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9. 下列分解因式不正确的是().
A.$a^2 - ab = a(a - b)$
B.$ab^2 - a = a(b + 1)(b - 1)$
C.$a^2 - 2a + 4 = (a - 2)^2$
D.$(a - b)^2 + 4ab = (a + b)^2$
A.$a^2 - ab = a(a - b)$
B.$ab^2 - a = a(b + 1)(b - 1)$
C.$a^2 - 2a + 4 = (a - 2)^2$
D.$(a - b)^2 + 4ab = (a + b)^2$
答案
C
解析
【分析】
本题考查因式分解的正误判断，解题思路如下：首先明确因式分解的两个核心判断标准：①等式右边必须是几个整式的乘积形式；②左右两边整式的值恒相等，且分解要彻底。解题时可逐个验证选项：既可以从左到右按照提公因式、公式法的步骤推导，也可以将右边的乘积展开，与左边的多项式对比是否相等，即可找出错误的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对$a^2-ab$提取公因式$a$，可得$a(a-b)$，与选项右边一致，分解正确；
B选项：先对$ab^2 - a$提取公因式$a$，得$a(b^2 - 1)$，再利用平方差公式分解$b^2-1=(b+1)(b-1)$，最终得$a(b+1)(b-1)$，与选项右边一致，分解正确；
C选项：将右边$(a-2)^2$展开，得$a^2 - 4a + 4$，与左边$a^2 - 2a + 4$不相等，分解错误；
D选项：先化简左边式子，$(a-b)^2 + 4ab = a^2 - 2ab + b^2 + 4ab = a^2 + 2ab + b^2$，再利用完全平方公式可得$a^2 + 2ab + b^2=(a+b)^2$，与选项右边一致，分解正确。
综上，分解因式不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的判断；提公因式法分解因式；公式法分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题时既可以正向按分解步骤推导，也可以反向展开右边的式子验证，需要熟练掌握提公因式法、平方差公式和完全平方公式的应用。
【难度系数】
0.8
本题考查因式分解的正误判断，解题思路如下：首先明确因式分解的两个核心判断标准：①等式右边必须是几个整式的乘积形式；②左右两边整式的值恒相等，且分解要彻底。解题时可逐个验证选项：既可以从左到右按照提公因式、公式法的步骤推导，也可以将右边的乘积展开，与左边的多项式对比是否相等，即可找出错误的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对$a^2-ab$提取公因式$a$，可得$a(a-b)$，与选项右边一致，分解正确；
B选项：先对$ab^2 - a$提取公因式$a$，得$a(b^2 - 1)$，再利用平方差公式分解$b^2-1=(b+1)(b-1)$，最终得$a(b+1)(b-1)$，与选项右边一致，分解正确；
C选项：将右边$(a-2)^2$展开，得$a^2 - 4a + 4$，与左边$a^2 - 2a + 4$不相等，分解错误；
D选项：先化简左边式子，$(a-b)^2 + 4ab = a^2 - 2ab + b^2 + 4ab = a^2 + 2ab + b^2$，再利用完全平方公式可得$a^2 + 2ab + b^2=(a+b)^2$，与选项右边一致，分解正确。
综上，分解因式不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的判断；提公因式法分解因式；公式法分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题时既可以正向按分解步骤推导，也可以反向展开右边的式子验证，需要熟练掌握提公因式法、平方差公式和完全平方公式的应用。
【难度系数】
0.8
10. 对于实数$a,b$,定义新运算“☆”,规定:$a☆b=a^3 - ab$. 将多项式$a☆4$因式分解的其结果是().
