。
【难度系数】
0.7
8. 一个空心铜球的质量为356 g，在铜球的空心部分注满水后总质量为706 g。（铜的密度为$8.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，水的密度为$1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$）
(1)这个空心铜球空心部分的体积为多少立方厘米？
(2)空心铜球的总体积为多少立方厘米？
(3)若在铜球的空心部分注满某种液体后，总质量为881 g，求注入液体的密度。
(1)这个空心铜球空心部分的体积为多少立方厘米？
(2)空心铜球的总体积为多少立方厘米？
(3)若在铜球的空心部分注满某种液体后，总质量为881 g，求注入液体的密度。
答案
解：
已知：$\rho_{\mathrm{铜}}=8.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=8.9\ \mathrm{g/cm}^3$，$\rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=1\ \mathrm{g/cm}^3$，$m_{\mathrm{铜}}=356\ \mathrm{g}$，注满水后总质量$m_1=706\ \mathrm{g}$，注满液体后总质量$m_2=881\ \mathrm{g}$
(1) 空心部分所注水的质量：
$m_{\mathrm{水}} = m_1 - m_{\mathrm{铜}} = 706\ \mathrm{g} - 356\ \mathrm{g} = 350\ \mathrm{g}$
空心部分的体积等于水的体积：
$V_{\mathrm{空}} = V_{\mathrm{水}} = \dfrac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \dfrac{350\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3} = 350\ \mathrm{cm}^3$
(2) 铜球中铜的体积：
$V_{\mathrm{铜}} = \dfrac{m_{\mathrm{铜}}}{\rho_{\mathrm{铜}}} = \dfrac{356\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3} = 40\ \mathrm{cm}^3$
空心铜球的总体积：
$V_{\mathrm{总}} = V_{\mathrm{铜}} + V_{\mathrm{空}} = 40\ \mathrm{cm}^3 + 350\ \mathrm{cm}^3 = 390\ \mathrm{cm}^3$
(3) 注入液体的质量：
$m_{\mathrm{液}} = m_2 - m_{\mathrm{铜}} = 881\ \mathrm{g} - 356\ \mathrm{g} = 525\ \mathrm{g}$
液体的体积等于空心部分的体积：$V_{\mathrm{液}}=V_{\mathrm{空}}=350\ \mathrm{cm}^3$
注入液体的密度：
$\rho_{\mathrm{液}} = \dfrac{m_{\mathrm{液}}}{V_{\mathrm{液}}} = \dfrac{525\ \mathrm{g}}{350\ \mathrm{cm}^3} = 1.5\ \mathrm{g/cm}^3=1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
答：(1) 这个空心铜球空心部分的体积为$350\ \mathrm{cm}^3$；(2) 空心铜球的总体积为$390\ \mathrm{cm}^3$；(3) 注入液体的密度为$1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
已知：$\rho_{\mathrm{铜}}=8.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=8.9\ \mathrm{g/cm}^3$，$\rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=1\ \mathrm{g/cm}^3$，$m_{\mathrm{铜}}=356\ \mathrm{g}$，注满水后总质量$m_1=706\ \mathrm{g}$，注满液体后总质量$m_2=881\ \mathrm{g}$
(1) 空心部分所注水的质量：
$m_{\mathrm{水}} = m_1 - m_{\mathrm{铜}} = 706\ \mathrm{g} - 356\ \mathrm{g} = 350\ \mathrm{g}$
空心部分的体积等于水的体积：
$V_{\mathrm{空}} = V_{\mathrm{水}} = \dfrac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \dfrac{350\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3} = 350\ \mathrm{cm}^3$
(2) 铜球中铜的体积：
$V_{\mathrm{铜}} = \dfrac{m_{\mathrm{铜}}}{\rho_{\mathrm{铜}}} = \dfrac{356\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3} = 40\ \mathrm{cm}^3$
空心铜球的总体积：
$V_{\mathrm{总}} = V_{\mathrm{铜}} + V_{\mathrm{空}} = 40\ \mathrm{cm}^3 + 350\ \mathrm{cm}^3 = 390\ \mathrm{cm}^3$
(3) 注入液体的质量：
$m_{\mathrm{液}} = m_2 - m_{\mathrm{铜}} = 881\ \mathrm{g} - 356\ \mathrm{g} = 525\ \mathrm{g}$
液体的体积等于空心部分的体积：$V_{\mathrm{液}}=V_{\mathrm{空}}=350\ \mathrm{cm}^3$
注入液体的密度：
$\rho_{\mathrm{液}} = \dfrac{m_{\mathrm{液}}}{V_{\mathrm{液}}} = \dfrac{525\ \mathrm{g}}{350\ \mathrm{cm}^3} = 1.5\ \mathrm{g/cm}^3=1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
答：(1) 这个空心铜球空心部分的体积为$350\ \mathrm{cm}^3$；(2) 空心铜球的总体积为$390\ \mathrm{cm}^3$；(3) 注入液体的密度为$1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
解析
【分析】
本题是密度知识的典型应用，核心是利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$及其变形公式解决空心球问题。解题思路为：①总质量等于铜球质量与空心部分所装物质的质量之和，因此通过总质量与铜球质量的差，可求出空心部分所装水或液体的质量；②由于空心部分被物质填满，空心部分体积等于所装物质的体积；③结合铜的密度算出铜的体积，空心体积与铜的体积之和即为球的总体积；④最后用液体质量除以空心体积，得到注入液体的密度。
