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6. 如图,小明同学用自制直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条边DF=50cm,DE=40cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=12m,则树高AB=
10.5
m.答案
6. 10.5
解析
【分析】
要计算树高AB，观察可知AB=BC+AC，其中AC已知为1.5m，因此只需求出BC的长度即可。图中直角△DEF和直角△DCB有公共角∠D，且均含直角，可判定两三角形相似，结合勾股定理先求出直角边EF的长度，再利用相似三角形对应边成比例的性质求出BC，最后加上AC即可得到树高AB，计算前注意先统一单位。
【解析】
首先统一单位：$DF=50\mathrm{cm}=0.5\mathrm{m}$，$DE=40\mathrm{cm}=0.4\mathrm{m}$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{DF^2-DE^2}=\sqrt{0.5^2-0.4^2}=\sqrt{0.09}=0.3\mathrm{m}$
2. 证明$△ DEF ∽ △ DCB$：
$\because ∠ DEF=∠ DCB=90°$，$∠ D=∠ D$
$\therefore △ DEF ∽ △ DCB$
3. 由相似三角形对应边成比例得：
$\frac{DE}{DC}=\frac{EF}{BC}$
代入$DE=0.4\mathrm{m}$，$DC=12\mathrm{m}$，$EF=0.3\mathrm{m}$，得：
$\frac{0.4}{12}=\frac{0.3}{BC}$
解得$BC=\frac{12×0.3}{0.4}=9\mathrm{m}$
4. 计算树高：
$AB=AC+BC=1.5+9=10.5\mathrm{m}$
【答案】
10.5
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，实际长度测量
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，解题核心是准确找到相似的直角三角形，结合勾股定理和相似性质求解未知边，计算时要注意单位统一，避免因单位不匹配出现错误。
【难度系数】
0.7
要计算树高AB，观察可知AB=BC+AC，其中AC已知为1.5m，因此只需求出BC的长度即可。图中直角△DEF和直角△DCB有公共角∠D，且均含直角，可判定两三角形相似，结合勾股定理先求出直角边EF的长度，再利用相似三角形对应边成比例的性质求出BC，最后加上AC即可得到树高AB，计算前注意先统一单位。
【解析】
首先统一单位：$DF=50\mathrm{cm}=0.5\mathrm{m}$，$DE=40\mathrm{cm}=0.4\mathrm{m}$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{DF^2-DE^2}=\sqrt{0.5^2-0.4^2}=\sqrt{0.09}=0.3\mathrm{m}$
2. 证明$△ DEF ∽ △ DCB$：
$\because ∠ DEF=∠ DCB=90°$，$∠ D=∠ D$
$\therefore △ DEF ∽ △ DCB$
3. 由相似三角形对应边成比例得：
$\frac{DE}{DC}=\frac{EF}{BC}$
代入$DE=0.4\mathrm{m}$，$DC=12\mathrm{m}$，$EF=0.3\mathrm{m}$，得：
$\frac{0.4}{12}=\frac{0.3}{BC}$
解得$BC=\frac{12×0.3}{0.4}=9\mathrm{m}$
4. 计算树高：
$AB=AC+BC=1.5+9=10.5\mathrm{m}$
【答案】
10.5
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，实际长度测量
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，解题核心是准确找到相似的直角三角形，结合勾股定理和相似性质求解未知边，计算时要注意单位统一，避免因单位不匹配出现错误。
【难度系数】
0.7
7.如图是嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制的小孔成像示意图，这只蜡烛在光屏上所成像CD的高为2cm，则蜡烛的火焰AB的高为（
A.2cm
B.4cm
C.6cm
D.8cm
B
）A.2cm
B.4cm
C.6cm
D.8cm
答案
7.B
解析
【分析】
解题时首先结合小孔成像的特点，判断蜡烛火焰AB与像CD互相平行，进而得到△OAB与△OCD相似；再根据相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于对应高的比，得到AB与CD的比例关系，最后代入已知的CD高度即可算出AB的高度。
【解析】
由小孔成像的性质可知AB//CD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴△OAB∽△OCD（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{32\mathrm{cm}}{16\mathrm{cm}}=2$
已知CD=2cm，代入得：
$AB=2× CD=2×2\mathrm{cm}=4\mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合实际生活中的小孔成像场景，考查相似三角形的实际应用，解题的关键是准确识别出相似三角形，理清对应边和对应高的比例关系，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合小孔成像的特点，判断蜡烛火焰AB与像CD互相平行，进而得到△OAB与△OCD相似；再根据相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于对应高的比，得到AB与CD的比例关系，最后代入已知的CD高度即可算出AB的高度。
【解析】
由小孔成像的性质可知AB//CD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴△OAB∽△OCD（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{32\mathrm{cm}}{16\mathrm{cm}}=2$
已知CD=2cm，代入得：
$AB=2× CD=2×2\mathrm{cm}=4\mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合实际生活中的小孔成像场景，考查相似三角形的实际应用，解题的关键是准确识别出相似三角形，理清对应边和对应高的比例关系，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
8.如图1是一种燕尾夹，图2是闭合状态的示意图，图3是打开状态的示意图（此时 $ AB // CD $），相关数据如图（单位：cm）.从闭合状态到打开状态，点B，D之间的距离减少了多少？
答案
8. 解:在图2中连结BD.
