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1. 在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，用直尺和圆规在AC上确定点D，使$△ BAD ∽ △ CBD$，根据作图痕迹判断，正确的是（
B
）答案
1.B
解析
【分析】
首先推导满足$△ BAD ∽ △ CBD$的点$D$的特征：已知$∠ ABC=90°$，因此$∠ A+∠ C=90°$。若$△ BAD ∽ △ CBD$，根据相似三角形对应角相等，可得$∠ A=∠ CBD$，$∠ C=∠ ABD$，进一步可推出$∠ ADB=∠ CDB=90°$，即只需构造出$∠ CBD=∠ A$，就能满足相似要求。接下来逐一判断各选项的作图含义是否符合该特征即可。
【解析】
要使$△ BAD ∽ △ CBD$，已知$∠ ABC=90°$，则$∠ A+∠ C=90°$。
若$△ BAD ∽ △ CBD$，则对应角$∠ A=∠ CBD$，此时$∠ CBD+∠ ABD=90°$，因此$∠ A+∠ ABD=90°$，可得$∠ ADB=90°$，同理$∠ CDB=90°$，两个直角三角形有一组锐角相等，满足相似判定条件。
逐一分析选项：
选项A：作图为作$∠ ABC$的角平分线，仅当$△ ABC$为等腰直角三角形时满足相似，不符合通用要求；
选项B：作图为作$∠ CBD=∠ A$，满足上述相似条件，符合要求；
选项C：作图是以$B$为圆心、$AB$长为半径画弧交$AC$于$D$，可得$AB=BD$，仅能推出$∠ A=∠ ADB$，无法保证$△ BAD ∽ △ CBD$；
选项D：作图是以$B$为圆心、$BC$长为半径画弧交$AC$于$D$，可得$BC=BD$，仅能推出$∠ C=∠ BDC$，无法保证$△ BAD ∽ △ CBD$。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，尺规作角，直角三角形的性质
【点评】
本题将尺规作图和相似三角形判定结合考查，解题核心是先根据相似的性质反推点$D$需要满足的几何特征，再对应判断各作图是否符合要求，是几何作图与性质结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先推导满足$△ BAD ∽ △ CBD$的点$D$的特征：已知$∠ ABC=90°$，因此$∠ A+∠ C=90°$。若$△ BAD ∽ △ CBD$，根据相似三角形对应角相等，可得$∠ A=∠ CBD$，$∠ C=∠ ABD$，进一步可推出$∠ ADB=∠ CDB=90°$，即只需构造出$∠ CBD=∠ A$，就能满足相似要求。接下来逐一判断各选项的作图含义是否符合该特征即可。
【解析】
要使$△ BAD ∽ △ CBD$，已知$∠ ABC=90°$，则$∠ A+∠ C=90°$。
若$△ BAD ∽ △ CBD$，则对应角$∠ A=∠ CBD$，此时$∠ CBD+∠ ABD=90°$，因此$∠ A+∠ ABD=90°$，可得$∠ ADB=90°$，同理$∠ CDB=90°$，两个直角三角形有一组锐角相等，满足相似判定条件。
逐一分析选项：
选项A：作图为作$∠ ABC$的角平分线，仅当$△ ABC$为等腰直角三角形时满足相似，不符合通用要求；
选项B：作图为作$∠ CBD=∠ A$，满足上述相似条件，符合要求；
选项C：作图是以$B$为圆心、$AB$长为半径画弧交$AC$于$D$，可得$AB=BD$，仅能推出$∠ A=∠ ADB$，无法保证$△ BAD ∽ △ CBD$；
选项D：作图是以$B$为圆心、$BC$长为半径画弧交$AC$于$D$，可得$BC=BD$，仅能推出$∠ C=∠ BDC$，无法保证$△ BAD ∽ △ CBD$。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，尺规作角，直角三角形的性质
【点评】
本题将尺规作图和相似三角形判定结合考查，解题核心是先根据相似的性质反推点$D$需要满足的几何特征，再对应判断各作图是否符合要求，是几何作图与性质结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在$△ ABC$中，$AC=\sqrt{10}$，按以下步骤作图：①以点$B$为圆心，以适当的长为半径画弧，交$BC$于点$D$，交$AB$于点$E$，连结$DE$；②以点$C$为圆心，以$BD$长为半径画弧，交$AC$于点$F$；③以点$F$为圆心，以$DE$长为半径画弧，在$△ ABC$内与前一条弧相交于点$G$；④连结$CG$并延长交$AB$于点$H$.若点$H$恰好为$AB$的中点，则$AB$的长为 （
A.$2\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\frac{4}{3}\sqrt{10}$
A
）A.$2\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\frac{4}{3}\sqrt{10}$
答案
2.A
解析
【分析】
首先根据尺规作图的步骤，判断出所作的∠ACH=∠B，结合公共角∠A可证明△ACH和△ABC相似，再利用H是AB中点得到AH与AB的数量关系，最后根据相似三角形对应边成比例列式即可求出AB的长度。
