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8.一辆汽车在公路上匀速行驶，司机先看到路边一个里程碑上的数(单位:km)是一个两位数，行驶1 h，司机又看到另一个里程碑上的数还是一个两位数，且刚好它的十位数字与个位数字和第一次看到的两位数的十位数字与个位数字颠倒了位置，又过了1 h，司机看到第三个里程碑上的数是一个三位数，它是第一次看到的两位数中间加一个0，则汽车的速度为（
A.35 km/h
B.40 km/h
C.45 km/h
D.50 km/h
C
）A.35 km/h
B.40 km/h
C.45 km/h
D.50 km/h
答案
8.C
解析
【分析】
这是一道结合数字表示与行程问题的应用题，解题思路如下：第一步，回忆多位数的代数式表示方法：两位数=十位数字×10+个位数字，三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字；第二步，汽车匀速行驶时相等时间内行驶的路程相等，这是列方程的核心等量关系；第三步，设第一次看到的两位数的十位、个位数字分别为x、y，用含x、y的代数式分别表示三个里程碑上的数，根据路程相等列方程，再结合x、y是1~9的正整数的隐含条件求出x、y的值，最后计算速度即可。
【解析】
解：设第一次看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y（x、y均为1~9的正整数，且第二次的数比第一次大，故y＞x），则：
第一次看到的数为：$10x + y$
1小时后看到的数为：$10y + x$
又过1小时看到的数为：$100x + y$
∵汽车匀速行驶，1小时行驶的路程相等，
∴$(10y + x) - (10x + y) = (100x + y) - (10y + x)$
化简左边得：$9y - 9x$
化简右边得：$99x - 9y$
移项合并得：$18y = 108x$，即$y = 6x$
∵x、y是1~9的正整数，
∴仅当$x=1$时，$y=6$符合要求（若x≥2，则y≥12，不符合个位数字的取值要求）
∴第一次的数是16，第二次的数是61
汽车速度为：$61 - 16 = 45 \, \mathrm{km/h}$（验证：第三个里程碑数为106，$106-61=45$，符合匀速要求）
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 多位数的代数式表示 2. 匀速行程问题 3. 二元一次方程的整数解
【点评】
本题将数字问题与行程问题结合，解题的关键是正确用代数式表示三个里程碑上的数字，抓住“匀速行驶时相等时间内路程相等”这一等量关系列方程，同时注意数字是1~9的正整数这一隐含条件，即可顺利求解。
【难度系数】
0.65
这是一道结合数字表示与行程问题的应用题，解题思路如下：第一步，回忆多位数的代数式表示方法：两位数=十位数字×10+个位数字，三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字；第二步，汽车匀速行驶时相等时间内行驶的路程相等，这是列方程的核心等量关系；第三步，设第一次看到的两位数的十位、个位数字分别为x、y，用含x、y的代数式分别表示三个里程碑上的数，根据路程相等列方程，再结合x、y是1~9的正整数的隐含条件求出x、y的值，最后计算速度即可。
【解析】
解：设第一次看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y（x、y均为1~9的正整数，且第二次的数比第一次大，故y＞x），则：
第一次看到的数为：$10x + y$
1小时后看到的数为：$10y + x$
又过1小时看到的数为：$100x + y$
∵汽车匀速行驶，1小时行驶的路程相等，
∴$(10y + x) - (10x + y) = (100x + y) - (10y + x)$
化简左边得：$9y - 9x$
化简右边得：$99x - 9y$
移项合并得：$18y = 108x$，即$y = 6x$
∵x、y是1~9的正整数，
∴仅当$x=1$时，$y=6$符合要求（若x≥2，则y≥12，不符合个位数字的取值要求）
∴第一次的数是16，第二次的数是61
汽车速度为：$61 - 16 = 45 \, \mathrm{km/h}$（验证：第三个里程碑数为106，$106-61=45$，符合匀速要求）
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 多位数的代数式表示 2. 匀速行程问题 3. 二元一次方程的整数解
【点评】
本题将数字问题与行程问题结合，解题的关键是正确用代数式表示三个里程碑上的数字，抓住“匀速行驶时相等时间内路程相等”这一等量关系列方程，同时注意数字是1~9的正整数这一隐含条件，即可顺利求解。
【难度系数】