A.$a(a^2 - 4)$
B.$a(a+4)(a-4)$
C.$a(a-2)^2$
D.$a(a+2)(a-2)$
A.$a(a^2 - 4)$
B.$a(a+4)(a-4)$
C.$a(a-2)^2$
D.$a(a+2)(a-2)$
答案
D
解析
【分析】
解题首先要正确理解新定义的“☆”运算规则，先将a☆4按照规定的运算转化为常规的多项式，再按照因式分解的一般步骤进行分解：第一步先提取公因式，第二步观察剩余因式是否可以用乘法公式继续分解，注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，最后对应选项选出正确结果即可。
【解析】
解：根据新运算“☆”的定义：$a☆b=a^3 - ab$
将$b=4$代入得：
$a☆4 = a^3 - a×4 = a^3 - 4a$
第一步提取公因式$a$：
$a^3 - 4a = a(a^2 - 4)$
第二步，$a^2 - 4$符合平方差公式的形式，利用平方差公式$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$继续分解：
$a^2 - 4 = (a+2)(a-2)$
因此最终分解结果为：$a☆4 = a(a+2)(a-2)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、提公因式法、公式法因式分解
【点评】
本题将新定义运算和因式分解结合考查，解题关键是先根据新定义写出对应多项式，再按照因式分解的规范步骤分解，需注意因式分解要分解到不能再分解为止，避免误选未分解完全的干扰项。
【难度系数】
0.7
解题首先要正确理解新定义的“☆”运算规则，先将a☆4按照规定的运算转化为常规的多项式，再按照因式分解的一般步骤进行分解：第一步先提取公因式，第二步观察剩余因式是否可以用乘法公式继续分解，注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，最后对应选项选出正确结果即可。
【解析】
解：根据新运算“☆”的定义：$a☆b=a^3 - ab$
将$b=4$代入得：
$a☆4 = a^3 - a×4 = a^3 - 4a$
第一步提取公因式$a$：
$a^3 - 4a = a(a^2 - 4)$
第二步，$a^2 - 4$符合平方差公式的形式，利用平方差公式$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$继续分解：
$a^2 - 4 = (a+2)(a-2)$
因此最终分解结果为：$a☆4 = a(a+2)(a-2)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、提公因式法、公式法因式分解
【点评】
本题将新定义运算和因式分解结合考查，解题关键是先根据新定义写出对应多项式，再按照因式分解的规范步骤分解，需注意因式分解要分解到不能再分解为止，避免误选未分解完全的干扰项。
【难度系数】
0.7
11. 已知 $ xy = -\dfrac{1}{2}, x + y = 5 $，则 $ 2x^3y + 4x^2y^2 + 2xy^3 = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
$\boldsymbol{-25}$
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现各项均含有公因式，因此第一步先提取公因式，再判断提取公因式后剩余的多项式是否可以用乘法公式继续分解，最终把代数式变形为含有已知条件$xy$和$x+y$的形式，再代入数值计算即可，无需单独求出$x$、$y$的取值，可大幅简化计算过程。
【解析】
对所求代数式逐步因式分解，再代入数值计算：
1. 提取公因式：
$2x^3y + 4x^2y^2 + 2xy^3=2xy(x^2 + 2xy + y^2)$
2. 利用完全平方公式继续分解：
$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，因此原式可变形为$2xy(x+y)^2$
3. 代入已知条件$xy=-\dfrac{1}{2}$，$x+y=5$计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-\dfrac{1}{2})×5^2\\&=-1×25\\&=-25\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-25}$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，解题核心是先将待求式因式分解，转化为含已知条件的结构再代入计算，比直接求解$x$、$y$的值更简便，能有效降低计算量和出错率。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式的结构，发现各项均含有公因式，因此第一步先提取公因式，再判断提取公因式后剩余的多项式是否可以用乘法公式继续分解，最终把代数式变形为含有已知条件$xy$和$x+y$的形式，再代入数值计算即可，无需单独求出$x$、$y$的取值，可大幅简化计算过程。
【解析】
对所求代数式逐步因式分解，再代入数值计算：
1. 提取公因式：
$2x^3y + 4x^2y^2 + 2xy^3=2xy(x^2 + 2xy + y^2)$
2. 利用完全平方公式继续分解：
$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，因此原式可变形为$2xy(x+y)^2$