【解析】
由尺规作图的操作步骤可得：$∠ ACH=∠ B$，
又$\because ∠ A=∠ A$（公共角），
$\therefore △ ACH ∽ △ ABC$，
根据相似三角形的性质可得：$\frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}$，即$AC^2=AB· AH$，
$\because H$是$AB$的中点，$\therefore AH=\frac{1}{2}AB$，
已知$AC=\sqrt{10}$，代入得：$(\sqrt{10})^2=AB· \frac{1}{2}AB$，
整理得：$10=\frac{1}{2}AB^2$，即$AB^2=20$，
$\because AB＞0$，$\therefore AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
尺规作等角，相似三角形的判定与性质，中点的性质
【点评】
本题将尺规作图和相似三角形的知识结合考查，解题的关键是能通过作图步骤识别出相等的角，进而找到相似三角形，再结合中点条件列式计算，是几何类的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
首先根据尺规作图的步骤，判断出所作的∠ACH=∠B，结合公共角∠A可证明△ACH和△ABC相似，再利用H是AB中点得到AH与AB的数量关系，最后根据相似三角形对应边成比例列式即可求出AB的长度。
【解析】
由尺规作图的操作步骤可得：$∠ ACH=∠ B$，
又$\because ∠ A=∠ A$（公共角），
$\therefore △ ACH ∽ △ ABC$，
根据相似三角形的性质可得：$\frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}$，即$AC^2=AB· AH$，
$\because H$是$AB$的中点，$\therefore AH=\frac{1}{2}AB$，
已知$AC=\sqrt{10}$，代入得：$(\sqrt{10})^2=AB· \frac{1}{2}AB$，
整理得：$10=\frac{1}{2}AB^2$，即$AB^2=20$，
$\because AB＞0$，$\therefore AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
尺规作等角，相似三角形的判定与性质，中点的性质
【点评】
本题将尺规作图和相似三角形的知识结合考查，解题的关键是能通过作图步骤识别出相等的角，进而找到相似三角形，再结合中点条件列式计算，是几何类的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
3.(湖南省中考改编)如图，$△ ABC$中，在$CA$、$CB$上分别截取$CD$、$CE$，使$CD=CE$，分别以点$D$、$E$为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧，两弧在$∠ ACB$内交于点$F$，作射线$CF$交$AB$于点$M$，过点$M$作$MN ⊥ BC$，垂足为点$N$。若$BN=CN$，$AM=4$，$BM=5$，则$AC$的长为
6
。答案
3.6
解析
【分析】
首先识别尺规作图的类型：题中的作图步骤是作∠ACB的角平分线，因此CM平分∠ACB；再由MN⊥BC且BN=CN，可知MN是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得MB=MC，进而推出∠B=∠MCB=∠MCA；最后观察到△ABC和△ACM有公共角∠A，结合推导的角相等可证明两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出AC的长度。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，射线CF是∠ACB的角平分线，即CM平分∠ACB，因此$∠ MCB=∠ MCA$。
2. 已知$MN⊥ BC$，$BN=CN$，则MN是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$MB=MC=5$，因此$∠ B=∠ MCB$。
3. 结合角平分线的结论，得$∠ B=∠ MCA$，又$∠ A$是△ABC和△ACM的公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可证$△ ABC ∽ △ ACM$。
4. 根据相似三角形的性质，对应边成比例，即$\frac{AC}{AB}=\frac{AM}{AC}$，变形得$AC^2=AM· AB$。
5. 已知$AM=4$，$BM=5$，则$AB=AM+BM=9$，代入得$AC^2=4×9=36$，AC为线段长度取正值，因此$AC=6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合类题目，将尺规作图识别、基础几何性质与相似三角形的应用结合考查，解题的核心是先通过已知条件推导角的等量关系，再借助相似模型求解线段长度，是几何考查的常见命题方向。
