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1.如图，DE是$△ ABC$的中位线，点F在DB上，$DF=2BF$.连结EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若$BC=6$，则线段CM的长为（
A.$\frac{13}{2}$
B.7
C.$\frac{15}{2}$
D.8
C
）A.$\frac{13}{2}$
B.7
C.$\frac{15}{2}$
D.8
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先利用三角形中位线的性质得到DE的长度与DE//BC的位置关系；再由平行线的性质得到△DEF和△BMF的两组角相等，判定两个三角形相似；结合DF=2BF的条件得到相似比，求出BM的长度；最后根据线段和的关系计算CM的长度即可。
【解析】
解：
∵DE是△ABC的中位线，BC=6，
∴DE//BC，且$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
∵DE//MC，
∴∠DEF=∠M，∠EDF=∠MBF，
∴△DEF∽△BMF（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{DE}{BM}$。
又
∵DF=2BF，即$\frac{DF}{BF}=\frac{2}{1}$，
∴$\frac{2}{1}=\frac{3}{BM}$，解得$BM=\frac{3}{2}$。
∴$CM=BC+BM=6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形与中位线性质的综合基础题，解题的关键是通过平行线构造相似三角形，准确对应相似三角形的边得到比例关系，再结合线段和差计算所求长度。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三角形中位线的性质得到DE的长度与DE//BC的位置关系；再由平行线的性质得到△DEF和△BMF的两组角相等，判定两个三角形相似；结合DF=2BF的条件得到相似比，求出BM的长度；最后根据线段和的关系计算CM的长度即可。
【解析】
解：
∵DE是△ABC的中位线，BC=6，
∴DE//BC，且$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
∵DE//MC，
∴∠DEF=∠M，∠EDF=∠MBF，
∴△DEF∽△BMF（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{DE}{BM}$。
又
∵DF=2BF，即$\frac{DF}{BF}=\frac{2}{1}$，
∴$\frac{2}{1}=\frac{3}{BM}$，解得$BM=\frac{3}{2}$。
∴$CM=BC+BM=6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形与中位线性质的综合基础题，解题的关键是通过平行线构造相似三角形，准确对应相似三角形的边得到比例关系，再结合线段和差计算所求长度。
【难度系数】
0.7
2.(教材第88页例题变式)如图,在$△ ABC$中,中线$BE$,$CD$相交于点$G$,则
(1)$\frac{DE}{BC}=$
(2)若$S_{△ GED}=1$,$S_{△ GEC}=$
(1)$\frac{DE}{BC}=$
$\frac{1}{2}$
;$\frac{DG}{DC}=$$\frac{1}{3}$
;(2)若$S_{△ GED}=1$,$S_{△ GEC}=$
2
,$S_{△ GBC}=$4
.答案
2.(1)$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ (2)2 4
解析
【分析】
解题时先从已知条件“BE、CD是△ABC的中线”入手：
1. 先判断D、E是AB、AC中点，得出DE是△ABC的中位线，利用中位线定理直接得到DE和BC的比值；再由DE平行BC证明△DGE∽△CGB，结合相似比得到DG与GC的比例，进而推出DG与DC的比值。
2. 求面积时，先看△GED和△GEC，二者同高，面积比等于底DG与GC的比，即可求出S△GEC；再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合△GED和△GBC的相似比，求出S△GBC。
【解析】
(1)
∵ BE、CD是△ABC的中线，
∴ D、E分别是AB、AC的中点，DE是△ABC的中位线，
∴ $DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$，
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
∵ $DE// BC$，
∴ $△ DGE ∽ △ CGB$，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{DG}{GC}=\frac{1}{2}$，
设$DG=k$，则$GC=2k$，$DC=DG+GC=3k$，
∴ $\frac{DG}{DC}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$。
(2) ① △GED和△GEC以DG、GC为底时，高均为点E到直线CD的垂线段长度，
同高三角形面积比等于底的比，即$\frac{S_{△ GED}}{S_{△ GEC}}=\frac{DG}{GC}=\frac{1}{2}$，
∵ $S_{△ GED}=1$，
∴ $S_{△ GEC}=2×1=2$。
② 由$△ DGE ∽ △ CGB$，相似比为$\frac{1}{2}$，
相似三角形面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{△ GED}}{S_{△ GBC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∴ $S_{△ GBC}=4×1=4$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{3}$ (2)2；4
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题核心是通过中位线得到平行关系，进而得到相似三角形，再结合相似性质和同高三角形的面积规律求解，能帮助学生巩固相似与三角形线段、面积的关联知识。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件“BE、CD是△ABC的中线”入手：