3. 代入已知条件$xy=-\dfrac{1}{2}$，$x+y=5$计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-\dfrac{1}{2})×5^2\\&=-1×25\\&=-25\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-25}$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，解题核心是先将待求式因式分解，转化为含已知条件的结构再代入计算，比直接求解$x$、$y$的值更简便，能有效降低计算量和出错率。
【难度系数】
0.7
12. 把下列多项式分解因式：
(1) $4x^3y -4x^2y^2 +xy^3$；(2) $3x^3 -12xy^2$。
(1) $4x^3y -4x^2y^2 +xy^3$；(2) $3x^3 -12xy^2$。
答案
解：
(1) 原式$=xy(4x^2 - 4xy + y^2)$
$=xy(2x - y)^2$
(2) 原式$=3x(x^2 - 4y^2)$
$=3x(x + 2y)(x - 2y)$
(1) 原式$=xy(4x^2 - 4xy + y^2)$
$=xy(2x - y)^2$
(2) 原式$=3x(x^2 - 4y^2)$
$=3x(x + 2y)(x - 2y)$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的通用思路：第一步先提取多项式各项的公因式，第二步观察提取公因式后剩余的多项式特征，若为三项则优先考虑完全平方公式，若为两项则优先考虑平方差公式，第三步检查分解结果是否彻底，保证每个因式都不能再分解。
针对(1)：先观察到各项都含公因式$xy$，提取后剩余的是三项式，符合完全平方公式的结构，套用公式即可完成分解。
针对(2)：先观察到各项都含公因式$3x$，提取后剩余的是两项式，符合平方差公式的结构，套用公式即可完成分解。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$xy$：
原式$=xy(4x^2 - 4xy + y^2)$
第二步套用完全平方差公式：括号内$4x^2=(2x)^2$，$y^2=y^2$，$-4xy=-2·2x· y$，符合$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=2x$，$b=y$），因此：
$=xy(2x - y)^2$
(2) 第一步提取公因式$3x$：
原式$=3x(x^2 - 4y^2)$
第二步套用平方差公式：括号内$x^2=x^2$，$4y^2=(2y)^2$，符合$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$（其中$a=x$，$b=2y$），因此：
$=3x(x + 2y)(x - 2y)$
【答案】
(1) $xy(2x - y)^2$
(2) $3x(x + 2y)(x - 2y)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 完全平方公式
3. 平方差公式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，需要牢记因式分解的基本步骤，准确识别公因式以及乘法公式的结构特征，做题时注意最后检查是否分解到不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
分解因式遵循“一提二套三查”的通用思路：第一步先提取多项式各项的公因式，第二步观察提取公因式后剩余的多项式特征，若为三项则优先考虑完全平方公式，若为两项则优先考虑平方差公式，第三步检查分解结果是否彻底，保证每个因式都不能再分解。
针对(1)：先观察到各项都含公因式$xy$，提取后剩余的是三项式，符合完全平方公式的结构，套用公式即可完成分解。
针对(2)：先观察到各项都含公因式$3x$，提取后剩余的是两项式，符合平方差公式的结构，套用公式即可完成分解。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$xy$：
原式$=xy(4x^2 - 4xy + y^2)$
第二步套用完全平方差公式：括号内$4x^2=(2x)^2$，$y^2=y^2$，$-4xy=-2·2x· y$，符合$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=2x$，$b=y$），因此：
$=xy(2x - y)^2$
(2) 第一步提取公因式$3x$：
原式$=3x(x^2 - 4y^2)$
第二步套用平方差公式：括号内$x^2=x^2$，$4y^2=(2y)^2$，符合$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$（其中$a=x$，$b=2y$），因此：
$=3x(x + 2y)(x - 2y)$
【答案】
(1) $xy(2x - y)^2$
(2) $3x(x + 2y)(x - 2y)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 完全平方公式
3. 平方差公式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，需要牢记因式分解的基本步骤，准确识别公因式以及乘法公式的结构特征，做题时注意最后检查是否分解到不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
13. 分解因式：
(1) $a^3(a+b)-6a^2(a+b)+9a(a+b)$；
(2) $9a^2(x-y)+16b^2(y-x)$。
