4.如图，在$△ ABC$中，AD为中线，E为AB上一点，AD，CE交于点F，且$AE=EF$，求证：$AB=CF$.

4. 证明:延长 $AD$ 至点 $G$,使 $DG=AD$, 连接 $CG$. 易证 $△ ABD≌△ GCD. \therefore AB=CG, ∠ G=∠ BAD. \because AE=EF, \therefore ∠ EAF=∠ EFA=∠ GFC. \therefore ∠ G=∠ GFC. \therefore CG=CF. \therefore AB=CF.$

5. 如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$，且$∠ B=2∠ C$. 求证：$AB+BD=AC$.

5. 证明:在边 $AC$ 上截取 $AP=AB$, 连接 $PD. \because AD$ 平分 $∠ BAC, \therefore ∠ BAD = ∠ PAD.$ 在 $△ ABD$ 和 $△ APD$ 中, $\begin{cases}AB=AP, \\ ∠ BAD=∠ PAD, \\ AD=AD,\end{cases}$ $△ ABD≌△ APD(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ B=∠ APD, BD=PD. \because ∠ B=2∠ C, ∠ APD=∠ PDC+∠ C, \therefore 2∠ C=∠ PDC+∠ C, \therefore ∠ PDC=∠ C, \therefore PD=PC, \therefore BD=PC, \therefore AB+BD=AP+PC=AC.$

6. 如图,在△ABC中,∠BCA=2∠A,BC=$\frac{1}{2}$AC,求∠ABC的度数.

6. 解:作 $∠ BCA$ 的平分线交 $AB$ 于点 $E$,则 $∠ ECA=∠ BCE=\frac{1}{2}∠ BCA, \because ∠ BCA=2∠ A, \therefore ∠ ECA=∠ A, \therefore CE=AE$, 过点 $E$ 作 $ED⊥ AC$ 于点 $D$, 则 $CD=AD=\frac{1}{2}AC. \because BC=\frac{1}{2}AC, \therefore BC=DC$, 在 $△ BCE$ 和 $△ DCE$ 中, $\begin{cases}BC=DC, \\ ∠ BCE=∠ DCE, \\ CE=CE,\end{cases}$ $△ BCE≌△ DCE(\mathrm{SAS}). \therefore ∠ ABC=∠ CDE=90°.$