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1.甲、乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9环，射击成绩的方差分别是$s^2_甲=0.56$，$s^2_乙=0.13$，$s^2_丙=1.2$，$s^2_丁=0.36$。这四个人当中成绩最稳定的是(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
B
)A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确方差的作用：方差是衡量一组数据波动大小的统计量。已知四人的平均成绩完全相同，这种情况下方差越小，说明成绩的波动越小，稳定性就越好。所以解题只需要比较四名选手方差的大小，找到方差最小的选手即可。
【解析】
当多组数据的平均水平相同时，方差越小，数据的波动越小，对应成绩越稳定。
将四人的方差从小到大排序：
$s^2_乙=0.13 ＜ s^2_丁=0.36 ＜ s^2_甲=0.56 ＜ s^2_丙=1.2$
可知乙的方差最小，因此乙的成绩最稳定。
【答案】
B
【知识点】
方差的意义
【点评】
本题考查方差的实际应用，只要熟练掌握“方差越小，数据稳定性越高”的性质，就能快速得出答案，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确方差的作用：方差是衡量一组数据波动大小的统计量。已知四人的平均成绩完全相同，这种情况下方差越小，说明成绩的波动越小，稳定性就越好。所以解题只需要比较四名选手方差的大小，找到方差最小的选手即可。
【解析】
当多组数据的平均水平相同时，方差越小，数据的波动越小，对应成绩越稳定。
将四人的方差从小到大排序：
$s^2_乙=0.13 ＜ s^2_丁=0.36 ＜ s^2_甲=0.56 ＜ s^2_丙=1.2$
可知乙的方差最小，因此乙的成绩最稳定。
【答案】
B
【知识点】
方差的意义
【点评】
本题考查方差的实际应用，只要熟练掌握“方差越小，数据稳定性越高”的性质，就能快速得出答案，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
2.若一个样本$a,4,2,5,3$的平均数是3，
则这个样本的标准差为(
A.0
B.1
C.$\sqrt{2}$
D.2
则这个样本的标准差为(
C
)A.0
B.1
C.$\sqrt{2}$
D.2
答案
C
解析
【分析】
解题时首先应根据平均数的计算公式求出未知数据a的值，再按照“先算方差、再开方得标准差”的步骤求解：①平均数等于所有数据之和除以数据的总个数，据此列方程即可求出a；②方差是各数据与平均数之差的平方的平均数，算出方差后，其算术平方根就是标准差，最后匹配选项即可。
【解析】
第一步：根据平均数公式求a的值
已知样本有5个数据，平均数为3，由平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$可得：
$\frac{a+4+2+5+3}{5}=3$
整理得：$a+14=15$，解得$a=1$。
第二步：计算样本的方差
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据：
$s^2=\frac{1}{5}[(1-3)^2+(4-3)^2+(2-3)^2+(5-3)^2+(3-3)^2]$
$=\frac{1}{5}[4+1+1+4+0]$
$=\frac{1}{5}×10=2$
第三步：计算标准差
标准差是方差的算术平方根，因此标准差$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；标准差的定义
【点评】
本题属于统计类基础计算题，核心是掌握平均数、方差、标准差三个统计量的计算公式，解题时需注意标准差是方差的算术平方根，避免直接将方差结果当成标准差错选。
【难度系数】
0.7
解题时首先应根据平均数的计算公式求出未知数据a的值，再按照“先算方差、再开方得标准差”的步骤求解：①平均数等于所有数据之和除以数据的总个数，据此列方程即可求出a；②方差是各数据与平均数之差的平方的平均数，算出方差后，其算术平方根就是标准差，最后匹配选项即可。
【解析】
第一步：根据平均数公式求a的值
已知样本有5个数据，平均数为3，由平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$可得：
$\frac{a+4+2+5+3}{5}=3$
整理得：$a+14=15$，解得$a=1$。
第二步：计算样本的方差
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据：
