【旧知激活】全等三角形对应中线、角平分线及高相等.
【知识迁移】如图,由等腰三角形“三线合一”易得$△ ABD≌△ ACD$,则等腰三角形底边的中点到两腰的各类线段有什么关系呢?
【动手操作】剪下一个等腰三角形,D是底边BC的中点,按照下图标注点E,F,并沿着AD对折.



【猜想】在等腰三角形ABC中,D是BC的中点,过点D分别作$△ ABD$,$△ ACD$的高、中线、角平分线$⇒ DE=DF$.
【验证与拓展1】如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,$DE⊥ AB$于点E,$DF⊥ AC$于点F.求证:$DE=DF$.

变式运用1:如图,若将点D沿DA方向移动,则点D到两腰的距离DE与DF之间的数量关系为.
变式运用2:如图,若将点D沿AD方向移动,则点D到两腰的距离DE和DF之间的数量关系是什么?请说明理由.

1. 【验证与拓展1】证明:
∵D是BC的中点,AB=AC,
∴AD平分∠BAC.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
2. 变式运用1: DE=DF
3. 变式运用2: 解:DE=DF.理由如下:设AD交BC于点M,则M为BC的中点.
∵AB=AC,
∴AM平分∠BAC.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.

【分析】
解题思路分三部分梳理：1. 验证与拓展1：首先利用等腰三角形“三线合一”性质，由AB=AC、D是BC中点，可推出AD是∠BAC的角平分线；再结合角平分线“角平分线上的点到角两边的距离相等”的性质，即可证明DE=DF。2. 变式运用1：点D沿DA方向移动时，仍然在∠BAC的角平分线所在直线上，满足角平分线的性质适用条件，直接可得DE与DF的关系。3. 变式运用2：点D沿AD方向移动，本质还是在∠BAC的角平分线所在直线上，先由等腰三角形三线合一确认AD所在直线平分∠BAC，再结合角平分线性质即可得出结论。
【解析】
1. 【验证与拓展1】证明：
∵D是BC的中点，AB=AC，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
2. 变式运用1：
点D沿DA方向移动时仍在∠BAC的角平分线所在直线上，根据角平分线的性质，DE=DF。
3. 变式运用2：
解：DE=DF。理由如下：设AD交BC于点M，则M为BC的中点。
∵AB=AC，
∴AM平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
【答案】
1. 验证与拓展1：证明见上述解析；
2. 变式运用1：$\boldsymbol{DE=DF}$；
3. 变式运用2：$\boldsymbol{DE=DF}$，理由见上述解析。
【知识点】
等腰三角形三线合一、角平分线的性质
【点评】
本题从等腰三角形的基础性质出发，探究角平分线上动点到角两边距离的规律，引导学生学会在动态图形中定位不变的几何特征，灵活运用所学性质解决问题，避免被点的移动干扰解题思路。
【难度系数】
0.85

【验证与拓展2】如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E,F分别是AB,AC的中点.求证:DE=DF.

拓展思考:若E,F分别是AB,AC的三等分点,则
DE=DF还成立吗？n等分点呢？

【验证与拓展2】证明:
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠EAD=∠FAD.
∵E,F分别是AB,AC的中点,
∴AE=$\frac{1}{2}$AB,AF=$\frac{1}{2}$AC.
∴AE=AF.在△ADE和△ADF 中,$\begin{cases} AD=AD, \\ ∠EAD=∠FAD, \\ AE=AF, \end{cases}$
∴△ADE≌△ADF(SAS).
∴DE=DF.

