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8. 如图1-5所示，木工师傅把一根长为1.6 m的长方体木料沿与左侧面平行的方向锯成3段后，表面积比原来增加了80 cm²，那么这根长方体木料原来的体积是多少？
答案
8. 解:因为把长方体木料沿与左侧面平行的方向锯成3段后,其表面积增加了四个截面的面积和,所以每个截面的面积为 80÷4=20(cm²),所以这根长方体木料原来的体积是 1.6×100×20=3200($\mathrm{cm}^3$)。
解析
【分析】
解题时首先思考切割长方体时表面积增加的来源：把长方体沿与左侧面平行的方向锯开时，每锯1次会新增2个和左侧面完全相同的横截面。要锯成3段需要锯2次，因此一共会新增4个横截面的面积，结合已知增加的总表面积可以先算出单个横截面的面积。再根据长方体体积=横截面面积×长度的公式计算体积即可，注意计算前要先统一长度和面积的单位，避免单位不匹配导致计算错误。
【解析】
解：
1. 计算新增横截面数量：锯成3段需要锯2次，每次新增2个横截面，共新增横截面：$2×2=4$（个）
2. 计算单个横截面面积：已知表面积共增加$80\mathrm{cm}^2$，因此单个横截面面积为：$80÷4=20$（$\mathrm{cm}^2$）
3. 统一单位：木料长度$1.6\mathrm{m}=1.6×100=160\mathrm{cm}$
4. 计算木料原体积：$V=$横截面面积$×$长度$=20×160=3200$（$\mathrm{cm}^3$）
【答案】
$3200\mathrm{cm}^3$
【知识点】
长方体体积计算，切割的表面积变化，单位换算
【点评】
本题属于长方体体积的典型实际应用题，解题的关键是准确判断切割后新增的面的数量，同时要注意单位统一，是对立体图形基础性质的结合考察。
【难度系数】
0.7
解题时首先思考切割长方体时表面积增加的来源：把长方体沿与左侧面平行的方向锯开时，每锯1次会新增2个和左侧面完全相同的横截面。要锯成3段需要锯2次，因此一共会新增4个横截面的面积，结合已知增加的总表面积可以先算出单个横截面的面积。再根据长方体体积=横截面面积×长度的公式计算体积即可，注意计算前要先统一长度和面积的单位，避免单位不匹配导致计算错误。
【解析】
解：
1. 计算新增横截面数量：锯成3段需要锯2次，每次新增2个横截面，共新增横截面：$2×2=4$（个）
2. 计算单个横截面面积：已知表面积共增加$80\mathrm{cm}^2$，因此单个横截面面积为：$80÷4=20$（$\mathrm{cm}^2$）
3. 统一单位：木料长度$1.6\mathrm{m}=1.6×100=160\mathrm{cm}$
4. 计算木料原体积：$V=$横截面面积$×$长度$=20×160=3200$（$\mathrm{cm}^3$）
【答案】
$3200\mathrm{cm}^3$
【知识点】
长方体体积计算，切割的表面积变化，单位换算
【点评】
本题属于长方体体积的典型实际应用题，解题的关键是准确判断切割后新增的面的数量，同时要注意单位统一，是对立体图形基础性质的结合考察。
【难度系数】
0.7
9. 李师傅根据某三棱柱零件(如图1-6)，画出了从三个方向看到的该三棱柱零件的形状图，如图1-7：
(1)把从正面看、从左面看、从上面看到的该三棱柱零件的形状的名称填写在相应的横线上。
(2)已知该三棱柱零件的体积为$1200\ \mathrm{cm}^3$，从三个方向看到的该三棱柱零件的形状图中的线段$AB=10\ \mathrm{cm}$，$CD=20\ \mathrm{cm}$，请根据这些数据求出线段$EF$的长。
从正面看
从上面看
； 从左面看
；(1)把从正面看、从左面看、从上面看到的该三棱柱零件的形状的名称填写在相应的横线上。
(2)已知该三棱柱零件的体积为$1200\ \mathrm{cm}^3$，从三个方向看到的该三棱柱零件的形状图中的线段$AB=10\ \mathrm{cm}$，$CD=20\ \mathrm{cm}$，请根据这些数据求出线段$EF$的长。
答案
9. 解:(1)从正面看 从上面看 从左面看
(2)因为$\frac{1}{2}×AB×EF×CD=1\ 200(\mathrm{cm}^3)$,$AB=10\ \mathrm{cm},CD=20\ \mathrm{cm}$,所以$\frac{1}{2}×10×EF×20=1\ 200$($\mathrm{cm}^3$),所以$EF=12\ \mathrm{cm}$。
