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三、解答题(共60分)
11.(10分)如图,在△ABC中,D是AB上一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC是等边三角形.
11.(10分)如图,在△ABC中,D是AB上一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC是等边三角形.
答案
11. 证明:
∵ DC=DB,∠B=30°,
∴∠DCB=∠B=30°.
∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.又
∵AD=DC,
∴△ADC是等边三角形.
∵ DC=DB,∠B=30°,
∴∠DCB=∠B=30°.
∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.又
∵AD=DC,
∴△ADC是等边三角形.
解析
【分析】
要证明△ADC是等边三角形，已知AD=DC，即△ADC是等腰三角形，根据等边三角形的判定规则，只需证明该等腰三角形有一个内角为60°即可。首先根据DC=DB，结合等腰三角形“等边对等角”的性质可推出∠DCB=∠B，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可求出∠ADC的度数为60°，最终满足等边三角形的判定条件完成证明。
【解析】
证明：
∵ DC=DB，∠B=30°，
∴ ∠DCB=∠B=30°。
∴ ∠ADC=∠DCB+∠B=60°。
又
∵ AD=DC，
∴ △ADC是等边三角形。
【答案】
证明:
∵ DC=DB,∠B=30°,
∴∠DCB=∠B=30°.
∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.又
∵AD=DC,
∴△ADC是等边三角形.
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是结合已知条件，灵活运用等腰三角形性质和三角形外角定理推导出60°的内角，进而完成等边三角形的判定，对基础几何定理的掌握要求较高。
【难度系数】
0.8
要证明△ADC是等边三角形，已知AD=DC，即△ADC是等腰三角形，根据等边三角形的判定规则，只需证明该等腰三角形有一个内角为60°即可。首先根据DC=DB，结合等腰三角形“等边对等角”的性质可推出∠DCB=∠B，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可求出∠ADC的度数为60°，最终满足等边三角形的判定条件完成证明。
【解析】
证明：
∵ DC=DB，∠B=30°，
∴ ∠DCB=∠B=30°。
∴ ∠ADC=∠DCB+∠B=60°。
又
∵ AD=DC，
∴ △ADC是等边三角形。
【答案】
证明:
∵ DC=DB,∠B=30°,
∴∠DCB=∠B=30°.
∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.又
∵AD=DC,
∴△ADC是等边三角形.
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是结合已知条件，灵活运用等腰三角形性质和三角形外角定理推导出60°的内角，进而完成等边三角形的判定，对基础几何定理的掌握要求较高。
【难度系数】
0.8
12.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的中线,DE//AB,交AC于点E.求证:AE=DE. 
答案
12. 证明:
∵ AB = AC, AD 是 △ABC 的中线,
∴∠BAD=∠CAD.
∵ DE // AB,
∴∠ADE = ∠BAD.
∴∠CAD=∠ADE.
∴AE=DE.
∵ AB = AC, AD 是 △ABC 的中线,
∴∠BAD=∠CAD.
∵ DE // AB,
∴∠ADE = ∠BAD.
∴∠CAD=∠ADE.
∴AE=DE.
解析
【分析】
要证明AE=DE，可通过“等角对等边”，先证明两个边所对的角∠EAD和∠EDA相等。首先利用等腰三角形三线合一的性质：已知AB=AC，AD是△ABC的中线，可得AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD；再结合DE//AB的条件，利用平行线内错角相等的性质，可得∠ADE=∠BAD；最后通过等量代换得到∠CAD=∠ADE，即可推出结论。
【解析】
证明:
∵ AB = AC, AD 是 △ABC 的中线,
∴∠BAD=∠CAD.
∵ DE // AB,
∴∠ADE = ∠BAD.
∴∠CAD=∠ADE.
∴AE=DE.
【答案】
证明:
∵ AB = AC, AD 是 △ABC 的中线,
∴∠BAD=∠CAD.
∵ DE // AB,
∴∠ADE = ∠BAD.
∴∠CAD=∠ADE.
∴AE=DE.
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是理清角之间的等量关系，通过等腰三角形性质和平行线性质完成角的代换，再结合等腰三角形的判定即可推出结论，对逻辑推导能力有基础的考察要求。
【难度系数】
0.8
要证明AE=DE，可通过“等角对等边”，先证明两个边所对的角∠EAD和∠EDA相等。首先利用等腰三角形三线合一的性质：已知AB=AC，AD是△ABC的中线，可得AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD；再结合DE//AB的条件，利用平行线内错角相等的性质，可得∠ADE=∠BAD；最后通过等量代换得到∠CAD=∠ADE，即可推出结论。
【解析】
证明:
∵ AB = AC, AD 是 △ABC 的中线,
∴∠BAD=∠CAD.
