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13.「★☆」把方程$x^2 -8x -3=0$化成$(x+m)^2 =n$的形式，则$m+n$的值为
15
。答案
13.答案 15
解析 移项得 $x^2-8x=3$,等号两边同时加 16,得 $x^2-8x+16=19$,即 $(x-4)^2=19$,$\therefore m=-4,n=19$,$\therefore m+n=-4+19=15$.
解析 移项得 $x^2-8x=3$,等号两边同时加 16,得 $x^2-8x+16=19$,即 $(x-4)^2=19$,$\therefore m=-4,n=19$,$\therefore m+n=-4+19=15$.
14.「2025黑龙江绥化中考，★★☆」已知$m,n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，则$(m+1)(n+1)=$
2027
.答案
14.答案 2 027
解析 $\because m,n$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2025x+1=0$ 的两个根,$\therefore m+n=2025$,$mn=1$,$\therefore (m+1)(n+1)=mn+m+n+1=1+2025+1=2027$.
解析 $\because m,n$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2025x+1=0$ 的两个根,$\therefore m+n=2025$,$mn=1$,$\therefore (m+1)(n+1)=mn+m+n+1=1+2025+1=2027$.
15.「2026湖北襄阳期中，★★☆」化学课代表在老师的指导下学会了某个实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班恰有49名同学都会做这个实验，那么1名同学每次能手把手教会
6
名同学。答案
15.答案 6
解析 设 1 名同学每次能手把手教会 $x$ 名同学.由题意,得 $1+x+(x+1)x=49$,解得 $x_1=6$,$x_2=-8$(不合题意,舍去), $\therefore 1$ 名同学每次能手把手教会 6 名同学.故答案为 6.
解析 设 1 名同学每次能手把手教会 $x$ 名同学.由题意,得 $1+x+(x+1)x=49$,解得 $x_1=6$,$x_2=-8$(不合题意,舍去), $\therefore 1$ 名同学每次能手把手教会 6 名同学.故答案为 6.
16.「★★☆」如图所示的图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第
第1个图 第2个图
第4个图 …
20
个图中有210个小球。第1个图 第2个图
第4个图 …答案
16.答案 20
解析 第 1 个图中有 1 个小球,第 2 个图中有 1+2=3 个小球,第 3 个图中有 1+2+3=6 个小球,第 4 个图中有 1+2+3+4=10 个小球,……,故第 $n$ 个图中有 $1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ 个小球,当 $\frac{n(n+1)}{2}=210$ 时,解得 $n_1=20$,$n_2=-21$(舍去).故答案为 20.
解析 第 1 个图中有 1 个小球,第 2 个图中有 1+2=3 个小球,第 3 个图中有 1+2+3=6 个小球,第 4 个图中有 1+2+3+4=10 个小球,……,故第 $n$ 个图中有 $1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ 个小球,当 $\frac{n(n+1)}{2}=210$ 时,解得 $n_1=20$,$n_2=-21$(舍去).故答案为 20.
三、解答题(共56分)
17.「2026辽宁铁岭期末，★☆」(8分)解方程：
(1)$(x-3)^2=2(3-x)$.
(2)$x^2-2x-15=0$.
17.「2026辽宁铁岭期末，★☆」(8分)解方程：
(1)$(x-3)^2=2(3-x)$.
(2)$x^2-2x-15=0$.
答案
17.解析 (1)方程可变形为$(x-3)^2+2(x-3)=0$,
提公因式,得$(x-3)(x-1)=0$,
所以$x-3=0$或$x-1=0$,
所以$x_1=3$,$x_2=1$.
(2)移项,得$x^2-2x=15$,
配方,得$x^2-2x+1=15+1$,
即$(x-1)^2=16$,
两边开平方,得$x-1=\pm4$,
所以$x-1=-4$或$x-1=4$,
所以$x_1=-3$,$x_2=5$.
提公因式,得$(x-3)(x-1)=0$,
所以$x-3=0$或$x-1=0$,
所以$x_1=3$,$x_2=1$.
(2)移项,得$x^2-2x=15$,
配方,得$x^2-2x+1=15+1$,
即$(x-1)^2=16$,
两边开平方,得$x-1=\pm4$,
所以$x-1=-4$或$x-1=4$,
所以$x_1=-3$,$x_2=5$.