(2)因为$\frac{1}{2}×AB×EF×CD=1\ 200(\mathrm{cm}^3)$,$AB=10\ \mathrm{cm},CD=20\ \mathrm{cm}$,所以$\frac{1}{2}×10×EF×20=1\ 200$($\mathrm{cm}^3$),所以$EF=12\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
（1）解决第一问需结合三棱柱的结构特征回忆三视图的特点：正对着三棱柱的侧面观察，正面看到的是长方形；从上方俯视三棱柱，看到的是三棱柱的底面三角形；从左侧观察，看到的是宽度较窄的长方形，按照特征对应填写即可。
（2）解决第二问的核心是掌握三棱柱的体积公式：三棱柱体积=底面三角形面积×侧棱长。首先明确三视图中各线段对应几何体的参数：AB是底面三角形的底边长，EF是底面三角形底边AB上的高，CD是三棱柱的侧棱长，将已知数据代入体积公式建立关于EF的方程，解方程即可求出EF的长度。
【解析】
(1) 根据三视图的定义和三棱柱的结构特征，三个视图依次为从正面看到的形状图、从上面看到的形状图、从左面看到的形状图。
(2) 三棱柱体积公式为$V=S_{\mathrm{底}}× \mathrm{侧棱长}$，其中底面三角形面积$S_{\mathrm{底}}=\frac{1}{2}× AB× EF$，侧棱长为CD。
将$V=1200\ \mathrm{cm}^3$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$CD=20\ \mathrm{cm}$代入公式得：
$\frac{1}{2}×10× EF×20=1200$
化简得$100EF=1200$，解得$EF=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 从正面看、从上面看、从左面看
(2) $EF$的长为$12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
几何体的三视图，三棱柱体积计算，一元一次方程应用
【点评】
本题将三视图和几何体体积计算结合考查，解题的关键是准确对应三视图中线段和几何体参数的关系，熟练掌握体积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问需结合三棱柱的结构特征回忆三视图的特点：正对着三棱柱的侧面观察，正面看到的是长方形；从上方俯视三棱柱，看到的是三棱柱的底面三角形；从左侧观察，看到的是宽度较窄的长方形，按照特征对应填写即可。
（2）解决第二问的核心是掌握三棱柱的体积公式：三棱柱体积=底面三角形面积×侧棱长。首先明确三视图中各线段对应几何体的参数：AB是底面三角形的底边长，EF是底面三角形底边AB上的高，CD是三棱柱的侧棱长，将已知数据代入体积公式建立关于EF的方程，解方程即可求出EF的长度。
【解析】
(1) 根据三视图的定义和三棱柱的结构特征，三个视图依次为从正面看到的形状图、从上面看到的形状图、从左面看到的形状图。
(2) 三棱柱体积公式为$V=S_{\mathrm{底}}× \mathrm{侧棱长}$，其中底面三角形面积$S_{\mathrm{底}}=\frac{1}{2}× AB× EF$，侧棱长为CD。
将$V=1200\ \mathrm{cm}^3$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$CD=20\ \mathrm{cm}$代入公式得：
$\frac{1}{2}×10× EF×20=1200$
化简得$100EF=1200$，解得$EF=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 从正面看、从上面看、从左面看
(2) $EF$的长为$12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
几何体的三视图，三棱柱体积计算，一元一次方程应用
【点评】
本题将三视图和几何体体积计算结合考查，解题的关键是准确对应三视图中线段和几何体参数的关系，熟练掌握体积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
