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11. 如图，AB，AC，BC是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC. ∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
答案
11. $∠ABC=∠BAC$. 理由如下：$\because ∠AOC=∠BOC$，$\therefore AC=BC$. $\therefore ∠ABC=∠BAC$
解析
【分析】
首先从已知条件出发，题目给出同圆中两个圆心角∠AOC=∠BOC，结合圆的对称性相关知识：同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可先推出弦AC与BC相等；得到AC=BC后，可知△ABC为等腰三角形，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质，就能判断∠ABC和∠BAC的大小关系。
【解析】
解：∠ABC与∠BAC相等，理由如下：
∵ 在⊙O中，∠AOC=∠BOC
∴ 根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可得$AC=BC$
∵ $AC=BC$，即△ABC是等腰三角形
∴ 根据等边对等角的性质，可得$∠ABC=∠BAC$
【答案】
$\boldsymbol{∠ABC=∠BAC}$，理由如下：$\because ∠AOC=∠BOC$，$\therefore AC=BC$，$\therefore ∠ABC=∠BAC$
【知识点】
1. 同圆中圆心角与弦的关系
2. 等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，结合圆的基本性质和三角形性质进行考查，解题关键是利用圆心角相等的条件推导对应弦相等，再转化为三角形内角的关系，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
首先从已知条件出发，题目给出同圆中两个圆心角∠AOC=∠BOC，结合圆的对称性相关知识：同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可先推出弦AC与BC相等；得到AC=BC后，可知△ABC为等腰三角形，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质，就能判断∠ABC和∠BAC的大小关系。
【解析】
解：∠ABC与∠BAC相等，理由如下：
∵ 在⊙O中，∠AOC=∠BOC
∴ 根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可得$AC=BC$
∵ $AC=BC$，即△ABC是等腰三角形
∴ 根据等边对等角的性质，可得$∠ABC=∠BAC$
【答案】
$\boldsymbol{∠ABC=∠BAC}$，理由如下：$\because ∠AOC=∠BOC$，$\therefore AC=BC$，$\therefore ∠ABC=∠BAC$
【知识点】
1. 同圆中圆心角与弦的关系
2. 等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，结合圆的基本性质和三角形性质进行考查，解题关键是利用圆心角相等的条件推导对应弦相等，再转化为三角形内角的关系，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在$\odot O$中，$∠ BOD = ∠ AOC$，求证：$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$。
（第12题）
（第12题）答案
12. $\because ∠BOD=∠AOC$，$\therefore ∠BOD-∠AOD=∠AOC-∠AOD$，即$∠AOB=∠COD$，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
解析
【分析】
要证明同圆中两段弧相等，根据圆的相关性质，可转化为证明两段弧所对的圆心角相等。已知∠BOD=∠AOC，观察图形可发现两个角存在公共部分∠AOD，利用等式的性质将两个角同时减去公共角，即可得到$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角相等，进而完成证明。
【解析】
证明：
$\because ∠BOD=∠AOC$，
$\therefore ∠BOD-∠AOD=∠AOC-∠AOD$，
即$∠AOB=∠COD$。
又$\because$在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$。
【答案】
$\because ∠BOD=∠AOC$，$\therefore ∠BOD-∠AOD=∠AOC-∠AOD$，即$∠AOB=∠COD$，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
【知识点】
1.圆心角与弧的关系
2.等式的性质
【点评】
本题是圆的对称性的基础应用题，解题关键是观察出两个已知角的公共部分，通过角的和差推导得到目标弧对应的圆心角相等，再结合圆心角与弧的对应关系即可求证。
【难度系数】
0.8