【分析】
要证明DE=DF，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先结合等腰三角形ABC的性质，AB=AC且D是BC中点，根据等腰三角形三线合一可得AD平分∠BAC，即∠EAD=∠FAD；再结合E、F是AB、AC中点的条件，可推出AE=AF；最后AD是公共边，满足SAS全等判定条件，证得△ADE≌△ADF即可得到DE=DF。拓展部分若为三等分点、n等分点，同理可推出AE=AF，仍可通过全等判定得到结论。
【解析】
证明：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，即∠EAD=∠FAD。
∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，AF=$\frac{1}{2}$AC，
又
∵AB=AC，
∴AE=AF。
在△ADE和△ADF 中：
$\begin{cases} AD=AD(公共边), \\ ∠EAD=∠FAD, \\ AE=AF, \end{cases}$
∴△ADE≌△ADF(SAS)，
∴DE=DF（全等三角形对应边相等）。
拓展思考解答：
若E、F是AB、AC的三等分点，则AE=$\frac{1}{3}$AB，AF=$\frac{1}{3}$AC，由AB=AC得AE=AF，仍满足上述SAS全等条件，故DE=DF成立；同理若为n等分点，AE=$\frac{1}{n}$AB，AF=$\frac{1}{n}$AC，AE=AF恒成立，故DE=DF仍然成立。
【答案】
证明见上述解析；成立；成立
【知识点】
等腰三角形性质；全等三角形SAS判定；全等三角形性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形结合的基础题，通过证明三角形全等来推导线段相等是几何中常用的解题方法，拓展部分体现了从特殊到一般的数学思想，掌握等腰三角形三线合一的性质和全等三角形的判定方法是解题关键。
【难度系数】
0.7

【验证与拓展 3】如图,在等腰三角形 ABC 中, $AB=AC$,D 是 BC 的中点,DE,DF 分别是 $∠ ADB,∠ ADC$ 的平分线.求证:$DE=DF$.

拓展思考:若 $∠ EDB=\frac{1}{n}∠ ADB,∠ FDC=\frac{1}{n}∠ ADC$,

DE=DF 还成立吗？

【验证与拓展3】证明:
∵D是BC的中点,AB=AC,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵DE,DF分别是∠ADB,∠ADC的平分线,
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ADB,∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ADC.
∴∠ADE=∠ADF.在△ADE和△ADF 中,$\begin{cases} ∠DAE=∠DAF, \\ AD=AD, \\ ∠ADE=∠ADF, \end{cases}$
∴△ADE≌△ADF(ASA).
∴DE=DF.

【分析】
要证明DE=DF，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先根据等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC、D是BC中点，可得AD⊥BC且AD平分∠BAC，即∠ADB=∠ADC=90°，∠DAE=∠DAF。再结合角平分线的定义，可推出∠ADE=∠ADF，此时△ADE和△ADF满足“角边角”的全等判定条件，证得全等后即可得到DE=DF。对于拓展问题，由于∠ADB与∠ADC始终相等，它们的n分之一也相等，仍可推出∠ADE=∠ADF，全等关系依然成立，因此DE=DF的结论仍成立。
【解析】
原题证明：
∵D是BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一），
∴∠ADB=∠ADC=90°。
∵DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ADB，∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠ADE=∠ADF。
在△ADE和△ADF 中，
$\begin{cases} ∠DAE=∠DAF, \\ AD=AD, \\ ∠ADE=∠ADF, \end{cases}$
∴△ADE≌△ADF(ASA)，
∴DE=DF。
拓展思考解答：
DE=DF仍然成立，理由如下：
∵∠ADB=∠ADC，∠EDB=$\frac{1}{n}$∠ADB，∠FDC=$\frac{1}{n}$∠ADC，
∴∠EDB=∠FDC，
∴∠ADE=∠ADB-∠EDB，∠ADF=∠ADC-∠FDC，
∴∠ADE=∠ADF。
结合∠DAE=∠DAF，AD=AD，仍可证△ADE≌△ADF(ASA)，故DE=DF成立。
【答案】
原题DE=DF得证；拓展思考：DE=DF仍然成立。
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形性质与全等三角形判定结合的基础题型，核心考查等腰三角形三线合一的应用，通过证明三角形全等得到线段相等是常用的解题方法。拓展部分将角平分线推广到一般的n等分角，体现了从特殊到一般的数学思维，能够帮助学生更好地理解结论的通用性。
【难度系数】
0.8