10. 现有一个表面涂满颜色的正方体，将每条棱都四等分，再把它切开变成若干个小正方体，则其中三面都涂色的有
10. 现有一个表面涂满颜色的正方体，将每条棱都四等分，再把它切开变成若干个小正方体，则其中三面都涂色的有
8
个，两面都涂色的有24
个，只有一面涂色的有24
个，各面都没有涂色的有8
个。答案
10. 8 24 24 8
解析
【分析】
解决这类正方体涂色切割问题，首先要明确不同涂色情况的小正方体在大正方体上的位置规律：①三面涂色的小正方体仅出现在大正方体的顶点位置；②两面涂色的小正方体出现在大正方体的棱上，且不在顶点处；③只有一面涂色的小正方体出现在大正方体每个面的中间区域，不在棱上；④各面都没有涂色的小正方体在大正方体的内部，完全不接触外表面。再结合正方体有8个顶点、12条棱、6个面的特征，分步计算即可。
【解析】
已知大正方体每条棱被四等分，切割后每条棱上有4个小正方体：
1. 三面涂色的小正方体：都在大正方体的顶点处，正方体共有8个顶点，因此三面涂色的有8个；
2. 两面涂色的小正方体：每条棱上除去两端顶点处的2个三面涂色的小正方体，剩余4-2=2个为两面涂色，正方体共12条棱，因此两面涂色的有12×2=24个；
3. 只有一面涂色的小正方体：每个面上除去棱上的小正方体，中间区域是边长为(4-2)的正方形，每个面有(4-2)×(4-2)=4个，正方体共6个面，因此只有一面涂色的有6×4=24个；
4. 各面都没有涂色的小正方体：是大正方体内部棱长为(4-2)的小正方体，总数为2×2×2=8个。
【答案】
8；24；24；8
【知识点】
正方体的特征；立体图形的切割；空间想象
【点评】
本题的解题核心是找准不同涂色情况的小正方体对应的位置，结合正方体的基本结构特征计算即可，掌握该规律后，可推广到棱被n等分的同类涂色切割问题。
【难度系数】
0.7
解决这类正方体涂色切割问题，首先要明确不同涂色情况的小正方体在大正方体上的位置规律：①三面涂色的小正方体仅出现在大正方体的顶点位置；②两面涂色的小正方体出现在大正方体的棱上，且不在顶点处；③只有一面涂色的小正方体出现在大正方体每个面的中间区域，不在棱上；④各面都没有涂色的小正方体在大正方体的内部，完全不接触外表面。再结合正方体有8个顶点、12条棱、6个面的特征，分步计算即可。
【解析】
已知大正方体每条棱被四等分，切割后每条棱上有4个小正方体：
1. 三面涂色的小正方体：都在大正方体的顶点处，正方体共有8个顶点，因此三面涂色的有8个；
2. 两面涂色的小正方体：每条棱上除去两端顶点处的2个三面涂色的小正方体，剩余4-2=2个为两面涂色，正方体共12条棱，因此两面涂色的有12×2=24个；
3. 只有一面涂色的小正方体：每个面上除去棱上的小正方体，中间区域是边长为(4-2)的正方形，每个面有(4-2)×(4-2)=4个，正方体共6个面，因此只有一面涂色的有6×4=24个；
4. 各面都没有涂色的小正方体：是大正方体内部棱长为(4-2)的小正方体，总数为2×2×2=8个。
【答案】
8；24；24；8
【知识点】
正方体的特征；立体图形的切割；空间想象
【点评】
本题的解题核心是找准不同涂色情况的小正方体对应的位置，结合正方体的基本结构特征计算即可，掌握该规律后，可推广到棱被n等分的同类涂色切割问题。
【难度系数】
0.7
11.【项目式学习】
项目主题:包装纸盒的设计。
项目内容:精美的包装总是能让人心情愉悦,市场上的包装更是多种多样,学会用数学的眼光看世界,某学习小组结合“丰富的图形世界”的学习,开展了一次设计之旅。
任务一:图1-8中的三个几何体是市场上常见的包装模型,请分别写出每种包装对应的几何体的名称。
(1)①
任务二:现将6瓶某饮料用任务一中的三个几何体分别进行包装,每瓶该饮料近似看作一个圆柱,该饮料每瓶高约是14 cm,底面圆半径约是6 cm,图1-9①②③分别是6瓶该饮料用几何体①、几何体②、几何体③包装后从上面看到的形状图。
(2)图1-9①的形状图中长方形的面积是
(3)量得图1-9②中大圆的半径约是18 cm,请写出用几何体②包装的侧面积:
(4)请画出图1-9③对应几何体的其中一种表面展开图。
项目主题:包装纸盒的设计。
项目内容:精美的包装总是能让人心情愉悦,市场上的包装更是多种多样,学会用数学的眼光看世界,某学习小组结合“丰富的图形世界”的学习,开展了一次设计之旅。
任务一:图1-8中的三个几何体是市场上常见的包装模型,请分别写出每种包装对应的几何体的名称。
(1)①
长方体
② 圆柱