0.65
9.在学校组织的文艺晚会上,掷飞镖游戏规则如下:掷到A区和B区的得分不同,A区为小圆内部分,B区为大圆内小圆外部分(掷中一次记一个点).现统计小华、小明和小芳掷中与得分情况如图所示,依此方法计算小芳的得分为 (
小华: 77分 小明: 75分 小芳:
A.76分
B.74分
C.72分
D.70分
B
)小华: 77分 小明: 75分 小芳:
74
分A.76分
B.74分
C.72分
D.70分
答案
9.B
解析
【分析】
要计算小芳的得分，需先求出掷中A区、B区单次的得分。我们可以通过设未知数，根据小华、小明的掷中次数和得分建立二元一次方程组，求解得到A、B区的单次得分后，再统计小芳的掷中次数，代入计算即可得到小芳的总分。
【解析】
设掷中A区一次得$x$分，掷中B区一次得$y$分。
根据小华的掷中情况和得分，可得方程：$5x + 3y = 77$ ①
根据小明的掷中情况和得分，可得方程：$3x + 5y = 75$ ②
将①+②，得：$8x + 8y = 152$，化简得$x + y = 19$ ③
用① - ③×3，得：$5x + 3y - 3(x + y) = 77 - 19×3$
计算得：$2x = 20$，解得$x = 10$
把$x=10$代入③，得$y = 19 - 10 = 9$
即掷中A区一次得10分，掷中B区一次得9分。
统计小芳的掷中情况：A区2次，B区6次，总分为：
$2×10 + 6×9 = 20 + 54 = 74$（分）
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用，加减消元法解方程组
【点评】
本题结合掷飞镖的实际场景，考查学生提取图文信息、建立等量关系的能力，解题的关键是准确数出三人分别掷中A、B区的次数，避免因计数错误导致失分。
【难度系数】
0.7
要计算小芳的得分，需先求出掷中A区、B区单次的得分。我们可以通过设未知数，根据小华、小明的掷中次数和得分建立二元一次方程组，求解得到A、B区的单次得分后，再统计小芳的掷中次数，代入计算即可得到小芳的总分。
【解析】
设掷中A区一次得$x$分，掷中B区一次得$y$分。
根据小华的掷中情况和得分，可得方程：$5x + 3y = 77$ ①
根据小明的掷中情况和得分，可得方程：$3x + 5y = 75$ ②
将①+②，得：$8x + 8y = 152$，化简得$x + y = 19$ ③
用① - ③×3，得：$5x + 3y - 3(x + y) = 77 - 19×3$
计算得：$2x = 20$，解得$x = 10$
把$x=10$代入③，得$y = 19 - 10 = 9$
即掷中A区一次得10分，掷中B区一次得9分。
统计小芳的掷中情况：A区2次，B区6次，总分为：
$2×10 + 6×9 = 20 + 54 = 74$（分）
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用，加减消元法解方程组
【点评】
本题结合掷飞镖的实际场景，考查学生提取图文信息、建立等量关系的能力，解题的关键是准确数出三人分别掷中A、B区的次数，避免因计数错误导致失分。
【难度系数】
0.7
10. 从甲地到乙地的路有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡每小时走3 km，平路每小时走4 km，下坡每小时走5 km. 若从甲地到乙地需54 min，从乙地到甲地需42 min，则甲地到乙地的全程是多少千米？
答案
10. 解:设从甲地到乙地的上坡路有x km,平路有y km.根据题意,得
$\begin{cases} \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{54}{60},\\ \dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{42}{60}, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=1.5,\\ y=1.6. \end{cases}$
所以$x+y=1.5+1.6=3.1(\mathrm{km}).$答:甲地到乙地的全程是3.1 km.
$\begin{cases} \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{54}{60},\\ \dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{42}{60}, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=1.5,\\ y=1.6. \end{cases}$
所以$x+y=1.5+1.6=3.1(\mathrm{km}).$答:甲地到乙地的全程是3.1 km.