1. 先判断D、E是AB、AC中点，得出DE是△ABC的中位线，利用中位线定理直接得到DE和BC的比值；再由DE平行BC证明△DGE∽△CGB，结合相似比得到DG与GC的比例，进而推出DG与DC的比值。
2. 求面积时，先看△GED和△GEC，二者同高，面积比等于底DG与GC的比，即可求出S△GEC；再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合△GED和△GBC的相似比，求出S△GBC。
【解析】
(1)
∵ BE、CD是△ABC的中线，
∴ D、E分别是AB、AC的中点，DE是△ABC的中位线，
∴ $DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$，
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
∵ $DE// BC$，
∴ $△ DGE ∽ △ CGB$，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{DG}{GC}=\frac{1}{2}$，
设$DG=k$，则$GC=2k$，$DC=DG+GC=3k$，
∴ $\frac{DG}{DC}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$。
(2) ① △GED和△GEC以DG、GC为底时，高均为点E到直线CD的垂线段长度，
同高三角形面积比等于底的比，即$\frac{S_{△ GED}}{S_{△ GEC}}=\frac{DG}{GC}=\frac{1}{2}$，
∵ $S_{△ GED}=1$，
∴ $S_{△ GEC}=2×1=2$。
② 由$△ DGE ∽ △ CGB$，相似比为$\frac{1}{2}$，
相似三角形面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{△ GED}}{S_{△ GBC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∴ $S_{△ GBC}=4×1=4$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{3}$ (2)2；4
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题核心是通过中位线得到平行关系，进而得到相似三角形，再结合相似性质和同高三角形的面积规律求解，能帮助学生巩固相似与三角形线段、面积的关联知识。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在BC,AB上,且∠BDE=∠CAD.求证:AD²=AB·AE. 
答案
3. 证明:$\because AB=AC, \therefore ∠ B=∠ C. \because ∠ ADB = ∠ BDE + ∠ ADE = ∠ CAD+∠ C, ∠ BDE=∠ CAD, \therefore ∠ ADE=∠ C. \therefore ∠ ADE=∠ B. \because ∠ DAE = ∠ BAD, \therefore △ ADE ∽ △ ABD. \therefore \frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}. \therefore AD^2 = AB · AE.$
解析
【分析】
要证明等积式$AD^2=AB·AE$，首先将其转化为比例式$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AD}$，可明确需证明包含这四条线段的$△ ADE$和$△ ABD$相似。首先结合等腰三角形的性质得到$∠ B=∠ C$，再利用三角形外角的性质和已知的$∠ BDE=∠ CAD$，推导得到$∠ ADE=∠ B$，最后结合两个三角形的公共角即可证明三角形相似，根据相似三角形对应边成比例就能推出结论。
【解析】
证明：$\because AB=AC, \therefore ∠ B=∠ C$。
$\because ∠ ADB = ∠ BDE + ∠ ADE = ∠ CAD+∠ C$，且$∠ BDE=∠ CAD$，
$\therefore ∠ ADE=∠ C$，
$\therefore ∠ ADE=∠ B$。
又$\because ∠ DAE = ∠ BAD$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABD$。
$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}$，
$\therefore AD^2 = AB · AE$。
【答案】
证明:$\because AB=AC, \therefore ∠ B=∠ C. \because ∠ ADB = ∠ BDE + ∠ ADE = ∠ CAD+∠ C, ∠ BDE=∠ CAD, \therefore ∠ ADE=∠ C. \therefore ∠ ADE=∠ B. \because ∠ DAE = ∠ BAD, \therefore △ ADE ∽ △ ABD. \therefore \frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}. \therefore AD^2 = AB · AE.$
【知识点】
等腰三角形性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形证明的典型题型，解题关键是将等积式转化为比例式，找到需要证明相似的三角形，再通过角的等量代换推导对应角相等即可完成证明，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
要证明等积式$AD^2=AB·AE$，首先将其转化为比例式$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AD}$，可明确需证明包含这四条线段的$△ ADE$和$△ ABD$相似。首先结合等腰三角形的性质得到$∠ B=∠ C$，再利用三角形外角的性质和已知的$∠ BDE=∠ CAD$，推导得到$∠ ADE=∠ B$，最后结合两个三角形的公共角即可证明三角形相似，根据相似三角形对应边成比例就能推出结论。
