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11. 计算:(1)$\sqrt[3]{-27} - \sqrt{49}$。
(2)$\sqrt[3]{8} - \sqrt{36} + 2\sqrt{\frac{1}{4}}$。
(3)$-4^2 + \sqrt[3]{8} + (-1)^{2026}$。
(4)$\sqrt{4} + \sqrt[3]{27} - |\sqrt{3} - 3|$。
(2)$\sqrt[3]{8} - \sqrt{36} + 2\sqrt{\frac{1}{4}}$。
(3)$-4^2 + \sqrt[3]{8} + (-1)^{2026}$。
(4)$\sqrt{4} + \sqrt[3]{27} - |\sqrt{3} - 3|$。
答案
11. 解：(1)原式$=-10$。
(2)原式$=-3$。
(3)原式$=-13$。
(4)原式$=2+\sqrt{3}$。
(2)原式$=-3$。
(3)原式$=-13$。
(4)原式$=2+\sqrt{3}$。
解析
【分析】
这4道小题均为实数的基础混合运算，解题遵循“先算高级运算、再算加减”的顺序：第一步先分别计算每一项的乘方、开立方、开平方、绝对值，运算过程中重点注意符号判断：①负数的立方根仍为负数，算术平方根结果为非负数；②无括号的负整数平方仅对底数平方，符号保留，如$-4^2=-16$；③负数的偶次幂为正数；④化简绝对值前先判断绝对值内代数式的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，最后将各部分结果合并计算即可。
【解析】
(1) 先分别计算开方：$\sqrt[3]{-27}=-3$，$\sqrt{49}=7$
原式$=-3 - 7 = -10$
(2) 先分别计算各部分：$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt{36}=6$，$2\sqrt{\frac{1}{4}}=2×\frac{1}{2}=1$
原式$=2 - 6 + 1 = -3$
(3) 先分别计算乘方、开方：$-4^2=-16$，$\sqrt[3]{8}=2$，$(-1)^{2026}=1$（负数的偶次幂为正）
原式$=-16 + 2 + 1 = -13$
(4) 先分别计算开方、绝对值：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt[3]{27}=3$，因为$\sqrt{3}＜3$，所以$|\sqrt{3}-3|=3-\sqrt{3}$
原式$=2 + 3 - (3 - \sqrt{3}) = 2 + 3 - 3 + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}$
【答案】
(1)$-10$；(2)$-3$；(3)$-13$；(4)$2+\sqrt{3}$
【知识点】
实数混合运算，开平方与开立方，绝对值化简
【点评】
本题属于实数运算的常规基础题，核心考查乘方、开方、绝对值的运算规则，解题时需注意运算顺序和符号判断，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.7
这4道小题均为实数的基础混合运算，解题遵循“先算高级运算、再算加减”的顺序：第一步先分别计算每一项的乘方、开立方、开平方、绝对值，运算过程中重点注意符号判断：①负数的立方根仍为负数，算术平方根结果为非负数；②无括号的负整数平方仅对底数平方，符号保留，如$-4^2=-16$；③负数的偶次幂为正数；④化简绝对值前先判断绝对值内代数式的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，最后将各部分结果合并计算即可。
【解析】
(1) 先分别计算开方：$\sqrt[3]{-27}=-3$，$\sqrt{49}=7$
原式$=-3 - 7 = -10$
(2) 先分别计算各部分：$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt{36}=6$，$2\sqrt{\frac{1}{4}}=2×\frac{1}{2}=1$
原式$=2 - 6 + 1 = -3$
(3) 先分别计算乘方、开方：$-4^2=-16$，$\sqrt[3]{8}=2$，$(-1)^{2026}=1$（负数的偶次幂为正）
原式$=-16 + 2 + 1 = -13$
(4) 先分别计算开方、绝对值：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt[3]{27}=3$，因为$\sqrt{3}＜3$，所以$|\sqrt{3}-3|=3-\sqrt{3}$
原式$=2 + 3 - (3 - \sqrt{3}) = 2 + 3 - 3 + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}$
【答案】
(1)$-10$；(2)$-3$；(3)$-13$；(4)$2+\sqrt{3}$
【知识点】
实数混合运算，开平方与开立方，绝对值化简
【点评】
本题属于实数运算的常规基础题，核心考查乘方、开方、绝对值的运算规则，解题时需注意运算顺序和符号判断，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.7