【难度系数】
0.6
首先识别尺规作图的类型：题中的作图步骤是作∠ACB的角平分线，因此CM平分∠ACB；再由MN⊥BC且BN=CN，可知MN是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得MB=MC，进而推出∠B=∠MCB=∠MCA；最后观察到△ABC和△ACM有公共角∠A，结合推导的角相等可证明两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出AC的长度。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，射线CF是∠ACB的角平分线，即CM平分∠ACB，因此$∠ MCB=∠ MCA$。
2. 已知$MN⊥ BC$，$BN=CN$，则MN是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$MB=MC=5$，因此$∠ B=∠ MCB$。
3. 结合角平分线的结论，得$∠ B=∠ MCA$，又$∠ A$是△ABC和△ACM的公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可证$△ ABC ∽ △ ACM$。
4. 根据相似三角形的性质，对应边成比例，即$\frac{AC}{AB}=\frac{AM}{AC}$，变形得$AC^2=AM· AB$。
5. 已知$AM=4$，$BM=5$，则$AB=AM+BM=9$，代入得$AC^2=4×9=36$，AC为线段长度取正值，因此$AC=6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合类题目，将尺规作图识别、基础几何性质与相似三角形的应用结合考查，解题的核心是先通过已知条件推导角的等量关系，再借助相似模型求解线段长度，是几何考查的常见命题方向。
【难度系数】
0.6
4.如图，$∠ A=30°$，点B、C分别在AM、AN上，且$∠ ABC=40°$。
(1)尺规作图:作$∠ CBM$的平分线BD，BD与AN相交于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的图中，求证:$△ ABC ∽ △ ADB$。
(1)尺规作图:作$∠ CBM$的平分线BD，BD与AN相交于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的图中，求证:$△ ABC ∽ △ ADB$。
答案
4. (1)解：如图，
BD即为所求。(2)证明:
∵∠ABC=40°,
∴∠CBM=180°−∠ABC=140°.
∵BD平分∠CBM,
∴∠MBD=$\frac{1}{2}$∠CBM=70°.
∵∠MBD是△ADB的一个外角,
∴∠ADB=∠MBD−∠A=70°−30°=40°.
∴∠ABC=∠ADB. 又
∵∠A=∠A,
∴△ABC∽△ADB.
解析
【分析】
(1) 第一问是尺规作角平分线，按照角平分线的标准作图步骤操作即可：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BM、BC于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过B和该交点作射线交AN于D，保留作图痕迹即可。
(2) 第二问要证两个三角形相似，首先观察到△ABC和△ADB有公共角∠A，根据相似三角形的两角对应相等（AA）判定规则，只需要再找一组对应角相等即可。我们可以先通过邻补角的性质计算∠CBM的度数，结合角平分线的性质得到∠MBD的度数，再利用三角形外角的性质求出∠ADB的度数，证明其和∠ABC相等，即可满足相似的判定条件。
【解析】
(1) 按照角平分线的尺规作图方法完成作图，BD即为所求。
(2) 证明过程如下：
已知∠ABC=40°，∠CBM与∠ABC互为邻补角，因此：
$∠ CBM=180°-∠ ABC=180°-40°=140°$
因为BD平分∠CBM，根据角平分线的性质：
$∠ MBD=\frac{1}{2}∠ CBM=\frac{1}{2}×140°=70°$
∠MBD是△ADB的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，可得：
$∠ MBD=∠ A+∠ ADB$
代入已知∠A=30°，计算得：
$∠ ADB=∠ MBD-∠ A=70°-30°=40°$
因此$∠ ABC=∠ ADB=40°$，又因为两个三角形有公共角$∠ A=∠ A$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可证$△ ABC ∽ △ ADB$。
【答案】
(1) 如图， BD即为所求。
(2) 证明:
∵∠ABC=40°,
∴∠CBM=180°−∠ABC=140°.
∵BD平分∠CBM,
∴∠MBD=$\frac{1}{2}$∠CBM=70°.
∵∠MBD是△ADB的一个外角,
∴∠ADB=∠MBD−∠A=70°−30°=40°.
∴∠ABC=∠ADB. 又
∵∠A=∠A,
∴△ABC∽△ADB.