【解析】
证明：$\because AB=AC, \therefore ∠ B=∠ C$。
$\because ∠ ADB = ∠ BDE + ∠ ADE = ∠ CAD+∠ C$，且$∠ BDE=∠ CAD$，
$\therefore ∠ ADE=∠ C$，
$\therefore ∠ ADE=∠ B$。
又$\because ∠ DAE = ∠ BAD$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABD$。
$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}$，
$\therefore AD^2 = AB · AE$。
【答案】
证明:$\because AB=AC, \therefore ∠ B=∠ C. \because ∠ ADB = ∠ BDE + ∠ ADE = ∠ CAD+∠ C, ∠ BDE=∠ CAD, \therefore ∠ ADE=∠ C. \therefore ∠ ADE=∠ B. \because ∠ DAE = ∠ BAD, \therefore △ ADE ∽ △ ABD. \therefore \frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}. \therefore AD^2 = AB · AE.$
【知识点】
等腰三角形性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形证明的典型题型，解题关键是将等积式转化为比例式，找到需要证明相似的三角形，再通过角的等量代换推导对应角相等即可完成证明，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
4.在$△ ABC$中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG的长为（
A.2
B.3
C.6
D.12
B
）A.2
B.3
C.6
D.12
答案
4.B
解析
【分析】
首先梳理题目的已知条件：AD是△ABC中BC边上的中线，G是三角形重心，已知AG=6，求DG的长度。解题时先回忆三角形重心的核心性质：三角形重心是三条中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，即重心将每条中线分为长度比为2:1的两段，其中较长段为顶点到重心的线段，较短段为重心到对边中点的线段。结合已知的AG长度，直接利用比例关系即可求出DG的长度。
【解析】
解：
∵G是△ABC的重心，AD是BC边上的中线，
∴根据三角形重心的性质可得：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，即AG:DG=2:1。
∵AG=6，
∴DG=AG÷2=6÷2=3。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形重心的性质、比例线段计算
【点评】
本题是基础类题目，主要考查三角形重心的基本性质，熟练掌握重心分中线为2:1的比例关系就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
首先梳理题目的已知条件：AD是△ABC中BC边上的中线，G是三角形重心，已知AG=6，求DG的长度。解题时先回忆三角形重心的核心性质：三角形重心是三条中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，即重心将每条中线分为长度比为2:1的两段，其中较长段为顶点到重心的线段，较短段为重心到对边中点的线段。结合已知的AG长度，直接利用比例关系即可求出DG的长度。
【解析】
解：
∵G是△ABC的重心，AD是BC边上的中线，
∴根据三角形重心的性质可得：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，即AG:DG=2:1。
∵AG=6，
∴DG=AG÷2=6÷2=3。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形重心的性质、比例线段计算
【点评】
本题是基础类题目，主要考查三角形重心的基本性质，熟练掌握重心分中线为2:1的比例关系就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
5.如图,在$△ ABC$中,$G$为重心,过点$G$的直线$MN // AB$,交$AC$于点$M$,交$BC$于点$N$,$AB=8$,求$MN$的长.
答案
5. 解:连结$CG$,并延长$CG$交$AB$于点$H. \because G$是重心,$MN// AB, \therefore \frac{CG}{CH}=\frac{CM}{CA}=\frac{MN}{AB}=\frac{2}{3}, \therefore MN=\frac{16}{3}.$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：①看到三角形重心，需联想到重心的性质：重心分三角形的中线为2:1的两段（到顶点的距离占2份，到对边中点的距离占1份），因此先作辅助线：连接CG并延长交AB于点H，可得H是AB中点，且$\frac{CG}{CH}=\frac{2}{3}$；②看到$MN// AB$，可联想到平行线构造相似三角形，即$△ CMN ∽ △ CAB$，相似三角形对应边的比等于相似比，也就是等于$\frac{CG}{CH}$，最后代入AB的长度即可求出MN的值。
【解析】
解：连结$CG$，并延长$CG$交$AB$于点$H$。
∵ $G$是$△ ABC$的重心，
∴ $H$为$AB$的中点，且$\frac{CG}{GH}=\frac{2}{1}$，因此$\frac{CG}{CH}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$。
∵ $MN// AB$，
∴ $∠ CMN=∠ A$，$∠ CNM=∠ B$，
∴ $△ CMN ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得$\frac{MN}{AB}=\frac{CG}{CH}=\frac{2}{3}$。
将$AB=8$代入，得$MN=\frac{2}{3}×8=\frac{16}{3}$。
【答案】
$\frac{16}{3}$
【知识点】