12. (1)已知$x$是$\sqrt{17}+2$的小数部分，$y$是$\sqrt{17}-1$的整数部分，求$x,y$的值。
(2)在(1)的条件下，求$(\sqrt{17}-x)^y$的立方根。
(2)在(1)的条件下，求$(\sqrt{17}-x)^y$的立方根。
答案
12. 解:(1)因为$16＜17＜25$,所以$4＜\sqrt{17}＜5$,
所以$6＜\sqrt{17}+2＜7,3＜\sqrt{17}-1＜4$,
所以$\sqrt{17}+2$的小数部分为$\sqrt{17}+2-6=\sqrt{17}-4$,$\sqrt{17}-1$的整数部分为3,
所以$x=\sqrt{17}-4,y=3$。
(2)当$x=\sqrt{17}-4,y=3$时,
$(\sqrt{17}-x)^y=[\sqrt{17}-(\sqrt{17}-4)]^3=4^3=64$,64的立方根为4。
所以$6＜\sqrt{17}+2＜7,3＜\sqrt{17}-1＜4$,
所以$\sqrt{17}+2$的小数部分为$\sqrt{17}+2-6=\sqrt{17}-4$,$\sqrt{17}-1$的整数部分为3,
所以$x=\sqrt{17}-4,y=3$。
(2)当$x=\sqrt{17}-4,y=3$时,
$(\sqrt{17}-x)^y=[\sqrt{17}-(\sqrt{17}-4)]^3=4^3=64$,64的立方根为4。
解析
【分析】
解题首先要估算出$\sqrt{17}$的取值范围，这是求解无理数整数部分、小数部分的核心。首先找与17相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{17}$的区间，再根据不等式的性质分别推导$\sqrt{17}+2$、$\sqrt{17}-1$的范围，就能得到$\sqrt{17}+2$的小数部分$x$和$\sqrt{17}-1$的整数部分$y$。第二问将$x$、$y$代入代数式，先计算括号内的部分，再计算乘方，最后求结果的立方根即可。
【解析】
(1) 因为$16＜17＜25$，对三个数同时开算术平方根可得$4＜\sqrt{17}＜5$。
给不等式$4＜\sqrt{17}＜5$各部分加2，得$6＜\sqrt{17}+2＜7$，因此$\sqrt{17}+2$的整数部分是6，小数部分$x = (\sqrt{17}+2) - 6 = \sqrt{17} - 4$。
给不等式$4＜\sqrt{17}＜5$各部分减1，得$3＜\sqrt{17}-1＜4$，因此$\sqrt{17}-1$的整数部分$y=3$。
(2) 将$x=\sqrt{17}-4$，$y=3$代入$(\sqrt{17}-x)^y$得：
$(\sqrt{17}-x)^y = [\sqrt{17}-(\sqrt{17}-4)]^3 = 4^3 = 64$。
因为$4^3=64$，所以64的立方根是4。
【答案】
(1)$x=\sqrt{17}-4$，$y=3$；(2)4
【知识点】
无理数的估算、代数式求值、立方根计算
【点评】
本题主要考查用“夹逼法”估算无理数的范围，再结合代数式运算和立方根的定义求解，解题关键是准确估算出$\sqrt{17}$的取值范围，整体逻辑清晰，掌握估算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题首先要估算出$\sqrt{17}$的取值范围，这是求解无理数整数部分、小数部分的核心。首先找与17相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{17}$的区间，再根据不等式的性质分别推导$\sqrt{17}+2$、$\sqrt{17}-1$的范围，就能得到$\sqrt{17}+2$的小数部分$x$和$\sqrt{17}-1$的整数部分$y$。第二问将$x$、$y$代入代数式，先计算括号内的部分，再计算乘方，最后求结果的立方根即可。
【解析】
(1) 因为$16＜17＜25$，对三个数同时开算术平方根可得$4＜\sqrt{17}＜5$。
给不等式$4＜\sqrt{17}＜5$各部分加2，得$6＜\sqrt{17}+2＜7$，因此$\sqrt{17}+2$的整数部分是6，小数部分$x = (\sqrt{17}+2) - 6 = \sqrt{17} - 4$。
给不等式$4＜\sqrt{17}＜5$各部分减1，得$3＜\sqrt{17}-1＜4$，因此$\sqrt{17}-1$的整数部分$y=3$。
(2) 将$x=\sqrt{17}-4$，$y=3$代入$(\sqrt{17}-x)^y$得：
$(\sqrt{17}-x)^y = [\sqrt{17}-(\sqrt{17}-4)]^3 = 4^3 = 64$。
因为$4^3=64$，所以64的立方根是4。
【答案】
(1)$x=\sqrt{17}-4$，$y=3$；(2)4
【知识点】
无理数的估算、代数式求值、立方根计算
【点评】
本题主要考查用“夹逼法”估算无理数的范围，再结合代数式运算和立方根的定义求解，解题关键是准确估算出$\sqrt{17}$的取值范围，整体逻辑清晰，掌握估算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
13. (1)已知某正数的平方根为$a+3$和$2a-15$，求这个数。
(2)已知$m,n$是实数，且$\sqrt{2m+1} + |3n-2|=0$，求$m^2 +n^2$的平方根。
(2)已知$m,n$是实数，且$\sqrt{2m+1} + |3n-2|=0$，求$m^2 +n^2$的平方根。