(1) $a^3(a+b)-6a^2(a+b)+9a(a+b)$；
(2) $9a^2(x-y)+16b^2(y-x)$。
答案
解：
(1) 原式$=a(a+b)(a^2 - 6a + 9)$
$=a(a+b)(a-3)^2$
(2) 原式$=9a^2(x-y) - 16b^2(x-y)$
$=(x-y)(9a^2 - 16b^2)$
$=(x-y)(3a+4b)(3a-4b)$
(1) 原式$=a(a+b)(a^2 - 6a + 9)$
$=a(a+b)(a-3)^2$
(2) 原式$=9a^2(x-y) - 16b^2(x-y)$
$=(x-y)(9a^2 - 16b^2)$
$=(x-y)(3a+4b)(3a-4b)$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先找多项式各项的公因式，有公因式先提取；第二步看提取公因式后剩余的式子是否符合完全平方公式或平方差公式的特征，符合就套用公式继续分解；第三步检查分解是否彻底，每个因式都不能再分解为止。
(1) 原式各项都有公因式$a(a+b)$，先提取公因式，剩余的$a^2-6a+9$符合完全平方公式特征，可继续分解；
(2) 先把$y-x$变形为$-(x-y)$，此时两项有公因式$(x-y)$，提取后剩余的$9a^2-16b^2$符合平方差公式特征，可继续分解。
【解析】
(1) 提取公因式$a(a+b)$：
原式$=a(a+b)(a^2 - 6a + 9)$
$a^2-6a+9$符合完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$（其中$m=a$，$n=3$），继续分解得：
$=a(a+b)(a-3)^2$
(2) 先将$y-x$改写为$-(x-y)$统一公因式形式：
原式$=9a^2(x-y) - 16b^2(x-y)$
提取公因式$(x-y)$得：
$=(x-y)(9a^2 - 16b^2)$
$9a^2-16b^2$符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$（其中$m=3a$，$n=4b$），继续分解得：
$=(x-y)(3a+4b)(3a-4b)$
【答案】
(1) $a(a+b)(a-3)^2$
(2) $(x-y)(3a+4b)(3a-4b)$
【知识点】
提公因式法、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的常规操作，解题时要注意公因式要提全，公式套用要准确，尤其要注意变形时的符号问题，最终需保证分解结果的每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.7
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先找多项式各项的公因式，有公因式先提取；第二步看提取公因式后剩余的式子是否符合完全平方公式或平方差公式的特征，符合就套用公式继续分解；第三步检查分解是否彻底，每个因式都不能再分解为止。
(1) 原式各项都有公因式$a(a+b)$，先提取公因式，剩余的$a^2-6a+9$符合完全平方公式特征，可继续分解；
(2) 先把$y-x$变形为$-(x-y)$，此时两项有公因式$(x-y)$，提取后剩余的$9a^2-16b^2$符合平方差公式特征，可继续分解。
【解析】
(1) 提取公因式$a(a+b)$：
原式$=a(a+b)(a^2 - 6a + 9)$
$a^2-6a+9$符合完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$（其中$m=a$，$n=3$），继续分解得：
$=a(a+b)(a-3)^2$
(2) 先将$y-x$改写为$-(x-y)$统一公因式形式：
原式$=9a^2(x-y) - 16b^2(x-y)$
提取公因式$(x-y)$得：
$=(x-y)(9a^2 - 16b^2)$
$9a^2-16b^2$符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$（其中$m=3a$，$n=4b$），继续分解得：
$=(x-y)(3a+4b)(3a-4b)$
【答案】
(1) $a(a+b)(a-3)^2$
(2) $(x-y)(3a+4b)(3a-4b)$
【知识点】
提公因式法、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的常规操作，解题时要注意公因式要提全，公式套用要准确，尤其要注意变形时的符号问题，最终需保证分解结果的每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.7
14. 给出三个多项式:①$2x^2+4x-4$;②$2x^2+12x+4$;③$2x^2-4x$. 请你把其中任意两个多项式进行加法运算(写出所有可能的结果),并把每个结果分解因式.
答案
解：
共有三种加法运算的情况：
1. ①+②：
$\begin{aligned}&(2x^2+4x-4)+(2x^2+12x+4)\\=&2x^2+4x-4+2x^2+12x+4\\=&4x^2+16x\\=&4x(x+4)\end{aligned}$
2. ①+③：
$\begin{aligned}&(2x^2+4x-4)+(2x^2-4x)\\=&2x^2+4x-4+2x^2-4x\\=&4x^2-4\\=&4(x^2-1)\\=&4(x+1)(x-1)\end{aligned}$
3. ②+③：
$\begin{aligned}&(2x^2+12x+4)+(2x^2-4x)\\=&2x^2+12x+4+2x^2-4x\\=&4x^2+8x+4\\=&4(x^2+2x+1)\\=&4(x+1)^2\end{aligned}$