三角形重心性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与三角形重心性质的综合应用题，解题的关键是正确作出过重心的中线，结合平行线得到相似三角形，利用线段比例关系求解，是相似三角形应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：①看到三角形重心，需联想到重心的性质：重心分三角形的中线为2:1的两段（到顶点的距离占2份，到对边中点的距离占1份），因此先作辅助线：连接CG并延长交AB于点H，可得H是AB中点，且$\frac{CG}{CH}=\frac{2}{3}$；②看到$MN// AB$，可联想到平行线构造相似三角形，即$△ CMN ∽ △ CAB$，相似三角形对应边的比等于相似比，也就是等于$\frac{CG}{CH}$，最后代入AB的长度即可求出MN的值。
【解析】
解：连结$CG$，并延长$CG$交$AB$于点$H$。
∵ $G$是$△ ABC$的重心，
∴ $H$为$AB$的中点，且$\frac{CG}{GH}=\frac{2}{1}$，因此$\frac{CG}{CH}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$。
∵ $MN// AB$，
∴ $∠ CMN=∠ A$，$∠ CNM=∠ B$，
∴ $△ CMN ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得$\frac{MN}{AB}=\frac{CG}{CH}=\frac{2}{3}$。
将$AB=8$代入，得$MN=\frac{2}{3}×8=\frac{16}{3}$。
【答案】
$\frac{16}{3}$
【知识点】
三角形重心性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与三角形重心性质的综合应用题，解题的关键是正确作出过重心的中线，结合平行线得到相似三角形，利用线段比例关系求解，是相似三角形应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
6. 如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连结EF，则线段EF的长为（
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{7}{2}$
D.7
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{7}{2}$
D.7
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先观察条件特征：AD是角平分线，且CG⊥AD，可优先通过全等证明△AGC是等腰三角形，得到AG=AC、F为GC中点；再结合AE是△ABC的中线，可知E是BC中点，由此可判断EF是△BCG的中位线，最后利用中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
1. 证明△AGF≌△ACF：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠GAF=∠CAF，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG=∠AFC=90°，
在△AGF和△ACF中：
$\{\begin{array}{l}∠GAF=∠CAF \\AF=AF \\∠AFG=∠AFC\end{array} $
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG=AC=3，且GF=FC，即F是GC的中点。
2. 确定E点的性质：
∵AE是△ABC的中线，
∴E是BC的中点。
3. 利用中位线定理计算EF：
∵E、F分别是BC、GC的中点，
∴EF是△BCG的中位线，
∴$EF=\frac{1}{2}BG$，
又
∵BG=AB-AG=4-3=1，
∴$EF=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质、三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的突破口是利用“角平分线+边上的高”的特征构造全等得到等腰三角形，确定中点后结合中位线定理求解，解题思路清晰，属于基础综合类题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察条件特征：AD是角平分线，且CG⊥AD，可优先通过全等证明△AGC是等腰三角形，得到AG=AC、F为GC中点；再结合AE是△ABC的中线，可知E是BC中点，由此可判断EF是△BCG的中位线，最后利用中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
1. 证明△AGF≌△ACF：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠GAF=∠CAF，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG=∠AFC=90°，
在△AGF和△ACF中：
$\{\begin{array}{l}∠GAF=∠CAF \\AF=AF \\∠AFG=∠AFC\end{array} $
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG=AC=3，且GF=FC，即F是GC的中点。
2. 确定E点的性质：
∵AE是△ABC的中线，
∴E是BC的中点。
3. 利用中位线定理计算EF：
∵E、F分别是BC、GC的中点，
∴EF是△BCG的中位线，
∴$EF=\frac{1}{2}BG$，
又
∵BG=AB-AG=4-3=1，
∴$EF=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质、三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的突破口是利用“角平分线+边上的高”的特征构造全等得到等腰三角形，确定中点后结合中位线定理求解，解题思路清晰，属于基础综合类题型。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在四边形ABCD中，∠ADB = ∠ACB，延长AD、BC相交于点E.求证：
(1)△ACE∽△BDE；
(2)BE·DC=AB·DE.
(1)△ACE∽△BDE；
(2)BE·DC=AB·DE.
