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6. 了解切线长的概念，探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等。
答案
证明：
切线长概念
经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
---
定理证明
已知：点$P$是$\odot O$外一点，$PA$、$PB$分别切$\odot O$于点$A$、$B$。
求证：$PA=PB$。
连接$OA$、$OB$、$OP$。
$\because PA$、$PB$是$\odot O$的切线，
$\therefore OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$（圆的切线垂直于经过切点的半径），
即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OAP$和$\mathrm{Rt}△ OBP$中，
$\begin{cases}OA=OB \\OP=OP\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAP ≌ \mathrm{Rt}△ OBP(\mathrm{HL})$，
$\therefore PA=PB$。
切线长概念
经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
---
定理证明
已知：点$P$是$\odot O$外一点，$PA$、$PB$分别切$\odot O$于点$A$、$B$。
求证：$PA=PB$。
连接$OA$、$OB$、$OP$。
$\because PA$、$PB$是$\odot O$的切线，
$\therefore OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$（圆的切线垂直于经过切点的半径），
即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OAP$和$\mathrm{Rt}△ OBP$中，
$\begin{cases}OA=OB \\OP=OP\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAP ≌ \mathrm{Rt}△ OBP(\mathrm{HL})$，
$\therefore PA=PB$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确切线长的定义，再将文字命题转化为几何证明题，写出已知和求证。结合切线的性质可得到两个直角三角形，再利用圆的半径相等、公共边相等的条件，通过HL判定两个直角三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可证明两条切线长相等。
【解析】
切线长概念
经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
定理证明
已知：点$P$是$\odot O$外一点，$PA$、$PB$分别切$\odot O$于点$A$、$B$。
求证：$PA=PB$。
证明：连接$OA$、$OB$、$OP$。
$\because PA$、$PB$是$\odot O$的切线，
$\therefore OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$（圆的切线垂直于经过切点的半径），
即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OAP$和$\mathrm{Rt}△ OBP$中：
$\begin{cases}OA=OB \\OP=OP\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAP ≌ \mathrm{Rt}△ OBP(\mathrm{HL})$，
$\therefore PA=PB$。
【答案】
切线长概念：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长；过圆外一点的两条切线长相等，证明过程如上。
【知识点】
切线长定义、切线的性质、全等三角形判定
【点评】
本题是圆的基础定理推导题，核心是利用切线的性质构造直角三角形，再通过全等证明线段相等，该定理是圆中推导线段等量关系、求解线段长度的常用依据，需熟练掌握其推导逻辑。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确切线长的定义，再将文字命题转化为几何证明题，写出已知和求证。结合切线的性质可得到两个直角三角形，再利用圆的半径相等、公共边相等的条件，通过HL判定两个直角三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可证明两条切线长相等。
【解析】
切线长概念
经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
定理证明
已知：点$P$是$\odot O$外一点，$PA$、$PB$分别切$\odot O$于点$A$、$B$。
求证：$PA=PB$。
证明：连接$OA$、$OB$、$OP$。
$\because PA$、$PB$是$\odot O$的切线，
$\therefore OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$（圆的切线垂直于经过切点的半径），
即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OAP$和$\mathrm{Rt}△ OBP$中：
$\begin{cases}OA=OB \\OP=OP\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAP ≌ \mathrm{Rt}△ OBP(\mathrm{HL})$，
$\therefore PA=PB$。
【答案】
切线长概念：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长；过圆外一点的两条切线长相等，证明过程如上。
【知识点】
切线长定义、切线的性质、全等三角形判定
【点评】
本题是圆的基础定理推导题，核心是利用切线的性质构造直角三角形，再通过全等证明线段相等，该定理是圆中推导线段等量关系、求解线段长度的常用依据，需熟练掌握其推导逻辑。
【难度系数】
0.8
例1 如图3.1.1，在$\odot O$中，AB是直径，CD是弦，延长AB，CD交于点P，且$AB=2DP$，$∠ P=18°$，求$∠ AOC$的度数。
答案
连接OD,$\because AB=2DP=2OD,∠ P=18°,\therefore OD=DP,∠ DOP=∠ P=18°.\because ∠ ODC$ 是$△ OPD$的一个外角,$\therefore ∠ ODC=∠ P+∠ DOP=18°+18°=36°.\because OD=OC,\therefore ∠ OCD=∠ ODC=36°.\therefore ∠ AOC=∠ OCD+∠ P=36°+18°=54°$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，AB为$\odot O$的直径，因此直径长度是半径的2倍，结合$AB=2DP$可推出半径$OD$与$DP$长度相等，因此优先考虑连接$OD$构造等腰三角形。先利用等腰三角形等边对等角的性质求出$∠ DOP$，再借助三角形外角的性质求出$∠ ODC$的度数，结合$OC=OD$得到$∠ OCD$的度数，最后再次利用三角形外角的性质即可求出$∠ AOC$的度数。
【解析】
连接$OD$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，$OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore AB=2OD$，
又$\because AB=2DP$，
$\therefore OD=DP$，
$\therefore ∠ DOP=∠ P=18°$，
$\because ∠ ODC$是$△ OPD$的外角，
$\therefore ∠ ODC=∠ P+∠ DOP=18°+18°=36°$，
$\because OC、OD$均为$\odot O$的半径，
$\therefore OC=OD$，
$\therefore ∠ OCD=∠ ODC=36°$，
$\because ∠ AOC$是$△ COP$的外角，
$\therefore ∠ AOC=∠ OCD+∠ P=36°+18°=54°$。
【答案】
$\boldsymbol{54°}$
【知识点】
圆的基本概念；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的典型基础题，解题的核心是通过连接半径$OD$构造等腰三角形，将已知的角度条件和圆的半径相等的性质相结合，逐步推导得到待求角度，掌握辅助线的构造思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，AB为$\odot O$的直径，因此直径长度是半径的2倍，结合$AB=2DP$可推出半径$OD$与$DP$长度相等，因此优先考虑连接$OD$构造等腰三角形。先利用等腰三角形等边对等角的性质求出$∠ DOP$，再借助三角形外角的性质求出$∠ ODC$的度数，结合$OC=OD$得到$∠ OCD$的度数，最后再次利用三角形外角的性质即可求出$∠ AOC$的度数。
【解析】
连接$OD$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，$OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore AB=2OD$，
又$\because AB=2DP$，
$\therefore OD=DP$，
$\therefore ∠ DOP=∠ P=18°$，
$\because ∠ ODC$是$△ OPD$的外角，
$\therefore ∠ ODC=∠ P+∠ DOP=18°+18°=36°$，
$\because OC、OD$均为$\odot O$的半径，
$\therefore OC=OD$，
$\therefore ∠ OCD=∠ ODC=36°$，
$\because ∠ AOC$是$△ COP$的外角，
$\therefore ∠ AOC=∠ OCD+∠ P=36°+18°=54°$。
【答案】
$\boldsymbol{54°}$
【知识点】
圆的基本概念；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的典型基础题，解题的核心是通过连接半径$OD$构造等腰三角形，将已知的角度条件和圆的半径相等的性质相结合，逐步推导得到待求角度，掌握辅助线的构造思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
