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1. 下列方程中,关于$x$的一元二次方程有(
①$x^2 = 0$;②$ax^2 + bx + c = 0$;③$\sqrt{2}x^2 - 3 = \sqrt{5}x$;④$\frac{1}{x^2} + x = \frac{1}{3}$;⑤$\sqrt{x^2 - 1} = 2$;⑥$(x + 1)^2 = x^2 - 9$.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A
)①$x^2 = 0$;②$ax^2 + bx + c = 0$;③$\sqrt{2}x^2 - 3 = \sqrt{5}x$;④$\frac{1}{x^2} + x = \frac{1}{3}$;⑤$\sqrt{x^2 - 1} = 2$;⑥$(x + 1)^2 = x^2 - 9$.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1. A
解析
【分析】
要判断哪些是一元二次方程，首先需要明确一元二次方程的三个判定标准：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们只需要对照这三个标准，逐个对6个方程进行排查，统计符合条件的方程个数即可得到答案。
【解析】
我们先明确一元二次方程的判定条件：是整式方程，只含1个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个判断如下：
①$x^2 = 0$：满足所有判定条件，是一元二次方程；
②$ax^2 + bx + c = 0$：未注明$a≠ 0$，当$a=0$时方程不是二次方程，不符合要求；
③$\sqrt{2}x^2 - 3 = \sqrt{5}x$：整理为$\sqrt{2}x^2-\sqrt{5}x-3=0$，满足所有判定条件，是一元二次方程；
④$\frac{1}{x^2} + x = \frac{1}{3}$：分母含未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
⑤$\sqrt{x^2 - 1} = 2$：被开方数含未知数，属于无理方程，不是整式方程，不符合要求；
⑥$(x + 1)^2 = x^2 - 9$：展开左边得$x^2+2x+1=x^2-9$，移项消去$x^2$后化简为$2x+10=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求。
综上，符合要求的一元二次方程有①和③，共2个。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的判定
2. 整式方程的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是牢牢掌握一元二次方程的判定条件，尤其要注意两个易错点：一是形如$ax^2+bx+c=0$的方程必须明确$a≠ 0$才是一元二次方程；二是要先将方程整理化简后再判断未知数的最高次数，同时要正确区分整式方程、分式方程和无理方程。
【难度系数】
0.8
要判断哪些是一元二次方程，首先需要明确一元二次方程的三个判定标准：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们只需要对照这三个标准，逐个对6个方程进行排查，统计符合条件的方程个数即可得到答案。
【解析】
我们先明确一元二次方程的判定条件：是整式方程，只含1个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个判断如下：
①$x^2 = 0$：满足所有判定条件，是一元二次方程；
②$ax^2 + bx + c = 0$：未注明$a≠ 0$，当$a=0$时方程不是二次方程，不符合要求；
③$\sqrt{2}x^2 - 3 = \sqrt{5}x$：整理为$\sqrt{2}x^2-\sqrt{5}x-3=0$，满足所有判定条件，是一元二次方程；
④$\frac{1}{x^2} + x = \frac{1}{3}$：分母含未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
⑤$\sqrt{x^2 - 1} = 2$：被开方数含未知数，属于无理方程，不是整式方程，不符合要求；
⑥$(x + 1)^2 = x^2 - 9$：展开左边得$x^2+2x+1=x^2-9$，移项消去$x^2$后化简为$2x+10=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求。
综上，符合要求的一元二次方程有①和③，共2个。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的判定
2. 整式方程的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是牢牢掌握一元二次方程的判定条件，尤其要注意两个易错点：一是形如$ax^2+bx+c=0$的方程必须明确$a≠ 0$才是一元二次方程；二是要先将方程整理化简后再判断未知数的最高次数，同时要正确区分整式方程、分式方程和无理方程。
【难度系数】
0.8
2. 下列图案中,不是中心对称图形的是（
B
）答案
2. B
解析
【分析】