共有三种加法运算的情况：
1. ①+②：
$\begin{aligned}&(2x^2+4x-4)+(2x^2+12x+4)\\=&2x^2+4x-4+2x^2+12x+4\\=&4x^2+16x\\=&4x(x+4)\end{aligned}$
2. ①+③：
$\begin{aligned}&(2x^2+4x-4)+(2x^2-4x)\\=&2x^2+4x-4+2x^2-4x\\=&4x^2-4\\=&4(x^2-1)\\=&4(x+1)(x-1)\end{aligned}$
3. ②+③：
$\begin{aligned}&(2x^2+12x+4)+(2x^2-4x)\\=&2x^2+12x+4+2x^2-4x\\=&4x^2+8x+4\\=&4(x^2+2x+1)\\=&4(x+1)^2\end{aligned}$
解析
【分析】
要解决本题，首先需要梳理清楚解题步骤：第一步，枚举三个多项式两两相加的所有组合，共3种情况：①+②、①+③、②+③，避免遗漏；第二步，对每种组合进行整式加法运算，先去括号，再合并同类项得到和；第三步，对得到的和进行因式分解，先提取公因式，再观察剩余部分是否符合平方差公式或完全平方公式的特征，继续分解直到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
共有三种加法运算的情况：
1. ①+②：
$\begin{aligned}&(2x^2+4x-4)+(2x^2+12x+4)\\=&2x^2+4x-4+2x^2+12x+4\\=&4x^2+16x\\=&4x(x+4)\end{aligned}$
2. ①+③：
$\begin{aligned}&(2x^2+4x-4)+(2x^2-4x)\\=&2x^2+4x-4+2x^2-4x\\=&4x^2-4\\=&4(x^2-1)\\=&4(x+1)(x-1)\end{aligned}$
3. ②+③：
$\begin{aligned}&(2x^2+12x+4)+(2x^2-4x)\\=&2x^2+12x+4+2x^2-4x\\=&4x^2+8x+4\\=&4(x^2+2x+1)\\=&4(x+1)^2\end{aligned}$
【答案】
①+②：$4x(x+4)$；①+③：$4(x+1)(x-1)$；②+③：$4(x+1)^2$
【知识点】
整式的加减、提公因式法分解因式、公式法分解因式
【点评】
本题是整式运算与因式分解的基础综合题，解题时需注意不要遗漏两两组合的情况，因式分解要保证最终结果的每个因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要梳理清楚解题步骤：第一步，枚举三个多项式两两相加的所有组合，共3种情况：①+②、①+③、②+③，避免遗漏；第二步，对每种组合进行整式加法运算，先去括号，再合并同类项得到和；第三步，对得到的和进行因式分解，先提取公因式，再观察剩余部分是否符合平方差公式或完全平方公式的特征，继续分解直到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
共有三种加法运算的情况：
1. ①+②：
$\begin{aligned}&(2x^2+4x-4)+(2x^2+12x+4)\\=&2x^2+4x-4+2x^2+12x+4\\=&4x^2+16x\\=&4x(x+4)\end{aligned}$
2. ①+③：
$\begin{aligned}&(2x^2+4x-4)+(2x^2-4x)\\=&2x^2+4x-4+2x^2-4x\\=&4x^2-4\\=&4(x^2-1)\\=&4(x+1)(x-1)\end{aligned}$
3. ②+③：
$\begin{aligned}&(2x^2+12x+4)+(2x^2-4x)\\=&2x^2+12x+4+2x^2-4x\\=&4x^2+8x+4\\=&4(x^2+2x+1)\\=&4(x+1)^2\end{aligned}$
【答案】
①+②：$4x(x+4)$；①+③：$4(x+1)(x-1)$；②+③：$4(x+1)^2$
【知识点】
整式的加减、提公因式法分解因式、公式法分解因式
【点评】
本题是整式运算与因式分解的基础综合题，解题时需注意不要遗漏两两组合的情况，因式分解要保证最终结果的每个因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
15.(应用意识)阅读下列材料:
常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等.但有的多项式只用上述方法无法分解,如$x^2 -4y^2 +2x -4y$,细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,分解过程为:
这种分解因式的方法叫作分组分解法.利用这种方法解答下列问题:
(1)分解因式$9x^2 -9x +3y -y^2$;
(2)已知$△ ABC$的三边$a,b,c$满足$a^2 -b^2 -ac +bc=0$,判断$△ ABC$的形状并说明理由.
常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等.但有的多项式只用上述方法无法分解,如$x^2 -4y^2 +2x -4y$,细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,分解过程为:
这种分解因式的方法叫作分组分解法.利用这种方法解答下列问题:
(1)分解因式$9x^2 -9x +3y -y^2$;
(2)已知$△ ABC$的三边$a,b,c$满足$a^2 -b^2 -ac +bc=0$,判断$△ ABC$的形状并说明理由.
