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1. 圆是
轴对称
图形，过圆心的任意一条直线
都是它的对称轴。答案
1. 轴对称，过圆心的任意一条直线
解析
【分析】
解题时先回忆轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形，这条直线就是对称轴。再结合圆的特征分析：将圆沿任意一条过圆心的直线对折，直线两侧的部分都能完全重合，由此可确定圆的图形类别，再明确其对称轴的特征，注意对称轴是直线，不可表述为直径（直径是线段）。
【解析】
根据轴对称图形的定义判断：若一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，该图形就是轴对称图形。
把圆沿着任意一条过圆心的直线对折，直线两侧的部分可以完全重合，因此圆是轴对称图形。
所有过圆心的直线都能使圆对折后两侧完全重合，因此过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴。注意直径是线段，不符合对称轴是直线的要求，不能表述为直径是圆的对称轴。
【答案】
轴对称，过圆心的任意一条直线
【知识点】
1. 轴对称图形的概念
2. 圆的轴对称性
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对圆的轴对称性质的掌握，易错点是容易误将对称轴写为“直径”，要注意区分直线和线段的差异，准确表述对称轴的特征。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形，这条直线就是对称轴。再结合圆的特征分析：将圆沿任意一条过圆心的直线对折，直线两侧的部分都能完全重合，由此可确定圆的图形类别，再明确其对称轴的特征，注意对称轴是直线，不可表述为直径（直径是线段）。
【解析】
根据轴对称图形的定义判断：若一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，该图形就是轴对称图形。
把圆沿着任意一条过圆心的直线对折，直线两侧的部分可以完全重合，因此圆是轴对称图形。
所有过圆心的直线都能使圆对折后两侧完全重合，因此过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴。注意直径是线段，不符合对称轴是直线的要求，不能表述为直径是圆的对称轴。
【答案】
轴对称，过圆心的任意一条直线
【知识点】
1. 轴对称图形的概念
2. 圆的轴对称性
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对圆的轴对称性质的掌握，易错点是容易误将对称轴写为“直径”，要注意区分直线和线段的差异，准确表述对称轴的特征。
【难度系数】
0.85
2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分
弦以及弦所对的两条弧
.答案
2. 弦以及弦所对的两条弧
解析
【分析】
本题是垂径定理的概念识记类题目，解题时只需回忆垂径定理的完整表述即可。垂径定理是圆的核心性质之一，描述的是垂直于弦的直径的两类作用，分别对应弦、弦所对的弧，我们只需准确匹配定理内容填写空缺即可。
【解析】
根据垂径定理的标准表述：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，因此空缺处应填写弦以及弦所对的两条弧。
【答案】
弦以及弦所对的两条弧
【知识点】
垂径定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对垂径定理内容的记忆熟练度，只要准确掌握定理内容即可快速作答，是圆相关性质学习中需要牢固掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
本题是垂径定理的概念识记类题目，解题时只需回忆垂径定理的完整表述即可。垂径定理是圆的核心性质之一，描述的是垂直于弦的直径的两类作用，分别对应弦、弦所对的弧，我们只需准确匹配定理内容填写空缺即可。
【解析】
根据垂径定理的标准表述：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，因此空缺处应填写弦以及弦所对的两条弧。
【答案】
弦以及弦所对的两条弧
【知识点】
垂径定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对垂径定理内容的记忆熟练度，只要准确掌握定理内容即可快速作答，是圆相关性质学习中需要牢固掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
3. 如图，AB为$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$，垂足为$E$，
(1) $CE=$
(2) 若$CD=16$，$OE=6$，则$\odot O$的直径为
(1) $CE=$
$ED$
，$\overset{\frown}{BC}=$$\overset{\frown}{BD}$
，$\overset{\frown}{AC}=$$\overset{\frown}{AD}$
；(2) 若$CD=16$，$OE=6$，则$\odot O$的直径为
20
。答案
3. (1) $ED$，$\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AD}$ (2) 20
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：（1）第一问考查垂径定理的直接应用，回忆垂径定理内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，结合题中AB是直径、CD⊥AB的条件，就能直接得到对应的相等线段和相等弧；（2）第二问求圆的直径，先根据垂径定理得到CE的长度，再连接半径OC，构造直角三角形OCE，利用勾股定理求出半径长度，再乘以2即可得到直径长度。