$s^2=\frac{1}{5}[(1-3)^2+(4-3)^2+(2-3)^2+(5-3)^2+(3-3)^2]$
$=\frac{1}{5}[4+1+1+4+0]$
$=\frac{1}{5}×10=2$
第三步：计算标准差
标准差是方差的算术平方根，因此标准差$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；标准差的定义
【点评】
本题属于统计类基础计算题，核心是掌握平均数、方差、标准差三个统计量的计算公式，解题时需注意标准差是方差的算术平方根，避免直接将方差结果当成标准差错选。
【难度系数】
0.7
3.甲、乙两地7月上旬的日平均气温如图所示。甲、乙两地这10天中日平均气温的方差$s^2_甲$与$s^2_乙$的大小关系是$s^2_甲$
＞
（填“＞”“＜”或“=”）$s^2_乙$。答案
＞
解析
【分析】
要比较甲、乙两地日平均气温的方差大小，首先明确方差的意义：方差是反映一组数据波动大小的量，数据波动越大，方差越大，反之越小。折线统计图中，折线的起伏程度对应数据的波动大小，折线起伏越明显，数据波动越大。观察题图可知，甲地对应的实线折线起伏比乙地的虚线折线更大，说明甲地气温波动更大，由此可判断甲地方差更大。
【解析】
方差是衡量一组数据波动大小的统计量，数据波动越大，方差越大；数据波动越小，方差越小。观察折线统计图可得，甲地的日平均气温折线起伏更明显，说明甲地气温的波动程度大于乙地，因此甲地的方差更大，即$s^2_甲＞s^2_乙$。
【答案】
＞
【知识点】
折线统计图识别；方差的意义
【点评】
本题考查折线统计图和方差的结合应用，无需计算方差的具体数值，只需通过折线的起伏程度判断数据波动情况，即可快速比较方差大小，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要比较甲、乙两地日平均气温的方差大小，首先明确方差的意义：方差是反映一组数据波动大小的量，数据波动越大，方差越大，反之越小。折线统计图中，折线的起伏程度对应数据的波动大小，折线起伏越明显，数据波动越大。观察题图可知，甲地对应的实线折线起伏比乙地的虚线折线更大，说明甲地气温波动更大，由此可判断甲地方差更大。
【解析】
方差是衡量一组数据波动大小的统计量，数据波动越大，方差越大；数据波动越小，方差越小。观察折线统计图可得，甲地的日平均气温折线起伏更明显，说明甲地气温的波动程度大于乙地，因此甲地的方差更大，即$s^2_甲＞s^2_乙$。
【答案】
＞
【知识点】
折线统计图识别；方差的意义
【点评】
本题考查折线统计图和方差的结合应用，无需计算方差的具体数值，只需通过折线的起伏程度判断数据波动情况，即可快速比较方差大小，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
4.在某校举办的演讲比赛中，六位评委给小华的评分(单位:分)分别为8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为
2.5
。答案
2.5
解析
【分析】
要计算离差平方和，首先明确其定义：一组数据中每个数据与该组数据平均数的差的平方的总和。解题可分三步开展：第一步先计算六位评委评分的平均数；第二步分别计算每个评分与平均数的差的平方；第三步将所有平方值相加，即可得到最终的离差平方和。
【解析】
1. 计算评分的平均数
六位评委的评分总和为：$8 + 7.5 + 9.5 + 8.5 + 8.5 + 9 = 51$
则平均数$\bar{x}=\frac{51}{6}=8.5$分
2. 计算每个评分与平均数的差的平方
$(8-8.5)^2=(-0.5)^2=0.25$
$(7.5-8.5)^2=(-1)^2=1$
$(9.5-8.5)^2=1^2=1$
$(8.5-8.5)^2=0^2=0$
$(8.5-8.5)^2=0^2=0$
$(9-8.5)^2=0.5^2=0.25$
3. 求和得到离差平方和
将上述平方值相加：$0.25+1+1+0+0+0.25=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是掌握离差平方和的计算逻辑，解题时只要先准确求出数据的平均数，再依次计算差的平方求和即可，计算过程注意小数运算的准确性，避免低级失误。
【难度系数】
0.8
要计算离差平方和，首先明确其定义：一组数据中每个数据与该组数据平均数的差的平方的总和。解题可分三步开展：第一步先计算六位评委评分的平均数；第二步分别计算每个评分与平均数的差的平方；第三步将所有平方值相加，即可得到最终的离差平方和。
【解析】
1. 计算评分的平均数
六位评委的评分总和为：$8 + 7.5 + 9.5 + 8.5 + 8.5 + 9 = 51$