∵AB=AE+EB=2+3=5(cm),AD=AF+FD=2+3=5(cm),
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AF}{AD}$,又∠A=∠A,
∴△AEF∽△ABD,
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BD}$.
∴$\frac{2}{5}$=$\frac{2}{BD}$,
∴BD=5cm,
∴点B,D之间的距离减少了5-2=3(cm).
∵AB=AE+EB=2+3=5(cm),AD=AF+FD=2+3=5(cm),
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AF}{AD}$,又∠A=∠A,
∴△AEF∽△ABD,
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BD}$.
∴$\frac{2}{5}$=$\frac{2}{BD}$,
∴BD=5cm,
∴点B,D之间的距离减少了5-2=3(cm).
解析
【分析】
要计算从闭合状态到打开状态点B、D之间距离减少的量，需先分别求出两种状态下B、D的距离再作差。首先处理闭合状态（图2）：先计算AB、AD的总长度，观察可得△AEF与△ABD有公共角∠A，且两组对应边成比例，可证明两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求出闭合时BD的长度；打开状态下结合图形特征可知此时B、D的距离等于EF的长度2cm，最终用闭合时BD的长度减去打开时的长度即可得到结果。
【解析】
在图2中连结BD.
∵AB=AE+EB=2+3=5(cm)，AD=AF+FD=2+3=5(cm)，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AF}{AD}$，又∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BD}$.
代入数据得$\frac{2}{5}$=$\frac{2}{BD}$，解得BD=5cm，
打开状态下B、D之间的距离为EF的长度2cm，
∴点B，D之间的距离减少了5-2=3(cm).
【答案】
3cm
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中燕尾夹的开合场景考查相似三角形的实际应用，解题核心是通过边角关系证明三角形相似，利用相似的性质求解未知线段长度，同时需要结合图形分析不同状态下的线段关系，能锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
要计算从闭合状态到打开状态点B、D之间距离减少的量，需先分别求出两种状态下B、D的距离再作差。首先处理闭合状态（图2）：先计算AB、AD的总长度，观察可得△AEF与△ABD有公共角∠A，且两组对应边成比例，可证明两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求出闭合时BD的长度；打开状态下结合图形特征可知此时B、D的距离等于EF的长度2cm，最终用闭合时BD的长度减去打开时的长度即可得到结果。
【解析】
在图2中连结BD.
∵AB=AE+EB=2+3=5(cm)，AD=AF+FD=2+3=5(cm)，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AF}{AD}$，又∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BD}$.
代入数据得$\frac{2}{5}$=$\frac{2}{BD}$，解得BD=5cm，
打开状态下B、D之间的距离为EF的长度2cm，
∴点B，D之间的距离减少了5-2=3(cm).
【答案】
3cm
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中燕尾夹的开合场景考查相似三角形的实际应用，解题核心是通过边角关系证明三角形相似，利用相似的性质求解未知线段长度，同时需要结合图形分析不同状态下的线段关系，能锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
9.(核心素养·模型观念)某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表.
根据表格信息，求飞虹塔AB的大致高度.
根据表格信息，求飞虹塔AB的大致高度.