答案
13. 解：(1)因为一个正数的平方根是$a+3$与$2a-15$,
所以$(a+3)+(2a-15)=0$,
解得$a=4$,
所以$a+3=7,7^2=49$,
所以这个数是49。
(2)由题意得,
$2m+1=0,3n-2=0$,
所以$m=-\frac{1}{2},n=\frac{2}{3}$,
所以$m^2+n^2=(-\frac{1}{2})^2+(\frac{2}{3})^2=\frac{1}{4}+\frac{4}{9}=\frac{25}{36}$,所以$m^2+n^2$的平方根是$\pm\frac{5}{6}$。
所以$(a+3)+(2a-15)=0$,
解得$a=4$,
所以$a+3=7,7^2=49$,
所以这个数是49。
(2)由题意得,
$2m+1=0,3n-2=0$,
所以$m=-\frac{1}{2},n=\frac{2}{3}$,
所以$m^2+n^2=(-\frac{1}{2})^2+(\frac{2}{3})^2=\frac{1}{4}+\frac{4}{9}=\frac{25}{36}$,所以$m^2+n^2$的平方根是$\pm\frac{5}{6}$。
解析
【分析】
(1) 第一问解题核心是利用正数平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，据此列方程求出a的值，再将a代入其中一个平方根后平方，即可得到这个正数。
(2) 第二问需用到非负数的性质：算术平方根和绝对值都是非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此列方程求出m、n的值，代入计算$m^2+n^2$后，再求它的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
(1) 因为一个正数的平方根是$a+3$与$2a-15$，二者互为相反数，所以：
$(a+3)+(2a-15)=0$
合并同类项得$3a-12=0$，解得$a=4$。
将$a=4$代入$a+3$得：$a+3=4+3=7$，因此这个正数为$7^2=49$。
(2) 由题意可知$\sqrt{2m+1}≥0$，$|3n-2|≥0$，二者的和为0，因此每一项都为0，即：
$\begin{cases}2m+1=0 \\3n-2=0 \end{cases}$
解得：$m=-\frac{1}{2}$，$n=\frac{2}{3}$。
代入计算$m^2+n^2$：
$m^2+n^2=(-\frac{1}{2})^2+(\frac{2}{3})^2=\frac{1}{4}+\frac{4}{9}=\frac{25}{36}$
根据平方根的定义，$\frac{25}{36}$的平方根为$\pm\sqrt{\frac{25}{36}}=\pm\frac{5}{6}$。
【答案】
(1) $\boxed{49}$；(2) $\boxed{\pm\frac{5}{6}}$
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 非负数的性质
3. 平方根的运算
【点评】
本题是平方根和非负数性质的综合基础题，考查的都是核心基础考点，解题时需注意正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问解题核心是利用正数平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，据此列方程求出a的值，再将a代入其中一个平方根后平方，即可得到这个正数。
(2) 第二问需用到非负数的性质：算术平方根和绝对值都是非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此列方程求出m、n的值，代入计算$m^2+n^2$后，再求它的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
(1) 因为一个正数的平方根是$a+3$与$2a-15$，二者互为相反数，所以：
$(a+3)+(2a-15)=0$
合并同类项得$3a-12=0$，解得$a=4$。
将$a=4$代入$a+3$得：$a+3=4+3=7$，因此这个正数为$7^2=49$。
(2) 由题意可知$\sqrt{2m+1}≥0$，$|3n-2|≥0$，二者的和为0，因此每一项都为0，即：
$\begin{cases}2m+1=0 \\3n-2=0 \end{cases}$
解得：$m=-\frac{1}{2}$，$n=\frac{2}{3}$。
代入计算$m^2+n^2$：
$m^2+n^2=(-\frac{1}{2})^2+(\frac{2}{3})^2=\frac{1}{4}+\frac{4}{9}=\frac{25}{36}$
根据平方根的定义，$\frac{25}{36}$的平方根为$\pm\sqrt{\frac{25}{36}}=\pm\frac{5}{6}$。
【答案】
(1) $\boxed{49}$；(2) $\boxed{\pm\frac{5}{6}}$
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 非负数的性质
3. 平方根的运算
【点评】
本题是平方根和非负数性质的综合基础题，考查的都是核心基础考点，解题时需注意正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
