登录
9. 如图，$AD ⊥ BC$于点D，$BD=CD$，点C在AE的垂直平分线上.若$AB=5$，$BD=3$，则DE的长为（
A.5
B.8
C.11
D.13
B
）A.5
B.8
C.11
D.13
答案
9.B
10. 证明定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知:如图,在$△ ABC$中,分别作边AB,边BC的垂直平分线,垂足分别为E,F,两直线相交于点P.
求证:AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P,且点P到点A,B,C的距离相等.
证明:∵P是边AB垂直平分线上的一点,
∴
同理可得,$PB=$
∴$PA=PB=$
∴
(与线段两个端点距离相等的点在这条线段的
∴AB,BC,AC的垂直平分线
已知:如图,在$△ ABC$中,分别作边AB,边BC的垂直平分线,垂足分别为E,F,两直线相交于点P.
求证:AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P,且点P到点A,B,C的距离相等.
证明:∵P是边AB垂直平分线上的一点,
∴
PA
=PB
(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
).同理可得,$PB=$
PC
.∴$PA=PB=$
PC
,∴
点 P 是边AC 垂直平分线上的一点
(与线段两个端点距离相等的点在这条线段的
垂直平分线
上),∴AB,BC,AC的垂直平分线
相交于点 P
,且点P到点A,B,C的距离相等.答案
10. PA PB 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 PC PC 点 P 是边AC 垂直平分线上的一点 垂直平分线 相交于点 P
11.[2023长沙模拟]如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证:OE垂直平分BD.
答案
证明：
在△AOB和△COD中，
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ C \\OA=OC \\∠ AOB=∠ COD\end{array} $
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
∴点O在BD的垂直平分线上。
又∵BE=DE，
∴点E在BD的垂直平分线上。
∵两点确定一条直线，
∴OE垂直平分BD。
在△AOB和△COD中，
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ C \\OA=OC \\∠ AOB=∠ COD\end{array} $
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
∴点O在BD的垂直平分线上。
又∵BE=DE，
∴点E在BD的垂直平分线上。
∵两点确定一条直线，
∴OE垂直平分BD。
12.【推理能力】如图，在$△ ABC$中，边AB的垂直平分线$l_1$交BC于点D，边AC的垂直平分线$l_2$交BC于点E，$l_1$与$l_2$相交于点O，$△ ADE$的周长为6 cm.
(1)求证:$AD=BD,AE=CE$；
(2)求BC的长；
(3)分别连接$OA$,$OB$,$OC$,若$△ OBC$的周长为16 cm,求$OA$的长.
(1)求证:$AD=BD,AE=CE$；
(2)求BC的长；
(3)分别连接$OA$,$OB$,$OC$,若$△ OBC$的周长为16 cm,求$OA$的长.
答案
12. (1)证明略 (2)$BC=6$ cm (3)$OA=5$ cm