③正三棱柱任务二:现将6瓶某饮料用任务一中的三个几何体分别进行包装,每瓶该饮料近似看作一个圆柱,该饮料每瓶高约是14 cm,底面圆半径约是6 cm,图1-9①②③分别是6瓶该饮料用几何体①、几何体②、几何体③包装后从上面看到的形状图。
(2)图1-9①的形状图中长方形的面积是
864
cm²;(3)量得图1-9②中大圆的半径约是18 cm,请写出用几何体②包装的侧面积:
504π
cm²(结果保留π);(4)请画出图1-9③对应几何体的其中一种表面展开图。
答案
11. 解:(1)①长方体 ②圆柱
(2)864
(3)$504π$
(4)略。
(2)864
(3)$504π$
(4)略。
解析
【分析】
1. 第(1)问：结合常见几何体的特征判断即可，①有6个长方形的面，对应长方体；②有2个大小相等的圆形底面和1个曲面侧面，对应圆柱。
2. 第(2)问：先计算单个饮料瓶的底面直径，再结合俯视图中6个圆的摆放规律，确定长方形的长和宽，最后代入长方形面积公式计算即可。
3. 第(3)问：几何体②是圆柱，圆柱侧面积=底面周长×高，已知底面大圆半径和圆柱的高（即饮料瓶高度），代入公式计算即可。
4. 第(4)问：正三棱柱的表面展开图由2个全等的正三角形和3个长方形组成，画出符合特征的图形即可。
【解析】
(1) 根据几何体特征：①的六个面均为矩形，属于长方体；②有两个平行且全等的圆形底面，侧面为曲面，属于圆柱。
(2) 饮料瓶底面半径为6cm，因此底面直径为$6×2=12\mathrm{cm}$。观察俯视图可知，长方形的长对应3个饮料瓶的直径，即$3×12=36\mathrm{cm}$，宽对应2个饮料瓶的直径，即$2×12=24\mathrm{cm}$，因此长方形面积为$36×24=864\mathrm{cm}^2$。
(3) 几何体②为圆柱，底面半径$r=18\mathrm{cm}$，高$h=14\mathrm{cm}$（与饮料瓶高度一致），根据圆柱侧面积公式：$\mathrm{侧面积}=2π rh$，代入得$2π×18×14=504π\mathrm{cm}^2$。
(4) 正三棱柱展开图包含2个全等的正三角形和3个长方形，画出符合该特征的图形即可。
【答案】
(1)①长方体；②圆柱
(2)$864$
(3)$504π$
(4)略
【知识点】
几何体的识别；长方形面积计算；圆柱侧面积计算
【点评】
本题结合生活中的包装设计场景考查几何基础知识，将抽象的几何知识与实际应用结合，侧重考查对几何体特征的掌握和基础公式的运用，解题时结合实际摆放规律确定相关边长即可。
【难度系数】
0.8
1. 第(1)问：结合常见几何体的特征判断即可，①有6个长方形的面，对应长方体；②有2个大小相等的圆形底面和1个曲面侧面，对应圆柱。
2. 第(2)问：先计算单个饮料瓶的底面直径，再结合俯视图中6个圆的摆放规律，确定长方形的长和宽，最后代入长方形面积公式计算即可。
3. 第(3)问：几何体②是圆柱，圆柱侧面积=底面周长×高，已知底面大圆半径和圆柱的高（即饮料瓶高度），代入公式计算即可。
4. 第(4)问：正三棱柱的表面展开图由2个全等的正三角形和3个长方形组成，画出符合特征的图形即可。
【解析】
(1) 根据几何体特征：①的六个面均为矩形，属于长方体；②有两个平行且全等的圆形底面，侧面为曲面，属于圆柱。
(2) 饮料瓶底面半径为6cm，因此底面直径为$6×2=12\mathrm{cm}$。观察俯视图可知，长方形的长对应3个饮料瓶的直径，即$3×12=36\mathrm{cm}$，宽对应2个饮料瓶的直径，即$2×12=24\mathrm{cm}$，因此长方形面积为$36×24=864\mathrm{cm}^2$。
(3) 几何体②为圆柱，底面半径$r=18\mathrm{cm}$，高$h=14\mathrm{cm}$（与饮料瓶高度一致），根据圆柱侧面积公式：$\mathrm{侧面积}=2π rh$，代入得$2π×18×14=504π\mathrm{cm}^2$。
(4) 正三棱柱展开图包含2个全等的正三角形和3个长方形，画出符合该特征的图形即可。
【答案】
(1)①长方体；②圆柱
(2)$864$
(3)$504π$
(4)略
【知识点】
几何体的识别；长方形面积计算；圆柱侧面积计算
【点评】
本题结合生活中的包装设计场景考查几何基础知识，将抽象的几何知识与实际应用结合，侧重考查对几何体特征的掌握和基础公式的运用，解题时结合实际摆放规律确定相关边长即可。
【难度系数】
0.8