解题首先要明确中心对称图形的判定标准：把图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形完全重合，就是中心对称图形，反之则不是。解题时只需依次将四个选项的图形想象为绕中心旋转180°，判断是否与原图形重合即可找到答案。
【解析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某个点旋转180°，旋转后的图形能和原图形重合的就是中心对称图形，逐一分析选项：
选项A：绕中心旋转180°后与原图形完全重合，属于中心对称图形，不符合题意；
选项B：绕中心旋转180°后，图形内的箭头朝向与原图形不一致，无法与原图形重合，不属于中心对称图形，符合题意；
选项C：绕中心旋转180°后与原图形完全重合，属于中心对称图形，不符合题意；
选项D：绕中心旋转180°后与原图形完全重合，属于中心对称图形，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
中心对称图形的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是熟练掌握中心对称图形的判定方法，只需通过旋转180°是否重合的规则即可快速判断，出错概率较低。
【难度系数】
0.85
解题首先要明确中心对称图形的判定标准：把图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形完全重合，就是中心对称图形，反之则不是。解题时只需依次将四个选项的图形想象为绕中心旋转180°，判断是否与原图形重合即可找到答案。
【解析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某个点旋转180°，旋转后的图形能和原图形重合的就是中心对称图形，逐一分析选项：
选项A：绕中心旋转180°后与原图形完全重合，属于中心对称图形，不符合题意；
选项B：绕中心旋转180°后，图形内的箭头朝向与原图形不一致，无法与原图形重合，不属于中心对称图形，符合题意；
选项C：绕中心旋转180°后与原图形完全重合，属于中心对称图形，不符合题意；
选项D：绕中心旋转180°后与原图形完全重合，属于中心对称图形，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
中心对称图形的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是熟练掌握中心对称图形的判定方法，只需通过旋转180°是否重合的规则即可快速判断，出错概率较低。
【难度系数】
0.85
3. 如图，直线$l$与$\odot O$相交于点$A,B$，点$A$的坐标为$(4,3)$，则点$B$的坐标是(
A.$(-4,3)$
B.$(-4,-3)$
C.$(-3,4)$
D.$(-3,-4)$
B
)A.$(-4,3)$
B.$(-4,-3)$
C.$(-3,4)$
D.$(-3,-4)$
答案
3. B
解析
【分析】
首先观察图形可得，⊙O的圆心是坐标原点，直线l经过原点，因此直线l与圆的两个交点A、B关于原点中心对称。接下来利用关于原点对称的点的坐标特征，即可快速求出点B的坐标。
【解析】
∵ 直线l经过原点O，且⊙O的圆心为原点O，
∴ 点A和点B关于原点中心对称。
∵ 关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，点A的坐标为(4,3)，
∴ 点B的坐标为(-4,-3)。
【答案】
B
【知识点】
圆的中心对称性；关于原点对称的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合圆的中心对称性判断出A、B两点关于原点对称，再结合对称点的坐标规律即可求解。
【难度系数】
0.85
首先观察图形可得，⊙O的圆心是坐标原点，直线l经过原点，因此直线l与圆的两个交点A、B关于原点中心对称。接下来利用关于原点对称的点的坐标特征，即可快速求出点B的坐标。
【解析】
∵ 直线l经过原点O，且⊙O的圆心为原点O，
∴ 点A和点B关于原点中心对称。
∵ 关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，点A的坐标为(4,3)，
∴ 点B的坐标为(-4,-3)。
【答案】
B
【知识点】
圆的中心对称性；关于原点对称的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合圆的中心对称性判断出A、B两点关于原点对称，再结合对称点的坐标规律即可求解。
【难度系数】
0.85
4. 在同一平面直角坐标系中画出二次函数$y=ax^2 + bx$和一次函数$y=ax + b$的图象，正确的是(
D
)答案
4. D
解析
【分析】
本题是同一坐标系下一次函数与二次函数的图象共存问题，解题采用“参数一致性验证法”即可：1. 先明确两个函数的参数关联：一次函数$y=ax+b$的斜率对应二次函数$y=ax^2+bx$的二次项系数$a$，两者的$a$、$b$是同一个参数，符号必须统一；2. 先从某一函数的图象特征推导$a$、$b$的符号，再验证另一函数图象是否符合该符号要求；3. 也可利用二次函数过原点的特征辅助排除错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：二次函数开口向下，可得$a＜0$；但一次函数图象呈上升趋势，斜率为正，即$a＞0$，$a$的符号矛盾，排除A。
