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4.若点$(a-b,1)$和$(-6,b-c)$是关于原点的对称点，则$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc$的值为
62
。答案
4.62
解析
【分析】
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。我们可以先依据这个性质求出$a-b$和$b-c$的值，再推导得到$a-c$的值。接下来观察所求代数式的结构，它可以通过配方变形为三个完全平方的和，恰好对应我们求出的三个差值的平方，代入数值即可计算出结果，无需单独求出$a、b、c$的具体值，能简化计算。
【解析】
解：
∵点$(a-b,1)$和$(-6,b-c)$关于原点对称
∴根据原点对称的点的坐标特征可得：
$a - b = -(-6) = 6$，
$1 = -(b - c)$，即$b - c = -1$，
∴$a - c = (a - b) + (b - c) = 6 + (-1) = 5$。
对所求代数式配方化简：
$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc$
$=(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)$
$=(a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2$
将$a-b=6$、$a-c=5$、$b-c=-1$代入上式：
原式$=6^2 + 5^2 + (-1)^2 = 36 + 25 + 1 = 62$
【答案】
62
【知识点】
原点对称的坐标特征；完全平方公式；代数式化简求值
【点评】
本题综合考查了中心对称的坐标性质和代数式的配方变形，解题的关键是先利用对称性质得到相关代数式的差值，再通过配方将所求式子转化为可直接代入计算的形式，避免了单独求解未知数的繁琐计算，考查了学生的公式应用能力和整体代入思想。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。我们可以先依据这个性质求出$a-b$和$b-c$的值，再推导得到$a-c$的值。接下来观察所求代数式的结构，它可以通过配方变形为三个完全平方的和，恰好对应我们求出的三个差值的平方，代入数值即可计算出结果，无需单独求出$a、b、c$的具体值，能简化计算。
【解析】
解：
∵点$(a-b,1)$和$(-6,b-c)$关于原点对称
∴根据原点对称的点的坐标特征可得：
$a - b = -(-6) = 6$，
$1 = -(b - c)$，即$b - c = -1$，
∴$a - c = (a - b) + (b - c) = 6 + (-1) = 5$。
对所求代数式配方化简：
$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc$
$=(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)$
$=(a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2$
将$a-b=6$、$a-c=5$、$b-c=-1$代入上式：
原式$=6^2 + 5^2 + (-1)^2 = 36 + 25 + 1 = 62$
【答案】
62
【知识点】
原点对称的坐标特征；完全平方公式；代数式化简求值
【点评】
本题综合考查了中心对称的坐标性质和代数式的配方变形，解题的关键是先利用对称性质得到相关代数式的差值，再通过配方将所求式子转化为可直接代入计算的形式，避免了单独求解未知数的繁琐计算，考查了学生的公式应用能力和整体代入思想。
【难度系数】
0.6
5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别是A(0,4),B(0,2),C(3,2).
(1)将△ABC以原点O为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A₁B₁C₁;
(2)将△ABC平移后得到△A₂B₂C₂,若点A的对应点A₂的坐标为(2,2),求△A₁C₁C₂的面积.
(1)将△ABC以原点O为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A₁B₁C₁;
(2)将△ABC平移后得到△A₂B₂C₂,若点A的对应点A₂的坐标为(2,2),求△A₁C₁C₂的面积.
答案
5.【解】(1)$\because$ 将$△ ABC$ 以 $O$ 为旋转中心旋转 $180°,$
$\therefore△ A_1B_1C_1$ 与$△ ABC$ 关于原点对称.
$\because$ 点 $A,B,C$ 的坐标分别为$(0,4),(0,2),(3,2),$
$\therefore$ 点 $A_1,B_1,C_1$ 的坐标分别为$(0,-4),(0,-2),(-3,-2).$
如图所示.