要证明同圆中两段弧相等，根据圆的相关性质，可转化为证明两段弧所对的圆心角相等。已知∠BOD=∠AOC，观察图形可发现两个角存在公共部分∠AOD，利用等式的性质将两个角同时减去公共角，即可得到$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角相等，进而完成证明。
【解析】
证明：
$\because ∠BOD=∠AOC$，
$\therefore ∠BOD-∠AOD=∠AOC-∠AOD$，
即$∠AOB=∠COD$。
又$\because$在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$。
【答案】
$\because ∠BOD=∠AOC$，$\therefore ∠BOD-∠AOD=∠AOC-∠AOD$，即$∠AOB=∠COD$，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
【知识点】
1.圆心角与弧的关系
2.等式的性质
【点评】
本题是圆的对称性的基础应用题，解题关键是观察出两个已知角的公共部分，通过角的和差推导得到目标弧对应的圆心角相等，再结合圆心角与弧的对应关系即可求证。
【难度系数】
0.8
13. 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$∠ ACB=60°$，求证：$∠ AOB=∠ BOC=∠ COA$。
（第13题）
（第13题）答案
13. $\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$\therefore AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形. $\because ∠ACB=60°$，$\therefore △ ABC$为等边三角形. $\therefore AB=BC=CA$. $\therefore ∠AOB=∠BOC=∠COA$
解析
【分析】
要证明三个圆心角相等，可利用同圆中相等的弦所对的圆心角相等的性质，先证弦AB=BC=AC。首先由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据同圆中等弧对应等弦可得AB=AC，可知△ABC是等腰三角形；再结合已知∠ACB=60°，可判定△ABC为等边三角形，得到三边相等，进而推出对应的三个圆心角相等。
【解析】
证明：$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形。
$\because ∠ ACB=60°$，
$\therefore △ ABC$为等边三角形，
$\therefore AB=BC=CA$。
$\because$在$\odot O$中，相等的弦所对的圆心角相等，
$\therefore ∠ AOB=∠ BOC=∠ COA$。
【答案】
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$\therefore AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形. $\because ∠ACB=60°$，$\therefore △ ABC$为等边三角形. $\therefore AB=BC=CA$. $\therefore ∠AOB=∠BOC=∠COA$
【知识点】
弧弦圆心角的关系；等边三角形的判定
【点评】
本题属于圆性质应用的基础题，解题的核心是熟练掌握同圆中弧、弦、圆心角的对应相等关系，结合等边三角形的判定定理即可推导得出结论，是对基础知识点的常规考察。
【难度系数】
0.8
要证明三个圆心角相等，可利用同圆中相等的弦所对的圆心角相等的性质，先证弦AB=BC=AC。首先由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据同圆中等弧对应等弦可得AB=AC，可知△ABC是等腰三角形；再结合已知∠ACB=60°，可判定△ABC为等边三角形，得到三边相等，进而推出对应的三个圆心角相等。
【解析】
证明：$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形。
$\because ∠ ACB=60°$，
$\therefore △ ABC$为等边三角形，
$\therefore AB=BC=CA$。
$\because$在$\odot O$中，相等的弦所对的圆心角相等，
$\therefore ∠ AOB=∠ BOC=∠ COA$。
【答案】
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$\therefore AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形. $\because ∠ACB=60°$，$\therefore △ ABC$为等边三角形. $\therefore AB=BC=CA$. $\therefore ∠AOB=∠BOC=∠COA$
【知识点】
弧弦圆心角的关系；等边三角形的判定
【点评】
本题属于圆性质应用的基础题，解题的核心是熟练掌握同圆中弧、弦、圆心角的对应相等关系，结合等边三角形的判定定理即可推导得出结论，是对基础知识点的常规考察。
【难度系数】
0.8
14. 已知，AB，CD是$\odot O$的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且$OE=OF$. 找出图中两组相等的弧，并选择一组说明理由.