答案
9. 解:
∵CD⊥PB,AB⊥PB,
∴CD//AB,
∴△QCD∽△QAB.同理,可得△PEF∽△PAB,
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{QD}{QB}$,$\frac{EF}{AB}$=$\frac{PF}{PB}$.
∵EF=CD,
∴$\frac{QD}{QB}$=$\frac{PF}{PB}$.
∵QD=4m,PF=6m,FD=28m,
∴$\frac{4}{4+BD}$=$\frac{6}{6+28+BD}$,
∴BD=56m,
∴$\frac{3}{AB}$=$\frac{4}{4+56}$,
∴AB=45m.故飞虹塔AB的大致高度为45m.
∵CD⊥PB,AB⊥PB,
∴CD//AB,
∴△QCD∽△QAB.同理,可得△PEF∽△PAB,
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{QD}{QB}$,$\frac{EF}{AB}$=$\frac{PF}{PB}$.
∵EF=CD,
∴$\frac{QD}{QB}$=$\frac{PF}{PB}$.
∵QD=4m,PF=6m,FD=28m,
∴$\frac{4}{4+BD}$=$\frac{6}{6+28+BD}$,
∴BD=56m,
∴$\frac{3}{AB}$=$\frac{4}{4+56}$,
∴AB=45m.故飞虹塔AB的大致高度为45m.
解析
【分析】
要测量塔高，首先观察到标杆和塔均垂直于水平地面，因此标杆与塔互相平行，可得到两组相似三角形；接下来利用相似三角形对应边成比例的性质，结合两次测量中标杆长度相等的条件，先建立方程求出BD的长度，再代入比例式即可求出塔高AB。
【解析】
解：
∵CD⊥PB，AB⊥PB，
∴CD//AB，
∴△QCD∽△QAB。同理可得△PEF∽△PAB，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{QD}{QB}$，$\frac{EF}{AB}$=$\frac{PF}{PB}$。
∵EF=CD，
∴$\frac{QD}{QB}$=$\frac{PF}{PB}$。
已知QD=4m，PF=6m，FD=28m，设BD长为$x$ m，
则$QB=4+x$，$PB=6+28+x=34+x$，代入得：
$\frac{4}{4+x}$=$\frac{6}{34+x}$
交叉相乘得：$4(34+x)=6(4+x)$
解得$x=56$，即BD=56m。
将CD=3m，QD=4m，BD=56m代入$\frac{CD}{AB}$=$\frac{QD}{QB}$得：
$\frac{3}{AB}$=$\frac{4}{4+56}$
解得AB=45m。
【答案】
飞虹塔AB的大致高度为45m。
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在测量问题中的典型应用，核心是将实际场景转化为相似三角形的数学模型，利用相似三角形对应边成比例的性质建立方程求解，能有效提升将实际问题数学化的能力。
【难度系数】
0.7
要测量塔高，首先观察到标杆和塔均垂直于水平地面，因此标杆与塔互相平行，可得到两组相似三角形；接下来利用相似三角形对应边成比例的性质，结合两次测量中标杆长度相等的条件，先建立方程求出BD的长度，再代入比例式即可求出塔高AB。
【解析】
解：
∵CD⊥PB，AB⊥PB，
∴CD//AB，
∴△QCD∽△QAB。同理可得△PEF∽△PAB，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{QD}{QB}$，$\frac{EF}{AB}$=$\frac{PF}{PB}$。
∵EF=CD，
∴$\frac{QD}{QB}$=$\frac{PF}{PB}$。
已知QD=4m，PF=6m，FD=28m，设BD长为$x$ m，
则$QB=4+x$，$PB=6+28+x=34+x$，代入得：
$\frac{4}{4+x}$=$\frac{6}{34+x}$
交叉相乘得：$4(34+x)=6(4+x)$
解得$x=56$，即BD=56m。
将CD=3m，QD=4m，BD=56m代入$\frac{CD}{AB}$=$\frac{QD}{QB}$得：
$\frac{3}{AB}$=$\frac{4}{4+56}$
解得AB=45m。
【答案】
飞虹塔AB的大致高度为45m。
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在测量问题中的典型应用，核心是将实际场景转化为相似三角形的数学模型，利用相似三角形对应边成比例的性质建立方程求解，能有效提升将实际问题数学化的能力。
【难度系数】
0.7