【解析】
(1) 根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。
已知AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥AB$，垂足为E，因此可得：
$CE=ED$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$。
(2) 已知$CD=16$，由垂径定理得$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×16=8$。
连接OC，OC为$\odot O$的半径，在$Rt△ OCE$中，$OE=6$，$CE=8$，由勾股定理得：
$OC^2=OE^2+CE^2=6^2+8^2=36+64=100$，
解得$OC=10$（半径为正数），
因此$\odot O$的直径为$2× OC=2×10=20$。
【答案】
(1) $ED$，$\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AD}$；(2) $20$
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的对称性相关的基础题，重点考查垂径定理的直接应用，结合勾股定理求解圆的相关线段长度，熟练掌握垂径定理是解决此类题目的关键。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：（1）第一问考查垂径定理的直接应用，回忆垂径定理内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，结合题中AB是直径、CD⊥AB的条件，就能直接得到对应的相等线段和相等弧；（2）第二问求圆的直径，先根据垂径定理得到CE的长度，再连接半径OC，构造直角三角形OCE，利用勾股定理求出半径长度，再乘以2即可得到直径长度。
【解析】
(1) 根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。
已知AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥AB$，垂足为E，因此可得：
$CE=ED$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$。
(2) 已知$CD=16$，由垂径定理得$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×16=8$。
连接OC，OC为$\odot O$的半径，在$Rt△ OCE$中，$OE=6$，$CE=8$，由勾股定理得：
$OC^2=OE^2+CE^2=6^2+8^2=36+64=100$，
解得$OC=10$（半径为正数），
因此$\odot O$的直径为$2× OC=2×10=20$。
【答案】
(1) $ED$，$\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AD}$；(2) $20$
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的对称性相关的基础题，重点考查垂径定理的直接应用，结合勾股定理求解圆的相关线段长度，熟练掌握垂径定理是解决此类题目的关键。
【难度系数】
0.8
4. 如图，P是$\odot O$内一点. 若圆的半径为5，$OP=3$，则经过点P的弦的长度不可能为（
A.7
B.8
C.9
D.10
A
）A.7
B.8
C.9
D.10
答案
4. A
解析
【分析】
要判断经过点P的弦的长度不可能是哪个，首先需要确定过圆内一点P的弦长的取值范围：过圆内一点的弦中，最长的弦是过该点的直径，最短的弦是过该点且与过这点的半径垂直的弦，算出这两个临界值后，所有符合条件的弦长都在这两个值之间，不在区间内的就是不可能的取值。
【解析】
1. 求最长弦长：过点P的最长弦是圆的直径，已知圆半径为5，所以直径长为2×5=10，即最长弦长为10；
2. 求最短弦长：过点P作弦AB⊥OP，连接OA，根据垂径定理可得AB=2AP。在Rt△OPA中，OA=5，OP=3，由勾股定理得$AP=\sqrt{OA^2 - OP^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，所以$AB=2×4=8$，即最短弦长为8；
3. 因此经过点P的弦长$l$的取值范围是$8≤l≤10$，选项中只有7不在这个范围内。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦长性质
【点评】
本题是圆中弦长取值范围的基础题，解题的核心是掌握过圆内定点的弦的最值规律，结合垂径定理和勾股定理求出临界弦长即可判断，难度不大。
【难度系数】
0.8
要判断经过点P的弦的长度不可能是哪个，首先需要确定过圆内一点P的弦长的取值范围：过圆内一点的弦中，最长的弦是过该点的直径，最短的弦是过该点且与过这点的半径垂直的弦，算出这两个临界值后，所有符合条件的弦长都在这两个值之间，不在区间内的就是不可能的取值。
【解析】
1. 求最长弦长：过点P的最长弦是圆的直径，已知圆半径为5，所以直径长为2×5=10，即最长弦长为10；
2. 求最短弦长：过点P作弦AB⊥OP，连接OA，根据垂径定理可得AB=2AP。在Rt△OPA中，OA=5，OP=3，由勾股定理得$AP=\sqrt{OA^2 - OP^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，所以$AB=2×4=8$，即最短弦长为8；
3. 因此经过点P的弦长$l$的取值范围是$8≤l≤10$，选项中只有7不在这个范围内。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦长性质