(2)由题意 $A(0,4),B(0,2),C(3,2),$ 平移后得到$△ A_2B_2C_2,$其中 $A_2(2,2),$ 根据平移的规律知,平移过程是向下和向右分别移动 2 个单位长度,可得 $B_2(2,0),C_2(5,0).$
连接点 $A_1,C_1,C_2,$得$△ A_1C_1C_2,$
其中 $C_1C_2$ 交 $y$ 轴于点 $D,$如图所示.
由点 $C_1(-3,-2),C_2(5,0)$得出直线 $C_1C_2$ 的解析式为 $y=\dfrac{1}{4}x-\dfrac{5}{4}.$
当 $x=0$ 时,$y=-\dfrac{5}{4}.$
$\therefore D(0,-\dfrac{5}{4}).$
$\therefore A_1D=\dfrac{11}{4}.$
$\therefore S_{△ A_1C_1C_2}=S_{△ A_1C_1D}+S_{△ A_1DC_2}$
$=\dfrac{1}{2}× A_1D· C_1B_1+\dfrac{1}{2}× A_1D· OC_2$
$=\dfrac{1}{2}× \dfrac{11}{4}×3+\dfrac{1}{2}× \dfrac{11}{4}×5=11.$
解析
【分析】
(1) 要画出△ABC绕原点旋转180°后的图形，首先明确旋转180°等价于两个图形关于原点中心对称，关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，因此先求出A、B、C三点关于原点的对称点坐标，再依次连接三点即可得到旋转后的图形。
(2) 要求△A₁C₁C₂的面积，首先需要确定三个顶点的坐标：A₁、C₁的坐标可由第一问的中心对称规律得到；再根据点A平移到A₂的坐标变化确定平移规律，进而求出C₂的坐标；最后用分割法，将△A₁C₁C₂沿y轴分割为两个同底的小三角形，求出直线C₁C₂与y轴的交点得到公共底边长，分别计算两个小三角形的面积再求和，即可得到所求三角形的面积。
【解析】
(1) $\because$ 将$△ ABC$以原点$O$为旋转中心旋转$180°$，
$\therefore △ A_1B_1C_1$与$△ ABC$关于原点中心对称，
$\because$ 点$A,B,C$的坐标分别为$(0,4),(0,2),(3,2)$，
$\therefore$ 关于原点对称的点$A_1,B_1,C_1$的坐标分别为$(0,-4),(0,-2),(-3,-2)$，
依次连接$A_1,B_1,C_1$，得到的$△ A_1B_1C_1$即为所求，如图所示：
(2) 已知点$A(0,4)$平移后对应点$A_2$的坐标为$(2,2)$，
横坐标变化：$2-0=2$，纵坐标变化：$2-4=-2$，
$\therefore$ 平移规律为：向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，
$\because$ 点$C$的坐标为$(3,2)$，
$\therefore$ 点$C_2$的坐标为$(3+2,2-2)$，即$(5,0)$。
连接$A_1,C_1,C_2$得到$△ A_1C_1C_2$，设直线$C_1C_2$交$y$轴于点$D$。
设直线$C_1C_2$的解析式为$y=kx+b$，将$C_1(-3,-2)$、$C_2(5,0)$代入得：
$\begin{cases}-3k+b=-2 \\5k+b=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{4} \\b=-\dfrac{5}{4} \end{cases}$，即直线$C_1C_2$的解析式为$y=\dfrac{1}{4}x-\dfrac{5}{4}$。
当$x=0$时，$y=-\dfrac{5}{4}$，即$D(0,-\dfrac{5}{4})$，
$\therefore A_1D=\left|-\dfrac{5}{4}-(-4)\right|=\dfrac{11}{4}$。
$△ A_1C_1D$以$A_1D$为底时，水平高为点$C_1$横坐标的绝对值3；$△ A_1DC_2$以$A_1D$为底时，水平高为点$C_2$横坐标的绝对值5，因此：
$S_{△ A_1C_1C_2}=S_{△ A_1C_1D}+S_{△ A_1DC_2}$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{11}{4}×3+\dfrac{1}{2}×\dfrac{11}{4}×5$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{11}{4}×8=11$。