∵ DE // AB,
∴∠ADE = ∠BAD.
∴∠CAD=∠ADE.
∴AE=DE.
【答案】
证明:
∵ AB = AC, AD 是 △ABC 的中线,
∴∠BAD=∠CAD.
∵ DE // AB,
∴∠ADE = ∠BAD.
∴∠CAD=∠ADE.
∴AE=DE.
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是理清角之间的等量关系，通过等腰三角形性质和平行线性质完成角的代换，再结合等腰三角形的判定即可推出结论，对逻辑推导能力有基础的考察要求。
【难度系数】
0.8
13.（12分）如图，P是△ABC内一点，若∠PBC=∠PCB=10°，△APC是等边三角形，求∠PBA的度数. 
答案
13. 解:
∵△APC是等边三角形,
∴∠PAC=∠PCA=60°,PA=PC.
∵∠PBC=∠PCB=10°,
∴PB=PC.
∴PA=PB.
∴∠PBA=∠PAB= 1/2(180°-∠PBC-∠PCB-∠PAC-∠PCA)=20°.
∵△APC是等边三角形,
∴∠PAC=∠PCA=60°,PA=PC.
∵∠PBC=∠PCB=10°,
∴PB=PC.
∴PA=PB.
∴∠PBA=∠PAB= 1/2(180°-∠PBC-∠PCB-∠PAC-∠PCA)=20°.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先利用等边三角形的性质得到PA=PC，且∠PAC、∠PCA均为60°；再根据∠PBC=∠PCB，由等角对等边得到PB=PC，通过等量代换推出PA=PB，可知△PAB为等腰三角形，∠PBA=∠PAB；最后结合三角形内角和为180°，减去已知的四个角的度数得到∠PBA与∠PAB的和，除以2即可求出∠PBA的度数。
【解析】
∵△APC是等边三角形，
∴∠PAC=∠PCA=60°，PA=PC。
∵∠PBC=∠PCB=10°，
∴PB=PC（等角对等边）。
∴PA=PB（等量代换），
∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）。
∵三角形内角和为180°，即∠PBA+∠PAB+∠PBC+∠PCB+∠PAC+∠PCA=180°，
∴∠PBA+∠PAB=180°-10°-10°-60°-60°=40°，
∴∠PBA=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
【答案】
20°
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，解题的核心是通过边的等量代换得到PA=PB，将问题转化为等腰三角形求底角的问题，能较好地考查学生对特殊三角形边角性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，首先利用等边三角形的性质得到PA=PC，且∠PAC、∠PCA均为60°；再根据∠PBC=∠PCB，由等角对等边得到PB=PC，通过等量代换推出PA=PB，可知△PAB为等腰三角形，∠PBA=∠PAB；最后结合三角形内角和为180°，减去已知的四个角的度数得到∠PBA与∠PAB的和，除以2即可求出∠PBA的度数。
【解析】
∵△APC是等边三角形，
∴∠PAC=∠PCA=60°，PA=PC。
∵∠PBC=∠PCB=10°，
∴PB=PC（等角对等边）。
∴PA=PB（等量代换），
∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）。
∵三角形内角和为180°，即∠PBA+∠PAB+∠PBC+∠PCB+∠PAC+∠PCA=180°，
∴∠PBA+∠PAB=180°-10°-10°-60°-60°=40°，
∴∠PBA=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
【答案】
20°
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，解题的核心是通过边的等量代换得到PA=PB，将问题转化为等腰三角形求底角的问题，能较好地考查学生对特殊三角形边角性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
14.(12分)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=30°$,AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D,E.
(1)求证:$AE=2CE$;
(2)连接CD,请判断$△ CDE$的形状,并说明理由.
(1)求证:$AE=2CE$;
(2)连接CD,请判断$△ CDE$的形状,并说明理由.
答案
14.(1)证明:连接 BE(图略).
∵ DE 是 AB 的垂直平分线,
∴AE=BE.
∴∠ABE=∠A=30°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC=90°-∠A=60°.
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.