【解析】
先统一单位：$\rho_{\mathrm{铜}}=8.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=8.9\ \mathrm{g/cm}^3$，$\rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=1\ \mathrm{g/cm}^3$，已知$m_{\mathrm{铜}}=356\ \mathrm{g}$，注满水后总质量$m_1=706\ \mathrm{g}$，注满液体后总质量$m_2=881\ \mathrm{g}$。
(1) 空心部分所注水的质量：
$m_{\mathrm{水}} = m_1 - m_{\mathrm{铜}} = 706\ \mathrm{g} - 356\ \mathrm{g} = 350\ \mathrm{g}$
空心部分体积等于水的体积：
$V_{\mathrm{空}} = V_{\mathrm{水}} = \dfrac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \dfrac{350\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3} = 350\ \mathrm{cm}^3$
(2) 铜球中铜的体积：
$V_{\mathrm{铜}} = \dfrac{m_{\mathrm{铜}}}{\rho_{\mathrm{铜}}} = \dfrac{356\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3} = 40\ \mathrm{cm}^3$
空心铜球的总体积：
$V_{\mathrm{总}} = V_{\mathrm{铜}} + V_{\mathrm{空}} = 40\ \mathrm{cm}^3 + 350\ \mathrm{cm}^3 = 390\ \mathrm{cm}^3$
(3) 注入液体的质量：
$m_{\mathrm{液}} = m_2 - m_{\mathrm{铜}} = 881\ \mathrm{g} - 356\ \mathrm{g} = 525\ \mathrm{g}$
液体体积等于空心部分体积：$V_{\mathrm{液}} = V_{\mathrm{空}} = 350\ \mathrm{cm}^3$
注入液体的密度：
$\rho_{\mathrm{液}} = \dfrac{m_{\mathrm{液}}}{V_{\mathrm{液}}} = \dfrac{525\ \mathrm{g}}{350\ \mathrm{cm}^3} = 1.5\ \mathrm{g/cm}^3 = 1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【答案】
(1) $350\ \mathrm{cm}^3$；(2) $390\ \mathrm{cm}^3$；(3) $1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
密度公式应用、空心物体体积计算
【点评】
本题考查密度公式的灵活运用，是密度知识的典型应用题，关键在于理解空心部分体积等于所装物质的体积，通过质量差求解注入物质的质量，难度适中，适合巩固密度相关基础知识点。
【难度系数】
0.6
本题是密度知识的典型应用，核心是利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$及其变形公式解决空心球问题。解题思路为：①总质量等于铜球质量与空心部分所装物质的质量之和，因此通过总质量与铜球质量的差，可求出空心部分所装水或液体的质量；②由于空心部分被物质填满，空心部分体积等于所装物质的体积；③结合铜的密度算出铜的体积，空心体积与铜的体积之和即为球的总体积；④最后用液体质量除以空心体积，得到注入液体的密度。
【解析】
先统一单位：$\rho_{\mathrm{铜}}=8.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=8.9\ \mathrm{g/cm}^3$，$\rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=1\ \mathrm{g/cm}^3$，已知$m_{\mathrm{铜}}=356\ \mathrm{g}$，注满水后总质量$m_1=706\ \mathrm{g}$，注满液体后总质量$m_2=881\ \mathrm{g}$。
(1) 空心部分所注水的质量：
$m_{\mathrm{水}} = m_1 - m_{\mathrm{铜}} = 706\ \mathrm{g} - 356\ \mathrm{g} = 350\ \mathrm{g}$
空心部分体积等于水的体积：
$V_{\mathrm{空}} = V_{\mathrm{水}} = \dfrac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \dfrac{350\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3} = 350\ \mathrm{cm}^3$
(2) 铜球中铜的体积：
$V_{\mathrm{铜}} = \dfrac{m_{\mathrm{铜}}}{\rho_{\mathrm{铜}}} = \dfrac{356\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3} = 40\ \mathrm{cm}^3$
空心铜球的总体积：
$V_{\mathrm{总}} = V_{\mathrm{铜}} + V_{\mathrm{空}} = 40\ \mathrm{cm}^3 + 350\ \mathrm{cm}^3 = 390\ \mathrm{cm}^3$
(3) 注入液体的质量：
$m_{\mathrm{液}} = m_2 - m_{\mathrm{铜}} = 881\ \mathrm{g} - 356\ \mathrm{g} = 525\ \mathrm{g}$
液体体积等于空心部分体积：$V_{\mathrm{液}} = V_{\mathrm{空}} = 350\ \mathrm{cm}^3$
注入液体的密度：
$\rho_{\mathrm{液}} = \dfrac{m_{\mathrm{液}}}{V_{\mathrm{液}}} = \dfrac{525\ \mathrm{g}}{350\ \mathrm{cm}^3} = 1.5\ \mathrm{g/cm}^3 = 1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【答案】
(1) $350\ \mathrm{cm}^3$；(2) $390\ \mathrm{cm}^3$；(3) $1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
密度公式应用、空心物体体积计算
【点评】
本题考查密度公式的灵活运用，是密度知识的典型应用题，关键在于理解空心部分体积等于所装物质的体积，通过质量差求解注入物质的质量，难度适中，适合巩固密度相关基础知识点。
【难度系数】
0.6