则平均数$\bar{x}=\frac{51}{6}=8.5$分
2. 计算每个评分与平均数的差的平方
$(8-8.5)^2=(-0.5)^2=0.25$
$(7.5-8.5)^2=(-1)^2=1$
$(9.5-8.5)^2=1^2=1$
$(8.5-8.5)^2=0^2=0$
$(8.5-8.5)^2=0^2=0$
$(9-8.5)^2=0.5^2=0.25$
3. 求和得到离差平方和
将上述平方值相加：$0.25+1+1+0+0+0.25=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是掌握离差平方和的计算逻辑，解题时只要先准确求出数据的平均数，再依次计算差的平方求和即可，计算过程注意小数运算的准确性，避免低级失误。
【难度系数】
0.8
5. 提升题 某校要从甲、乙两名跳高运动员中选拔一人参加区中学生运动会。两人在8次选拔比赛中的成绩(单位：cm)如下：
甲：170，165，168，169，172，173，168，167；
乙：160，173，172，161，162，171，170，175。
(1)甲、乙两名运动员的平均成绩分别是多少？
(2)谁的成绩更稳定？为什么？
(3)若预测跳过165 cm就可能获得冠军，应选择哪名运动员参赛？若预测跳过170 cm才能获得冠军，又应如何选择？为什么？
甲：170，165，168，169，172，173，168，167；
乙：160，173，172，161，162，171，170，175。
(1)甲、乙两名运动员的平均成绩分别是多少？
(2)谁的成绩更稳定？为什么？
(3)若预测跳过165 cm就可能获得冠军，应选择哪名运动员参赛？若预测跳过170 cm才能获得冠军，又应如何选择？为什么？
答案
(1)甲的平均成绩为$\frac{1}{8}×(170+165+168+169+172+173+168+167)=169(\mathrm{cm})$，
乙的平均成绩为$\frac{1}{8}×(160+173+172+161+162+171+170+175)=168(\mathrm{cm})$。
(2)$s^2_甲=\frac{1}{8}×[(170-169)^2+(165-169)^2+(168-169)^2+(169-169)^2+(172-169)^2+(173-169)^2+(168-169)^2+(167-169)^2]=6$；
$s^2_乙=\frac{1}{8}×[(160-168)^2+(173-168)^2+(172-168)^2+(161-168)^2+(162-168)^2+(171-168)^2+(170-168)^2+(175-168)^2]=31.5$。
因为$s^2_甲＜s^2_乙$，所以甲运动员的成绩更稳定。
(3)若跳过165 cm就可能获得冠军，在8次成绩中，甲8次都跳过了165 cm，而乙只有5次，所以应选甲运动员参赛；若跳过170 cm才能获得冠军，在8次成绩中，甲只有3次跳过了170 cm，而乙有5次，所以应选乙运动员参赛。
乙的平均成绩为$\frac{1}{8}×(160+173+172+161+162+171+170+175)=168(\mathrm{cm})$。
(2)$s^2_甲=\frac{1}{8}×[(170-169)^2+(165-169)^2+(168-169)^2+(169-169)^2+(172-169)^2+(173-169)^2+(168-169)^2+(167-169)^2]=6$；
$s^2_乙=\frac{1}{8}×[(160-168)^2+(173-168)^2+(172-168)^2+(161-168)^2+(162-168)^2+(171-168)^2+(170-168)^2+(175-168)^2]=31.5$。
因为$s^2_甲＜s^2_乙$，所以甲运动员的成绩更稳定。
(3)若跳过165 cm就可能获得冠军，在8次成绩中，甲8次都跳过了165 cm，而乙只有5次，所以应选甲运动员参赛；若跳过170 cm才能获得冠军，在8次成绩中，甲只有3次跳过了170 cm，而乙有5次，所以应选乙运动员参赛。
解析
【分析】
(1) 求平均成绩需用平均数计算公式：平均数=所有数据之和÷数据总个数，分别将甲、乙两人8次的成绩求和后除以8，即可算出两人的平均成绩。
(2) 成绩的稳定性由方差判断，方差越小说明数据波动越小、成绩越稳定。先根据方差公式分别计算甲、乙成绩的方差，再比较两个方差的大小就能得出结论。
(3) 判断参赛人选时，只需分别统计两人8次成绩中达到对应冠军要求高度的次数，次数越多说明夺冠概率越高，选择达标次数更多的运动员即可。
【解析】
(1) 计算两人平均成绩：