∴在Rt△BCE 中,BE=2CE.
∴AE=2CE. (2)解:△CDE 是等腰三角形. 理由如下:
∵DE⊥AB,
∴∠BDE=90°. 由(1)知∠ABE=30°,BE=2CE.
∴在 Rt△BDE 中,BE=2DE.
∴CE=DE.
∴△CDE 是等腰三角形.
∵ DE 是 AB 的垂直平分线,
∴AE=BE.
∴∠ABE=∠A=30°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC=90°-∠A=60°.
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.
∴在Rt△BCE 中,BE=2CE.
∴AE=2CE. (2)解:△CDE 是等腰三角形. 理由如下:
∵DE⊥AB,
∴∠BDE=90°. 由(1)知∠ABE=30°,BE=2CE.
∴在 Rt△BDE 中,BE=2DE.
∴CE=DE.
∴△CDE 是等腰三角形.
解析
【分析】
(1)要证明AE=2CE，可利用线段垂直平分线的性质构造相等线段：先连接BE，将AE转化为等长的BE，再结合含30°角的直角三角形的性质推导线段倍数关系：先由垂直平分线性质得AE=BE，推出∠ABE=∠A=30°，再计算出∠CBE=30°，在Rt△BCE中可得BE=2CE，等量代换即可得证。
(2)判断△CDE的形状，可通过推导两条边相等判定：在Rt△BDE中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质得BE=2DE，结合(1)的结论BE=2CE，可得CE=DE，即可判断三角形形状。
【解析】
(1)证明：连接BE。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°。
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠A=60°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°。
∴在Rt△BCE中，BE=2CE，
又
∵AE=BE，
∴AE=2CE。
(2)△CDE是等腰三角形，理由如下：
∵DE⊥AB，
∴∠BDE=90°。
由(1)知∠ABE=30°，
∴在Rt△BDE中，BE=2DE。
结合(1)的结论BE=2CE，可得CE=DE，
∴△CDE是等腰三角形。
【答案】
(1)AE=2CE得证；
(2)△CDE是等腰三角形。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过连接BE构造辅助线，将垂直平分线性质、直角三角形边角性质结合推导线段关系，考查了转化思想的应用，解题时要注意特殊角相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AE=2CE，可利用线段垂直平分线的性质构造相等线段：先连接BE，将AE转化为等长的BE，再结合含30°角的直角三角形的性质推导线段倍数关系：先由垂直平分线性质得AE=BE，推出∠ABE=∠A=30°，再计算出∠CBE=30°，在Rt△BCE中可得BE=2CE，等量代换即可得证。
(2)判断△CDE的形状，可通过推导两条边相等判定：在Rt△BDE中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质得BE=2DE，结合(1)的结论BE=2CE，可得CE=DE，即可判断三角形形状。
【解析】
(1)证明：连接BE。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°。
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠A=60°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°。
∴在Rt△BCE中，BE=2CE，
又
∵AE=BE，
∴AE=2CE。
(2)△CDE是等腰三角形，理由如下：
∵DE⊥AB，
∴∠BDE=90°。
由(1)知∠ABE=30°，
∴在Rt△BDE中，BE=2DE。
结合(1)的结论BE=2CE，可得CE=DE，
∴△CDE是等腰三角形。
【答案】
(1)AE=2CE得证；
(2)△CDE是等腰三角形。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过连接BE构造辅助线，将垂直平分线性质、直角三角形边角性质结合推导线段关系，考查了转化思想的应用，解题时要注意特殊角相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
15.(14分)如图①,在等边三角形ABC中,D,E,F分别是边AB,BC,AC上的动点(点D,E,F不与端点重合),以DE为边作等边三角形DEF.
(1)求证:$△ ADF ≌ △ CFE$;
(2)如图②,BC和DF的延长线交于点G,若$FC=CG$,求证:F为DG的中点.
(1)求证:$△ ADF ≌ △ CFE$;
(2)如图②,BC和DF的延长线交于点G,若$FC=CG$,求证:F为DG的中点.
答案
15. 证明:(1)
∵△ABC 和 △DEF 是等边三角形,
∴∠A=∠C=∠DFE=60°,DF=FE.
∵∠DFE+∠CFE=∠A+∠ADF,
∴∠ADF = ∠CFE. 在△ADF 和△CFE 中,{∠A=∠C,∠ADF=∠CFE,DF=FE,
∴△ADF≌△CFE(AAS). (2)
∵FC=CG,∠ACB=60°,
∴∠G=∠CFG=30°. 由(1)知△ADF≌△CFE,
∴∠AFD=∠CEF.