答案
14. $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$或$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$或$\overset{\frown}{CAB}=\overset{\frown}{DBA}$. $\because OE=OF$，$\therefore ∠OEF=∠OFE$. $\because OA=OB$，$\therefore ∠A=∠B$. $\because ∠OEF$是$△ AOE$的外角，$\therefore ∠OEF=∠A+∠AOC$. 同理可得$∠OFE=∠B+∠BOD$. $\because ∠OEF=∠OFE$，$∠A=∠B$，$\therefore ∠AOC=∠BOD$. $\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$. 由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$或$\overset{\frown}{CAB}=\overset{\frown}{DBA}$
解析
【分析】
要找出相等的弧，根据圆的性质，同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此解题核心是推导相等的圆心角。首先结合已知$OE=OF$，可得$△ OEF$是等腰三角形，两底角相等；再结合$OA$、$OB$都是圆的半径，$△ OAB$也是等腰三角形，底角$∠ A=∠ B$。接下来利用三角形外角的性质，建立$∠ OEF$、$∠ OFE$和圆心角$∠ AOC$、$∠ BOD$的关系，即可推出两个圆心角相等，进而得到对应弧相等，再结合公共弧可推出其余相等的弧。
【解析】
解：相等的弧有$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$、$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{CAB}=\overset{\frown}{DBA}$（任选两组即可），选择$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$证明如下：
1. $\because OE=OF$，$\therefore △ OEF$为等腰三角形，$∠ OEF=∠ OFE$；
2. $\because OA、OB$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形，$∠ A=∠ B$；
3. $\because ∠ OEF$是$△ AOE$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，可得$∠ OEF=∠ A+∠ AOC$；同理，$∠ OFE=∠ B+∠ BOD$；
4. 已知$∠ OEF=∠ OFE$，且$∠ A=∠ B$，$\therefore ∠ AOC=∠ BOD$；
5. 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
若证明其余相等的弧，可在$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$的基础上，同时加公共弧$\overset{\frown}{CD}$可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，同时加公共弧$\overset{\frown}{AB}$可得$\overset{\frown}{CAB}=\overset{\frown}{DBA}$。
【答案】
两组相等的弧：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$（或$\overset{\frown}{CAB}=\overset{\frown}{DBA}$，任选两组即可）。
以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$为例，理由：$\because OE=OF$，$\therefore ∠OEF=∠OFE$。$\because OA=OB$，$\therefore ∠A=∠B$。$\because ∠OEF=∠A+∠AOC$，$∠OFE=∠B+∠BOD$，$\therefore ∠AOC=∠BOD$，$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
【知识点】
等腰三角形性质；三角形外角性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的基础综合题，将三角形相关性质和圆中圆心角与弧的对应关系结合考查，解题关键是通过角的等量代换得到相等的圆心角，进而推出对应弧相等，掌握相关基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要找出相等的弧，根据圆的性质，同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此解题核心是推导相等的圆心角。首先结合已知$OE=OF$，可得$△ OEF$是等腰三角形，两底角相等；再结合$OA$、$OB$都是圆的半径，$△ OAB$也是等腰三角形，底角$∠ A=∠ B$。接下来利用三角形外角的性质，建立$∠ OEF$、$∠ OFE$和圆心角$∠ AOC$、$∠ BOD$的关系，即可推出两个圆心角相等，进而得到对应弧相等，再结合公共弧可推出其余相等的弧。
【解析】
解：相等的弧有$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$、$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{CAB}=\overset{\frown}{DBA}$（任选两组即可），选择$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$证明如下：
1. $\because OE=OF$，$\therefore △ OEF$为等腰三角形，$∠ OEF=∠ OFE$；
2. $\because OA、OB$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形，$∠ A=∠ B$；
3. $\because ∠ OEF$是$△ AOE$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，可得$∠ OEF=∠ A+∠ AOC$；同理，$∠ OFE=∠ B+∠ BOD$；
4. 已知$∠ OEF=∠ OFE$，且$∠ A=∠ B$，$\therefore ∠ AOC=∠ BOD$；
5. 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
若证明其余相等的弧，可在$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$的基础上，同时加公共弧$\overset{\frown}{CD}$可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，同时加公共弧$\overset{\frown}{AB}$可得$\overset{\frown}{CAB}=\overset{\frown}{DBA}$。
【答案】
两组相等的弧：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$（或$\overset{\frown}{CAB}=\overset{\frown}{DBA}$，任选两组即可）。
以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$为例，理由：$\because OE=OF$，$\therefore ∠OEF=∠OFE$。$\because OA=OB$，$\therefore ∠A=∠B$。$\because ∠OEF=∠A+∠AOC$，$∠OFE=∠B+∠BOD$，$\therefore ∠AOC=∠BOD$，$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
【知识点】
等腰三角形性质；三角形外角性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的基础综合题，将三角形相关性质和圆中圆心角与弧的对应关系结合考查，解题关键是通过角的等量代换得到相等的圆心角，进而推出对应弧相等，掌握相关基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