答案
解：
(1) 原式$=(9x^2 - y^2) + (-9x + 3y)$
$=(3x+y)(3x-y) - 3(3x-y)$
$=(3x-y)(3x+y-3)$
(2) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
对已知等式左边分解因式：
$a^2 - b^2 - ac + bc = 0$
$(a^2 - b^2) + (-ac + bc) = 0$
$(a+b)(a-b) - c(a-b) = 0$
$(a-b)(a+b-c) = 0$
∵$a,b,c$是$△ ABC$的三边，
∴$a+b＞c$，即$a+b-c＞0$，
∴$a-b=0$，即$a=b$，
∴$△ ABC$是等腰三角形。
(1) 原式$=(9x^2 - y^2) + (-9x + 3y)$
$=(3x+y)(3x-y) - 3(3x-y)$
$=(3x-y)(3x+y-3)$
(2) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
对已知等式左边分解因式：
$a^2 - b^2 - ac + bc = 0$
$(a^2 - b^2) + (-ac + bc) = 0$
$(a+b)(a-b) - c(a-b) = 0$
$(a-b)(a+b-c) = 0$
∵$a,b,c$是$△ ABC$的三边，
∴$a+b＞c$，即$a+b-c＞0$，
∴$a-b=0$，即$a=b$，
∴$△ ABC$是等腰三角形。
解析
【分析】
本题考查分组分解法分解因式的应用。(1)观察多项式$9x^2 -9x +3y -y^2$，先将符合平方差公式特征的$9x^2$和$-y^2$分为一组，剩余含公因式的$-9x+3y$分为另一组，先对两组分别分解因式，再提取两组的公共因式即可完成分解；(2)先对等式左边的多项式合理分组，分别分解因式后提取公因式，再结合三角形三边关系判断因式的取值，进而得到边的关系，判断三角形的形状。
【解析】
(1) 分解因式$9x^2 -9x +3y -y^2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(9x^2 - y^2) + (-9x + 3y)\\&=(3x+y)(3x-y) - 3(3x-y)\\&=(3x-y)(3x+y-3)\end{aligned}$
(2) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
对$a^2 -b^2 -ac +bc=0$左边分解因式：
$\begin{aligned}(a^2 - b^2) + (-ac + bc) &= 0\\(a+b)(a-b) - c(a-b) &= 0\\(a-b)(a+b-c) &= 0\end{aligned}$
∵$a,b,c$是$△ ABC$的三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，
∴$a+b＞c$，即$a+b-c＞0$，
∴$a-b=0$，即$a=b$，
∴$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3x-y)(3x+y-3)}$
(2) $\boldsymbol{△ ABC}$是等腰三角形
【知识点】
分组分解法因式分解、平方差公式、三角形三边关系
【点评】
本题核心是分组分解法的应用，解题关键是观察多项式项的特征合理分组，先完成组内分解再整体提取公因式，第二问结合三角形性质考查知识的综合运用能力，是因式分解的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
本题考查分组分解法分解因式的应用。(1)观察多项式$9x^2 -9x +3y -y^2$，先将符合平方差公式特征的$9x^2$和$-y^2$分为一组，剩余含公因式的$-9x+3y$分为另一组，先对两组分别分解因式，再提取两组的公共因式即可完成分解；(2)先对等式左边的多项式合理分组，分别分解因式后提取公因式，再结合三角形三边关系判断因式的取值，进而得到边的关系，判断三角形的形状。
【解析】
(1) 分解因式$9x^2 -9x +3y -y^2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(9x^2 - y^2) + (-9x + 3y)\\&=(3x+y)(3x-y) - 3(3x-y)\\&=(3x-y)(3x+y-3)\end{aligned}$
(2) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
对$a^2 -b^2 -ac +bc=0$左边分解因式：
$\begin{aligned}(a^2 - b^2) + (-ac + bc) &= 0\\(a+b)(a-b) - c(a-b) &= 0\\(a-b)(a+b-c) &= 0\end{aligned}$
∵$a,b,c$是$△ ABC$的三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，
∴$a+b＞c$，即$a+b-c＞0$，
∴$a-b=0$，即$a=b$，
∴$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3x-y)(3x+y-3)}$
(2) $\boldsymbol{△ ABC}$是等腰三角形
【知识点】
分组分解法因式分解、平方差公式、三角形三边关系
【点评】
本题核心是分组分解法的应用，解题关键是观察多项式项的特征合理分组，先完成组内分解再整体提取公因式，第二问结合三角形性质考查知识的综合运用能力，是因式分解的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