∵∠CFG=∠AFD,
∴∠CEF = ∠CFG = 30°.
∴FE=FG=DF.
∴F 为 DG 的中点.
∵△ABC 和 △DEF 是等边三角形,
∴∠A=∠C=∠DFE=60°,DF=FE.
∵∠DFE+∠CFE=∠A+∠ADF,
∴∠ADF = ∠CFE. 在△ADF 和△CFE 中,{∠A=∠C,∠ADF=∠CFE,DF=FE,
∴△ADF≌△CFE(AAS). (2)
∵FC=CG,∠ACB=60°,
∴∠G=∠CFG=30°. 由(1)知△ADF≌△CFE,
∴∠AFD=∠CEF.
∵∠CFG=∠AFD,
∴∠CEF = ∠CFG = 30°.
∴FE=FG=DF.
∴F 为 DG 的中点.
解析
【分析】
（1）要证明△ADF≌△CFE，首先结合等边三角形的性质，可得∠A=∠C=∠DFE=60°、DF=FE；再通过角的和差关系推导得到∠ADF=∠CFE，最后利用AAS全等判定定理即可完成证明。
（2）要证明F为DG的中点，即需证明DF=FG，结合等边△DEF的性质DF=FE，只需证FE=FG即可。首先由等腰三角形性质和三角形外角性质，结合FC=CG、∠ACB=60°推出∠G=∠CFG=30°；再利用第（1）问的全等结论和对顶角相等，推导得到∠CEF=30°，进而证得FE=FG，等量代换后得到DF=FG，即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC 和 △DEF 是等边三角形，
∴∠A=∠C=∠DFE=60°，DF=FE。
∵∠DFE+∠CFE=∠A+∠ADF，
∴∠ADF = ∠CFE。
在△ADF 和△CFE 中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠C \\∠ADF=∠CFE \\DF=FE\end{array} $
∴△ADF≌△CFE（AAS）。
(2) 证明：
∵FC=CG，∠ACB=60°，
∴∠G=∠CFG=30°。
由(1)知△ADF≌△CFE，
∴∠AFD=∠CEF。
∵∠CFG=∠AFD，
∴∠CEF = ∠CFG = 30°。
∴FE=FG=DF，
∴F 为 DG 的中点。
【答案】
(1) $△ ADF ≌ △ CFE$，证明成立；
(2) F为DG的中点，证明成立。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形综合证明题，侧重考察基础几何性质的应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形、等腰三角形的边角特征，第二问需灵活运用第一问的全等结论推导角的关系，能够锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ADF≌△CFE，首先结合等边三角形的性质，可得∠A=∠C=∠DFE=60°、DF=FE；再通过角的和差关系推导得到∠ADF=∠CFE，最后利用AAS全等判定定理即可完成证明。
（2）要证明F为DG的中点，即需证明DF=FG，结合等边△DEF的性质DF=FE，只需证FE=FG即可。首先由等腰三角形性质和三角形外角性质，结合FC=CG、∠ACB=60°推出∠G=∠CFG=30°；再利用第（1）问的全等结论和对顶角相等，推导得到∠CEF=30°，进而证得FE=FG，等量代换后得到DF=FG，即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC 和 △DEF 是等边三角形，
∴∠A=∠C=∠DFE=60°，DF=FE。
∵∠DFE+∠CFE=∠A+∠ADF，
∴∠ADF = ∠CFE。
在△ADF 和△CFE 中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠C \\∠ADF=∠CFE \\DF=FE\end{array} $
∴△ADF≌△CFE（AAS）。
(2) 证明：
∵FC=CG，∠ACB=60°，
∴∠G=∠CFG=30°。
由(1)知△ADF≌△CFE，
∴∠AFD=∠CEF。
∵∠CFG=∠AFD，
∴∠CEF = ∠CFG = 30°。
∴FE=FG=DF，
∴F 为 DG 的中点。
【答案】
(1) $△ ADF ≌ △ CFE$，证明成立；
(2) F为DG的中点，证明成立。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形综合证明题，侧重考察基础几何性质的应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形、等腰三角形的边角特征，第二问需灵活运用第一问的全等结论推导角的关系，能够锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