甲的平均成绩$\overline{x}_甲=\frac{1}{8}×(170+165+168+169+172+173+168+167)=169(\mathrm{cm})$
乙的平均成绩$\overline{x}_乙=\frac{1}{8}×(160+173+172+161+162+171+170+175)=168(\mathrm{cm})$
(2) 计算方差判断稳定性：
甲的方差$s^2_甲=\frac{1}{8}×[(170-169)^2+(165-169)^2+(168-169)^2+(169-169)^2+(172-169)^2+(173-169)^2+(168-169)^2+(167-169)^2]=6$
乙的方差$s^2_乙=\frac{1}{8}×[(160-168)^2+(173-168)^2+(172-168)^2+(161-168)^2+(162-168)^2+(171-168)^2+(170-168)^2+(175-168)^2]=31.5$
因为$s^2_甲＜s^2_乙$，说明甲的成绩波动更小，因此甲运动员的成绩更稳定。
(3) 分情况选择参赛人员：
① 若跳过165cm就可能获得冠军：统计可知甲8次成绩均超过165cm，乙仅有5次成绩超过165cm，甲达标次数更多，应选甲运动员参赛。
② 若跳过170cm才能获得冠军：统计可知甲仅有3次成绩超过170cm，乙有5次成绩超过170cm，乙达标次数更多，应选乙运动员参赛。
【答案】
(1)甲的平均成绩为$169\mathrm{cm}$，乙的平均成绩为$168\mathrm{cm}$；
(2)甲的成绩更稳定，因为$s^2_甲＜s^2_乙$，甲的成绩波动更小；
(3)跳过165cm夺冠选甲，甲8次都达到165cm，乙仅5次达标；跳过170cm夺冠选乙，甲仅3次达到170cm，乙有5次达标。
【知识点】
平均数计算，方差计算，统计量应用
【点评】
本题结合运动员选拔的实际场景，考查了平均数、方差的计算和统计量的实际应用，解题核心是准确理解不同统计量的意义，结合实际需求分析数据，计算时要注意避免运算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求平均成绩需用平均数计算公式：平均数=所有数据之和÷数据总个数，分别将甲、乙两人8次的成绩求和后除以8，即可算出两人的平均成绩。
(2) 成绩的稳定性由方差判断，方差越小说明数据波动越小、成绩越稳定。先根据方差公式分别计算甲、乙成绩的方差，再比较两个方差的大小就能得出结论。
(3) 判断参赛人选时，只需分别统计两人8次成绩中达到对应冠军要求高度的次数，次数越多说明夺冠概率越高，选择达标次数更多的运动员即可。
【解析】
(1) 计算两人平均成绩：
甲的平均成绩$\overline{x}_甲=\frac{1}{8}×(170+165+168+169+172+173+168+167)=169(\mathrm{cm})$
乙的平均成绩$\overline{x}_乙=\frac{1}{8}×(160+173+172+161+162+171+170+175)=168(\mathrm{cm})$
(2) 计算方差判断稳定性：
甲的方差$s^2_甲=\frac{1}{8}×[(170-169)^2+(165-169)^2+(168-169)^2+(169-169)^2+(172-169)^2+(173-169)^2+(168-169)^2+(167-169)^2]=6$
乙的方差$s^2_乙=\frac{1}{8}×[(160-168)^2+(173-168)^2+(172-168)^2+(161-168)^2+(162-168)^2+(171-168)^2+(170-168)^2+(175-168)^2]=31.5$
因为$s^2_甲＜s^2_乙$，说明甲的成绩波动更小，因此甲运动员的成绩更稳定。
(3) 分情况选择参赛人员：
① 若跳过165cm就可能获得冠军：统计可知甲8次成绩均超过165cm，乙仅有5次成绩超过165cm，甲达标次数更多，应选甲运动员参赛。
② 若跳过170cm才能获得冠军：统计可知甲仅有3次成绩超过170cm，乙有5次成绩超过170cm，乙达标次数更多，应选乙运动员参赛。
【答案】
(1)甲的平均成绩为$169\mathrm{cm}$，乙的平均成绩为$168\mathrm{cm}$；
(2)甲的成绩更稳定，因为$s^2_甲＜s^2_乙$，甲的成绩波动更小；
(3)跳过165cm夺冠选甲，甲8次都达到165cm，乙仅5次达标；跳过170cm夺冠选乙，甲仅3次达到170cm，乙有5次达标。
【知识点】
平均数计算，方差计算，统计量应用
【点评】
本题结合运动员选拔的实际场景，考查了平均数、方差的计算和统计量的实际应用，解题核心是准确理解不同统计量的意义，结合实际需求分析数据，计算时要注意避免运算错误。
【难度系数】
0.7