【点评】
本题是圆中弦长取值范围的基础题，解题的核心是掌握过圆内定点的弦的最值规律，结合垂径定理和勾股定理求出临界弦长即可判断，难度不大。
【难度系数】
0.8
5. 如图，MN是$\odot O$的弦，半径$OA⊥ MN$，垂足为B，且$MN=8$，$AB=2$，则OA的长为（
A.5
B.6
C.2.5
D.3
A
）A.5
B.6
C.2.5
D.3
答案
5. A
解析
【分析】
遇到半径垂直于弦的问题，首先联想到垂径定理，可得到弦长的一半；要求半径OA的长度，我们可以设半径为r，结合已知AB=2，可表示出OB的长度，再连接OM构造直角三角形，利用勾股定理列方程即可求出半径长度。
【解析】
连接OM，
∵OA是$\odot O$的半径，$OA⊥MN$，$MN=8$，
∴根据垂径定理，得$MB=\frac{1}{2}MN=4$。
设$\odot O$的半径为r，则$OM=OA=r$，
∵$AB=2$，
∴$OB=OA-AB=r-2$。
在$Rt△ OMB$中，由勾股定理得：$OM^2=OB^2+MB^2$，
代入得：$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开计算：$r^2=r^2-4r+4+16$，
整理得：$4r=20$，解得$r=5$，即OA的长为5。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段长度计算的常见基础题型，解题的关键是利用垂径定理构造出直角三角形，再结合勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.8
遇到半径垂直于弦的问题，首先联想到垂径定理，可得到弦长的一半；要求半径OA的长度，我们可以设半径为r，结合已知AB=2，可表示出OB的长度，再连接OM构造直角三角形，利用勾股定理列方程即可求出半径长度。
【解析】
连接OM，
∵OA是$\odot O$的半径，$OA⊥MN$，$MN=8$，
∴根据垂径定理，得$MB=\frac{1}{2}MN=4$。
设$\odot O$的半径为r，则$OM=OA=r$，
∵$AB=2$，
∴$OB=OA-AB=r-2$。
在$Rt△ OMB$中，由勾股定理得：$OM^2=OB^2+MB^2$，
代入得：$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开计算：$r^2=r^2-4r+4+16$，
整理得：$4r=20$，解得$r=5$，即OA的长为5。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段长度计算的常见基础题型，解题的关键是利用垂径定理构造出直角三角形，再结合勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.8
6. 如图是一把大唐团扇的示意图，扇柄所在直线将扇面平分，小西为了使扇子更漂亮和耐用，在扇面$\odot O$中间增加了3根金丝线(虚线)，扇子两端增加2根扇骨(CD，EF)，金丝线和扇骨均垂直于直径AB且将AB均分，已知CD的长为10 cm，则扇骨CD与EF之间的距离为（
A.$4\sqrt{5}$ cm
B.$6\sqrt{5}$ cm
C.$3\sqrt{5}$ cm
D.$8\sqrt{5}$ cm
A
）A.$4\sqrt{5}$ cm
B.$6\sqrt{5}$ cm
C.$3\sqrt{5}$ cm
D.$8\sqrt{5}$ cm
答案
6. $4\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时先结合题意明确直径AB被垂直于它的线段平均分成6等份，可推导出每等份长度与半径的关系；再利用垂径定理得到CD的一半长度，结合勾股定理列方程求出圆的半径；最后根据CD、EF到圆心的距离，求和即可得到两者的间距。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
因为CD、EF和3根金丝线均垂直于直径AB且将AB均分，直径$AB=2r$，因此AB被平均分为6等份，每等份的长度为$\frac{2r}{6}=\frac{r}{3}\ \mathrm{cm}$。
设AB与CD交于点M，根据垂径定理，AB垂直平分CD，已知$CD=10\ \mathrm{cm}$，因此$CM=\frac{1}{2}CD=5\ \mathrm{cm}$。
观察图形可知，CD到圆心O的距离$OM=2×\frac{r}{3}=\frac{2r}{3}\ \mathrm{cm}$。
连接OC，在$\mathrm{Rt}△ OMC$中，由勾股定理得：
$OM^2 + CM^2 = OC^2$
代入得：
$(\frac{2r}{3})^2 + 5^2 = r^2$
整理得：
$\frac{4r^2}{9} +25 = r^2 \implies \frac{5r^2}{9}=25 \implies r^2=45 \implies r=3\sqrt{5}\ (\mathrm{半径为正，舍去负根})$
同理，EF到圆心O的距离也为$\frac{2r}{3}\ \mathrm{cm}$，因此CD与EF之间的距离为：
$\frac{2r}{3}+\frac{2r}{3}=\frac{4r}{3}=\frac{4}{3}×3\sqrt{5}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合生活中的团扇场景考查圆的相关知识，解题的关键是读懂图形，明确直径被等分的份数，再利用垂径定理和勾股定理建立方程求解半径，很好地考查了学生的读图能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先结合题意明确直径AB被垂直于它的线段平均分成6等份，可推导出每等份长度与半径的关系；再利用垂径定理得到CD的一半长度，结合勾股定理列方程求出圆的半径；最后根据CD、EF到圆心的距离，求和即可得到两者的间距。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