【知识点】
1. 角平分线尺规作图
2. 相似三角形判定
3. 三角形外角性质
【点评】
本题结合了基础尺规作图和相似证明，既考查了基本作图的操作能力，也考查了角度计算、几何定理的应用能力，题型基础，核心是熟练掌握角平分线作图方法和相似三角形的判定规则。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问是尺规作角平分线，按照角平分线的标准作图步骤操作即可：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BM、BC于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过B和该交点作射线交AN于D，保留作图痕迹即可。
(2) 第二问要证两个三角形相似，首先观察到△ABC和△ADB有公共角∠A，根据相似三角形的两角对应相等（AA）判定规则，只需要再找一组对应角相等即可。我们可以先通过邻补角的性质计算∠CBM的度数，结合角平分线的性质得到∠MBD的度数，再利用三角形外角的性质求出∠ADB的度数，证明其和∠ABC相等，即可满足相似的判定条件。
【解析】
(1) 按照角平分线的尺规作图方法完成作图，BD即为所求。
(2) 证明过程如下：
已知∠ABC=40°，∠CBM与∠ABC互为邻补角，因此：
$∠ CBM=180°-∠ ABC=180°-40°=140°$
因为BD平分∠CBM，根据角平分线的性质：
$∠ MBD=\frac{1}{2}∠ CBM=\frac{1}{2}×140°=70°$
∠MBD是△ADB的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，可得：
$∠ MBD=∠ A+∠ ADB$
代入已知∠A=30°，计算得：
$∠ ADB=∠ MBD-∠ A=70°-30°=40°$
因此$∠ ABC=∠ ADB=40°$，又因为两个三角形有公共角$∠ A=∠ A$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可证$△ ABC ∽ △ ADB$。
【答案】
(1) 如图，
BD即为所求。(2) 证明:
∵∠ABC=40°,
∴∠CBM=180°−∠ABC=140°.
∵BD平分∠CBM,
∴∠MBD=$\frac{1}{2}$∠CBM=70°.
∵∠MBD是△ADB的一个外角,
∴∠ADB=∠MBD−∠A=70°−30°=40°.
∴∠ABC=∠ADB. 又
∵∠A=∠A,
∴△ABC∽△ADB.
【知识点】
1. 角平分线尺规作图
2. 相似三角形判定
3. 三角形外角性质
【点评】
本题结合了基础尺规作图和相似证明，既考查了基本作图的操作能力，也考查了角度计算、几何定理的应用能力，题型基础，核心是熟练掌握角平分线作图方法和相似三角形的判定规则。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是BC的中点.
(1)在线段AE上找一点F,使得△ABE∽△DFA(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,求DF的长.
(1)在线段AE上找一点F,使得△ABE∽△DFA(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,求DF的长.
答案
5. (1)解：如图，
点F即为所求。(2)
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,AD=BC=6.
∵E是BC的中点,
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=3.
在Rt△ABE中,由勾股定理,得AE=$\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
∵△ABE∽△DFA,
∴$\frac{AB}{DF}=\frac{AE}{DA}$.
∴$\frac{4}{DF}=\frac{5}{6}$,
∴$DF=\frac{24}{5}$.
解析
【分析】
（1）要使△ABE∽△DFA，首先由AD//BC可得∠DAF=∠AEB，又△ABE中∠B=90°，因此只需过点D作AE的垂线，垂足即为所求的点F，作图时保留尺规作图痕迹即可。
（2）求DF的长时，先利用矩形的性质得到AD、BE的长度，再用勾股定理求出AE的长，最后根据相似三角形对应边成比例的性质，代入数值即可求出DF的长度。
【解析】
(1) 过点D作AE的垂线，垂足为F，点F即为所求。
(2) 解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC=6。
∵E是BC的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=3$。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵△ABE∽△DFA，
∴对应边成比例，即$\frac{AB}{DF}=\frac{AE}{DA}$。
将AB=4，AE=5，DA=6代入得：
$\frac{4}{DF}=\frac{5}{6}$，
解得$DF=\frac{24}{5}$。
【答案】
(1) 如图， 点F即为所求。
(2) $DF=\frac{24}{5}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，既考查了相似三角形的判定应用，又考查了矩形性质、勾股定理的计算，解题时需准确找到相似三角形的对应边，避免比例关系写错。
【难度系数】
0.7
（1）要使△ABE∽△DFA，首先由AD//BC可得∠DAF=∠AEB，又△ABE中∠B=90°，因此只需过点D作AE的垂线，垂足即为所求的点F，作图时保留尺规作图痕迹即可。
（2）求DF的长时，先利用矩形的性质得到AD、BE的长度，再用勾股定理求出AE的长，最后根据相似三角形对应边成比例的性质，代入数值即可求出DF的长度。
【解析】
(1) 过点D作AE的垂线，垂足为F，点F即为所求。
(2) 解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC=6。
∵E是BC的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=3$。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵△ABE∽△DFA，
∴对应边成比例，即$\frac{AB}{DF}=\frac{AE}{DA}$。
将AB=4，AE=5，DA=6代入得：
$\frac{4}{DF}=\frac{5}{6}$，
解得$DF=\frac{24}{5}$。
【答案】
(1) 如图，
点F即为所求。(2) $DF=\frac{24}{5}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，既考查了相似三角形的判定应用，又考查了矩形性质、勾股定理的计算，解题时需准确找到相似三角形的对应边，避免比例关系写错。
【难度系数】
0.7