解析
【分析】
这是一道往返类行程问题，解题时首先要明确路段的变化规律：从甲到乙的上坡路，返回时会变成下坡路，平路往返路程、行驶速度均不变。首先统一单位，将分钟换算为小时和速度单位匹配。再找准两个等量关系：①甲地到乙地的上坡时间+平路时间=54分钟；②乙地到甲地的下坡时间+平路时间=42分钟。我们设上坡路程为x km、平路路程为y km，根据“时间=路程÷速度”表示各段行驶时间，代入等量关系列二元一次方程组，求解后两段路程相加就是全程距离。
【解析】
解：设从甲地到乙地的上坡路有x km，平路有y km。
先统一时间单位：$54\mathrm{min}=\frac{54}{60}\mathrm{h}$，$42\mathrm{min}=\frac{42}{60}\mathrm{h}$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{54}{60},\\ \dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{42}{60}, \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程消去y，可得：$\frac{x}{3}-\frac{x}{5}=\frac{54}{60}-\frac{42}{60}$，
化简计算得$\frac{2x}{15}=\frac{1}{5}$，解得$x=1.5$。
将$x=1.5$代入第二个方程，得$\frac{1.5}{5}+\frac{y}{4}=\frac{42}{60}$，
计算得$0.3+\frac{y}{4}=0.7$，解得$y=1.6$。
所以全程距离为$x+y=1.5+1.6=3.1(\mathrm{km})$。
答：甲地到乙地的全程是3.1 km。
【答案】
3.1 km
【知识点】
二元一次方程组的应用；行程问题公式应用
【点评】
本题是行程应用题的典型考法，解题核心是抓住往返时上下坡路段互换、平路不变的特点，注意单位统一后找准等量关系列方程组，也可通过作差消元简化计算过程。
【难度系数】
0.7
这是一道往返类行程问题，解题时首先要明确路段的变化规律：从甲到乙的上坡路，返回时会变成下坡路，平路往返路程、行驶速度均不变。首先统一单位，将分钟换算为小时和速度单位匹配。再找准两个等量关系：①甲地到乙地的上坡时间+平路时间=54分钟；②乙地到甲地的下坡时间+平路时间=42分钟。我们设上坡路程为x km、平路路程为y km，根据“时间=路程÷速度”表示各段行驶时间，代入等量关系列二元一次方程组，求解后两段路程相加就是全程距离。
【解析】
解：设从甲地到乙地的上坡路有x km，平路有y km。
先统一时间单位：$54\mathrm{min}=\frac{54}{60}\mathrm{h}$，$42\mathrm{min}=\frac{42}{60}\mathrm{h}$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{54}{60},\\ \dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{42}{60}, \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程消去y，可得：$\frac{x}{3}-\frac{x}{5}=\frac{54}{60}-\frac{42}{60}$，
化简计算得$\frac{2x}{15}=\frac{1}{5}$，解得$x=1.5$。
将$x=1.5$代入第二个方程，得$\frac{1.5}{5}+\frac{y}{4}=\frac{42}{60}$，
计算得$0.3+\frac{y}{4}=0.7$，解得$y=1.6$。
所以全程距离为$x+y=1.5+1.6=3.1(\mathrm{km})$。
答：甲地到乙地的全程是3.1 km。
【答案】
3.1 km
【知识点】
二元一次方程组的应用；行程问题公式应用
【点评】
本题是行程应用题的典型考法，解题核心是抓住往返时上下坡路段互换、平路不变的特点，注意单位统一后找准等量关系列方程组，也可通过作差消元简化计算过程。
【难度系数】
0.7
11.如图，一列快车长70 m，一列慢车长80 m. 若两车同向而行，快车从追上慢车到完全超过慢车所用时间为20 s；若两车相向而行，则两车从相遇到完全错开所用时间为4 s. 求两车每秒各行驶多少米. 
答案
11. 解:设快车每秒行驶x m,慢车每秒行驶y m.根据题意,得
$\begin{cases} 20x-20y=70+80,\\ 4x+4y=70+80, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=22.5,\\ y=15. \end{cases}$
答:快车每秒行驶22.5 m,慢车每秒行驶15 m.
$\begin{cases} 20x-20y=70+80,\\ 4x+4y=70+80, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=22.5,\\ y=15. \end{cases}$
答:快车每秒行驶22.5 m,慢车每秒行驶15 m.