【答案】
(1) 作图见解析，$A_1(0,-4),B_1(0,-2),C_1(-3,-2)$，；
(2) $\boxed{11}$
【知识点】
中心对称的坐标特征，图形的平移，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题结合了旋转、平移两种图形变换的性质，以及平面直角坐标系下图形面积的计算，既考查了基础的坐标变换规律，也考查了割补法求解不规则图形面积的能力，是坐标与图形变换类的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 要画出△ABC绕原点旋转180°后的图形，首先明确旋转180°等价于两个图形关于原点中心对称，关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，因此先求出A、B、C三点关于原点的对称点坐标，再依次连接三点即可得到旋转后的图形。
(2) 要求△A₁C₁C₂的面积，首先需要确定三个顶点的坐标：A₁、C₁的坐标可由第一问的中心对称规律得到；再根据点A平移到A₂的坐标变化确定平移规律，进而求出C₂的坐标；最后用分割法，将△A₁C₁C₂沿y轴分割为两个同底的小三角形，求出直线C₁C₂与y轴的交点得到公共底边长，分别计算两个小三角形的面积再求和，即可得到所求三角形的面积。
【解析】
(1) $\because$ 将$△ ABC$以原点$O$为旋转中心旋转$180°$，
$\therefore △ A_1B_1C_1$与$△ ABC$关于原点中心对称，
$\because$ 点$A,B,C$的坐标分别为$(0,4),(0,2),(3,2)$，
$\therefore$ 关于原点对称的点$A_1,B_1,C_1$的坐标分别为$(0,-4),(0,-2),(-3,-2)$，
依次连接$A_1,B_1,C_1$，得到的$△ A_1B_1C_1$即为所求，如图所示：
(2) 已知点$A(0,4)$平移后对应点$A_2$的坐标为$(2,2)$，
横坐标变化：$2-0=2$，纵坐标变化：$2-4=-2$，
$\therefore$ 平移规律为：向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，
$\because$ 点$C$的坐标为$(3,2)$，
$\therefore$ 点$C_2$的坐标为$(3+2,2-2)$，即$(5,0)$。
连接$A_1,C_1,C_2$得到$△ A_1C_1C_2$，设直线$C_1C_2$交$y$轴于点$D$。
设直线$C_1C_2$的解析式为$y=kx+b$，将$C_1(-3,-2)$、$C_2(5,0)$代入得：
$\begin{cases}-3k+b=-2 \\5k+b=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{4} \\b=-\dfrac{5}{4} \end{cases}$，即直线$C_1C_2$的解析式为$y=\dfrac{1}{4}x-\dfrac{5}{4}$。
当$x=0$时，$y=-\dfrac{5}{4}$，即$D(0,-\dfrac{5}{4})$，
$\therefore A_1D=\left|-\dfrac{5}{4}-(-4)\right|=\dfrac{11}{4}$。
$△ A_1C_1D$以$A_1D$为底时，水平高为点$C_1$横坐标的绝对值3；$△ A_1DC_2$以$A_1D$为底时，水平高为点$C_2$横坐标的绝对值5，因此：
$S_{△ A_1C_1C_2}=S_{△ A_1C_1D}+S_{△ A_1DC_2}$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{11}{4}×3+\dfrac{1}{2}×\dfrac{11}{4}×5$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{11}{4}×8=11$。
【答案】
(1) 作图见解析，$A_1(0,-4),B_1(0,-2),C_1(-3,-2)$，
；(2) $\boxed{11}$
【知识点】
中心对称的坐标特征，图形的平移，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题结合了旋转、平移两种图形变换的性质，以及平面直角坐标系下图形面积的计算，既考查了基础的坐标变换规律，也考查了割补法求解不规则图形面积的能力，是坐标与图形变换类的典型习题。
【难度系数】
0.7