因为CD、EF和3根金丝线均垂直于直径AB且将AB均分，直径$AB=2r$，因此AB被平均分为6等份，每等份的长度为$\frac{2r}{6}=\frac{r}{3}\ \mathrm{cm}$。
设AB与CD交于点M，根据垂径定理，AB垂直平分CD，已知$CD=10\ \mathrm{cm}$，因此$CM=\frac{1}{2}CD=5\ \mathrm{cm}$。
观察图形可知，CD到圆心O的距离$OM=2×\frac{r}{3}=\frac{2r}{3}\ \mathrm{cm}$。
连接OC，在$\mathrm{Rt}△ OMC$中，由勾股定理得：
$OM^2 + CM^2 = OC^2$
代入得：
$(\frac{2r}{3})^2 + 5^2 = r^2$
整理得：
$\frac{4r^2}{9} +25 = r^2 \implies \frac{5r^2}{9}=25 \implies r^2=45 \implies r=3\sqrt{5}\ (\mathrm{半径为正，舍去负根})$
同理，EF到圆心O的距离也为$\frac{2r}{3}\ \mathrm{cm}$，因此CD与EF之间的距离为：
$\frac{2r}{3}+\frac{2r}{3}=\frac{4r}{3}=\frac{4}{3}×3\sqrt{5}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合生活中的团扇场景考查圆的相关知识，解题的关键是读懂图形，明确直径被等分的份数，再利用垂径定理和勾股定理建立方程求解半径，很好地考查了学生的读图能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具(图①)，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图②，已知圆心O在水面上方，且$\odot O$被水面截得弦AB长为4 m，$\odot O$半径为2.5 m. 若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是
1
m.答案
7. 1
解析
【分析】
本题是圆的性质在实际问题中的应用，解题思路如下：首先，运行轨道的最低点C在过圆心O且垂直于弦AB的直线上，符合垂径定理的应用条件；其次，过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理可得到半弦的长度，再结合圆的半径，在构造出的直角三角形中用勾股定理算出圆心O到弦AB的距离；最后，用圆的半径减去圆心到弦的距离，即可得到点C到弦AB的距离。
【解析】
过点O作$OD⊥ AB$于点D，延长OD交$\odot O$于点C，此时点C即为运行轨道的最低点。
根据垂径定理，得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{m}$。
已知OA是$\odot O$的半径，$OA=2.5\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{2.5^2-2^2}=\sqrt{6.25-4}=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$。
又因为OC是$\odot O$的半径，$OC=2.5\ \mathrm{m}$，所以点C到弦AB所在直线的距离为：
$CD=OC-OD=2.5-1.5=1\ \mathrm{m}$。
【答案】
1
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题以我国古代水利工具为背景，考查圆相关知识的实际应用，解题的核心是利用垂径定理构造直角三角形，将所求距离转化为半径与圆心到弦距离的差，属于基础应用类题目，能够很好地考查学生对基础知识的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是圆的性质在实际问题中的应用，解题思路如下：首先，运行轨道的最低点C在过圆心O且垂直于弦AB的直线上，符合垂径定理的应用条件；其次，过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理可得到半弦的长度，再结合圆的半径，在构造出的直角三角形中用勾股定理算出圆心O到弦AB的距离；最后，用圆的半径减去圆心到弦的距离，即可得到点C到弦AB的距离。
【解析】
过点O作$OD⊥ AB$于点D，延长OD交$\odot O$于点C，此时点C即为运行轨道的最低点。
根据垂径定理，得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{m}$。
已知OA是$\odot O$的半径，$OA=2.5\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{2.5^2-2^2}=\sqrt{6.25-4}=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$。
又因为OC是$\odot O$的半径，$OC=2.5\ \mathrm{m}$，所以点C到弦AB所在直线的距离为：
$CD=OC-OD=2.5-1.5=1\ \mathrm{m}$。
【答案】
1
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题以我国古代水利工具为背景，考查圆相关知识的实际应用，解题的核心是利用垂径定理构造直角三角形，将所求距离转化为半径与圆心到弦距离的差，属于基础应用类题目，能够很好地考查学生对基础知识的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