解析
【分析】
这是行程类的错车问题，解题时先明确两种行驶情况的路程关系：①同向而行时，快车从追上到完全超过慢车，快车比慢车多行驶的路程等于两车的长度之和；②相向而行时，两车从相遇到完全错开，两车行驶的路程之和等于两车的长度之和。我们可以设快车、慢车的速度分别为x m/s、y m/s，结合“路程=速度×时间”分别列出两个方程，组成二元一次方程组求解即可。
【解析】
解：设快车每秒行驶x m，慢车每秒行驶y m。
根据题意，同向行驶时路程差为两车长之和，可得：$20x - 20y = 70 + 80$
相向行驶时路程和为两车长之和，可得：$4x + 4y = 70 + 80$
联立得方程组 $\begin{cases} 20x-20y=150\\ 4x+4y=150 \end{cases}$
化简方程组：第一个方程两边同除以20得$x - y = 7.5$，第二个方程两边同除以4得$x + y = 37.5$
将两个化简后的方程相加：$2x = 45$，解得$x = 22.5$
把$x=22.5$代入$x + y = 37.5$，得$y = 37.5 - 22.5 = 15$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=22.5\\ y=15 \end{cases}$
答：快车每秒行驶22.5 m，慢车每秒行驶15 m。
【答案】
快车每秒行驶22.5 m，慢车每秒行驶15 m。
【知识点】
二元一次方程组的应用，追及问题，相遇问题
【点评】
本题是行程错车问题的典型考题，解题的核心是准确判断同向、相向两种行驶状态下对应的总路程，再结合行程基本公式列方程组求解即可。
【难度系数】
0.7
这是行程类的错车问题，解题时先明确两种行驶情况的路程关系：①同向而行时，快车从追上到完全超过慢车，快车比慢车多行驶的路程等于两车的长度之和；②相向而行时，两车从相遇到完全错开，两车行驶的路程之和等于两车的长度之和。我们可以设快车、慢车的速度分别为x m/s、y m/s，结合“路程=速度×时间”分别列出两个方程，组成二元一次方程组求解即可。
【解析】
解：设快车每秒行驶x m，慢车每秒行驶y m。
根据题意，同向行驶时路程差为两车长之和，可得：$20x - 20y = 70 + 80$
相向行驶时路程和为两车长之和，可得：$4x + 4y = 70 + 80$
联立得方程组 $\begin{cases} 20x-20y=150\\ 4x+4y=150 \end{cases}$
化简方程组：第一个方程两边同除以20得$x - y = 7.5$，第二个方程两边同除以4得$x + y = 37.5$
将两个化简后的方程相加：$2x = 45$，解得$x = 22.5$
把$x=22.5$代入$x + y = 37.5$，得$y = 37.5 - 22.5 = 15$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=22.5\\ y=15 \end{cases}$
答：快车每秒行驶22.5 m，慢车每秒行驶15 m。
【答案】
快车每秒行驶22.5 m，慢车每秒行驶15 m。
【知识点】
二元一次方程组的应用，追及问题，相遇问题
【点评】
本题是行程错车问题的典型考题，解题的核心是准确判断同向、相向两种行驶状态下对应的总路程，再结合行程基本公式列方程组求解即可。
【难度系数】
0.7
12.七(1)班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛,试卷中共有20道题,规定每道题答对得5分,答错扣2分,未答得0分.赛后A,B,C,D,E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E同学只记得有7道题未答),具体如下表.
最后从公布的竞赛成绩中获知A,B,C,D,E五位同学的实际成绩分别是95分、81分、57分、83分、58分.
(1)求E同学的答对题数和答错题数;
(2)若A,B,C,D四位同学中,有一位同学记错了自己的答题情况,请指出哪位同学记错了,并写出他的实际答题情况.
最后从公布的竞赛成绩中获知A,B,C,D,E五位同学的实际成绩分别是95分、81分、57分、83分、58分.
(1)求E同学的答对题数和答错题数;
(2)若A,B,C,D四位同学中,有一位同学记错了自己的答题情况,请指出哪位同学记错了,并写出他的实际答题情况.
答案
12. 解:(1)设E同学的答对题数为x道,答错题数为y道.根据题意,得$\begin{cases} x+y=20-7,\\ 5x-2y=58, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=12,\\ y=1. \end{cases}$
答:E同学的答对题数为12道,答错题数为1道;(2)C同学记错了自己的答题情况.应该是答对13题,答错4题,未答3题.
解得$\begin{cases} x=12,\\ y=1. \end{cases}$
答:E同学的答对题数为12道,答错题数为1道;(2)C同学记错了自己的答题情况.应该是答对13题,答错4题,未答3题.