答案
7. (1) 证明: $\because ∠ ADB = ∠ ACB, \therefore ∠ BDE=∠ ACE,$ 又 $\because ∠ E = ∠ E, \therefore △ ACE ∽ △ BDE.$
(2) $\because △ ACE ∽ △ BDE, \therefore \frac{AE}{BE}=\frac{EC}{ED}, \therefore \frac{AE}{EC}=\frac{BE}{ED},$ 又 $\because ∠ E = ∠ E, \therefore △ EAB ∽ △ ECD, \therefore \frac{BE}{DE}=\frac{AB}{CD},$ 即 $BE · DC=AB · DE.$
(2) $\because △ ACE ∽ △ BDE, \therefore \frac{AE}{BE}=\frac{EC}{ED}, \therefore \frac{AE}{EC}=\frac{BE}{ED},$ 又 $\because ∠ E = ∠ E, \therefore △ EAB ∽ △ ECD, \therefore \frac{BE}{DE}=\frac{AB}{CD},$ 即 $BE · DC=AB · DE.$
解析
【分析】
（1）要证明△ACE∽△BDE，首先由已知∠ADB=∠ACB，根据邻补角的性质可推出二者的补角∠BDE=∠ACE，再结合两个三角形共有的公共角∠E，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可完成证明。
（2）要证明等积式BE·DC=AB·DE，可先将其转化为比例式$\frac{BE}{DE}=\frac{AB}{DC}$，需证明△EAB∽△ECD。首先由（1）的相似结论得到对应边成比例，变形后结合公共角∠E可证明△EAB∽△ECD，再利用相似三角形对应边成比例即可推导得到待证等积式。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ADB = ∠ACB，且∠ADB + ∠BDE = 180°，∠ACB + ∠ACE = 180°，
∴∠BDE=∠ACE，
又
∵∠E是△ACE和△BDE的公共角，
∴△ACE∽△BDE。
(2) 证明：
∵△ACE∽△BDE，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{EC}{ED}$，根据比例的基本性质变形得$\frac{AE}{EC}=\frac{BE}{ED}$，
又
∵∠E是△EAB和△ECD的公共角，
∴△EAB∽△ECD，
∴$\frac{BE}{DE}=\frac{AB}{CD}$，交叉相乘得$BE · DC=AB · DE$。
【答案】
(1) 证明: $\because ∠ ADB = ∠ ACB, \therefore ∠ BDE=∠ ACE,$ 又 $\because ∠ E = ∠ E, \therefore △ ACE ∽ △ BDE.$
(2) $\because △ ACE ∽ △ BDE, \therefore \frac{AE}{BE}=\frac{EC}{ED}, \therefore \frac{AE}{EC}=\frac{BE}{ED},$ 又 $\because ∠ E = ∠ E, \therefore △ EAB ∽ △ ECD, \therefore \frac{BE}{DE}=\frac{AB}{CD},$ 即 $BE · DC=AB · DE.$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，核心考查相似三角形判定定理和性质的灵活运用，解题时要注意挖掘公共角这类隐含条件，熟练掌握等积式和比例式的转化方法，可快速找到证明思路。
【难度系数】
0.6
（1）要证明△ACE∽△BDE，首先由已知∠ADB=∠ACB，根据邻补角的性质可推出二者的补角∠BDE=∠ACE，再结合两个三角形共有的公共角∠E，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可完成证明。
（2）要证明等积式BE·DC=AB·DE，可先将其转化为比例式$\frac{BE}{DE}=\frac{AB}{DC}$，需证明△EAB∽△ECD。首先由（1）的相似结论得到对应边成比例，变形后结合公共角∠E可证明△EAB∽△ECD，再利用相似三角形对应边成比例即可推导得到待证等积式。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ADB = ∠ACB，且∠ADB + ∠BDE = 180°，∠ACB + ∠ACE = 180°，
∴∠BDE=∠ACE，
又
∵∠E是△ACE和△BDE的公共角，
∴△ACE∽△BDE。
(2) 证明：
∵△ACE∽△BDE，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{EC}{ED}$，根据比例的基本性质变形得$\frac{AE}{EC}=\frac{BE}{ED}$，
又
∵∠E是△EAB和△ECD的公共角，
∴△EAB∽△ECD，
∴$\frac{BE}{DE}=\frac{AB}{CD}$，交叉相乘得$BE · DC=AB · DE$。
【答案】
(1) 证明: $\because ∠ ADB = ∠ ACB, \therefore ∠ BDE=∠ ACE,$ 又 $\because ∠ E = ∠ E, \therefore △ ACE ∽ △ BDE.$
(2) $\because △ ACE ∽ △ BDE, \therefore \frac{AE}{BE}=\frac{EC}{ED}, \therefore \frac{AE}{EC}=\frac{BE}{ED},$ 又 $\because ∠ E = ∠ E, \therefore △ EAB ∽ △ ECD, \therefore \frac{BE}{DE}=\frac{AB}{CD},$ 即 $BE · DC=AB · DE.$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，核心考查相似三角形判定定理和性质的灵活运用，解题时要注意挖掘公共角这类隐含条件，熟练掌握等积式和比例式的转化方法，可快速找到证明思路。
【难度系数】
0.6