解析
【分析】
(1) 求解E同学的答题情况，首先根据总题数和未答题数可得答对和答错题数之和，再结合“答对得分-答错扣分=总得分”的等量关系，设未知数列二元一次方程组即可求解。
(2) 要判断哪位同学记错答题情况，先根据四位同学自报的答题数据，按照评分规则计算各自理论得分，和实际得分对比，得分不匹配的即为记错的同学；再结合该同学的未答题数确定答题总数量，结合实际得分列方程组求解其实际答题情况即可。
【解析】
(1) 设E同学的答对题数为$x$道，答错题数为$y$道。
根据题意，总答题数为$20-7=13$道，总得分58分，列方程组：
$\begin{cases} x+y=20-7\\ 5x-2y=58 \end{cases}$
整理得$\begin{cases} x+y=13&①\\ 5x-2y=58&② \end{cases}$
由①得$y=13-x$，代入②：
$5x-2(13-x)=58$
$5x-26+2x=58$
$7x=84$
解得$x=12$，则$y=13-12=1$。
(2) 分别计算A、B、C、D四位同学自报答题情况的理论得分：
A同学：$19×5 - 0×2=95$分，与实际得分95分一致，记录正确；
B同学：$17×5 - 2×2=85-4=81$分，与实际得分81分一致，记录正确；
C同学：$15×5 - 2×2=75-4=71$分，与实际得分57分不一致，记录错误；
D同学：$17×5 - 1×2=85-2=83$分，与实际得分83分一致，记录正确。
设C同学实际答对$a$道，答错$b$道，已知未答3道，故答题总数为$20-3=17$道，结合实际得分57分列方程组：
$\begin{cases} a+b=17\\ 5a-2b=57 \end{cases}$
由第一个方程得$b=17-a$，代入第二个方程：
$5a-2(17-a)=57$
$5a-34+2a=57$
$7a=91$
解得$a=13$，则$b=17-13=4$。
即C同学实际答对13题，答错4题，未答3题。
【答案】
(1) E同学的答对题数为12道，答错题数为1道；
(2) C同学记错了自己的答题情况，他的实际答题情况为答对13题，答错4题，未答3题。
【知识点】
二元一次方程组的应用，比赛积分问题计算
【点评】
本题以竞赛积分为背景，考查方程在实际问题中的应用，解题核心是准确抓住答题数量、得分规则对应的等量关系，通过计算对比排查错误信息，能够有效锻炼学生的数据分析能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解E同学的答题情况，首先根据总题数和未答题数可得答对和答错题数之和，再结合“答对得分-答错扣分=总得分”的等量关系，设未知数列二元一次方程组即可求解。
(2) 要判断哪位同学记错答题情况，先根据四位同学自报的答题数据，按照评分规则计算各自理论得分，和实际得分对比，得分不匹配的即为记错的同学；再结合该同学的未答题数确定答题总数量，结合实际得分列方程组求解其实际答题情况即可。
【解析】
(1) 设E同学的答对题数为$x$道，答错题数为$y$道。
根据题意，总答题数为$20-7=13$道，总得分58分，列方程组：
$\begin{cases} x+y=20-7\\ 5x-2y=58 \end{cases}$
整理得$\begin{cases} x+y=13&①\\ 5x-2y=58&② \end{cases}$
由①得$y=13-x$，代入②：
$5x-2(13-x)=58$
$5x-26+2x=58$
$7x=84$
解得$x=12$，则$y=13-12=1$。
(2) 分别计算A、B、C、D四位同学自报答题情况的理论得分：
A同学：$19×5 - 0×2=95$分，与实际得分95分一致，记录正确；
B同学：$17×5 - 2×2=85-4=81$分，与实际得分81分一致，记录正确；
C同学：$15×5 - 2×2=75-4=71$分，与实际得分57分不一致，记录错误；
D同学：$17×5 - 1×2=85-2=83$分，与实际得分83分一致，记录正确。
设C同学实际答对$a$道，答错$b$道，已知未答3道，故答题总数为$20-3=17$道，结合实际得分57分列方程组：
$\begin{cases} a+b=17\\ 5a-2b=57 \end{cases}$
由第一个方程得$b=17-a$，代入第二个方程：
$5a-2(17-a)=57$
$5a-34+2a=57$
$7a=91$
解得$a=13$，则$b=17-13=4$。
即C同学实际答对13题，答错4题，未答3题。
【答案】
(1) E同学的答对题数为12道，答错题数为1道；
(2) C同学记错了自己的答题情况，他的实际答题情况为答对13题，答错4题，未答3题。
【知识点】
二元一次方程组的应用，比赛积分问题计算
【点评】
本题以竞赛积分为背景，考查方程在实际问题中的应用，解题核心是准确抓住答题数量、得分规则对应的等量关系，通过计算对比排查错误信息，能够有效锻炼学生的数据分析能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