2. 选项B：二次函数开口向下，得$a＜0$；对称轴在$y$轴右侧，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$，可推得$b＞0$；但一次函数与$y$轴交于负半轴，即$b＜0$，$b$的符号矛盾，排除B。
3. 选项C：二次函数开口向上，得$a＞0$；但一次函数图象呈下降趋势，斜率为负，即$a＜0$，$a$的符号矛盾，排除C。
4. 选项D：二次函数开口向上，得$a＞0$；对称轴在$y$轴右侧，由$x=-\frac{b}{2a}＞0$、$a＞0$，推得$b＜0$；一次函数呈上升趋势（$a＞0$），且与$y$轴交于负半轴（$b＜0$），参数符号完全一致，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；函数图象判断
【点评】
本题是函数图象类的基础常考题，解题关键是抓住不同函数中相同参数的符号一致性，通过推导参数符号交叉验证即可快速排除错误选项，掌握特殊点的性质能进一步提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题是同一坐标系下一次函数与二次函数的图象共存问题，解题采用“参数一致性验证法”即可：1. 先明确两个函数的参数关联：一次函数$y=ax+b$的斜率对应二次函数$y=ax^2+bx$的二次项系数$a$，两者的$a$、$b$是同一个参数，符号必须统一；2. 先从某一函数的图象特征推导$a$、$b$的符号，再验证另一函数图象是否符合该符号要求；3. 也可利用二次函数过原点的特征辅助排除错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：二次函数开口向下，可得$a＜0$；但一次函数图象呈上升趋势，斜率为正，即$a＞0$，$a$的符号矛盾，排除A。
2. 选项B：二次函数开口向下，得$a＜0$；对称轴在$y$轴右侧，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$，可推得$b＞0$；但一次函数与$y$轴交于负半轴，即$b＜0$，$b$的符号矛盾，排除B。
3. 选项C：二次函数开口向上，得$a＞0$；但一次函数图象呈下降趋势，斜率为负，即$a＜0$，$a$的符号矛盾，排除C。
4. 选项D：二次函数开口向上，得$a＞0$；对称轴在$y$轴右侧，由$x=-\frac{b}{2a}＞0$、$a＞0$，推得$b＜0$；一次函数呈上升趋势（$a＞0$），且与$y$轴交于负半轴（$b＜0$），参数符号完全一致，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；函数图象判断
【点评】
本题是函数图象类的基础常考题，解题关键是抓住不同函数中相同参数的符号一致性，通过推导参数符号交叉验证即可快速排除错误选项，掌握特殊点的性质能进一步提升解题效率。
【难度系数】
0.7
5. 如图,已知菱形OABC 的顶点$O(0,0)$,$B(2,2)$.若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转$45°$,则第4秒时,菱形的对角线交点D的坐标为(
A.$(1, -1)$
B.$(-1, -1)$
C.$(\sqrt{2},0)$
D.$(0, -\sqrt{2})$
B
)A.$(1, -1)$
B.$(-1, -1)$
C.$(\sqrt{2},0)$
D.$(0, -\sqrt{2})$
答案
5. B
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，利用菱形对角线互相平分的性质，确定对角线交点D是OB的中点，结合O、B的坐标用中点坐标公式求出旋转前D的坐标；第二步，计算4秒菱形旋转的总角度；第三步，根据点绕原点逆时针旋转180°的坐标变化规律，求出旋转后D的坐标即可得到答案。
【解析】
解：
∵四边形OABC是菱形，菱形的对角线互相平分，
∴对角线交点D是OB的中点。
已知O(0,0)，B(2,2)，根据中点坐标公式，可得旋转前D的坐标为：
$( \frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2} ) = (1,1)$。
每秒旋转45°，第4秒时旋转的总角度为：$4×45°=180°$。
点绕原点逆时针旋转180°后，对应点与原点点关于原点对称，横、纵坐标均变为原坐标的相反数，
因此旋转后D点的坐标为$(-1,-1)$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，中点坐标计算，旋转的坐标变化
【点评】
本题属于基础综合题，将菱形性质、中点坐标计算和旋转坐标变换结合考查，解题的关键是先确定初始点的坐标，再结合旋转角度对应坐标变换规律求解，掌握基础性质和规律就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步，利用菱形对角线互相平分的性质，确定对角线交点D是OB的中点，结合O、B的坐标用中点坐标公式求出旋转前D的坐标；第二步，计算4秒菱形旋转的总角度；第三步，根据点绕原点逆时针旋转180°的坐标变化规律，求出旋转后D的坐标即可得到答案。
【解析】
解：
∵四边形OABC是菱形，菱形的对角线互相平分，
∴对角线交点D是OB的中点。
已知O(0,0)，B(2,2)，根据中点坐标公式，可得旋转前D的坐标为：
$( \frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2} ) = (1,1)$。
每秒旋转45°，第4秒时旋转的总角度为：$4×45°=180°$。
点绕原点逆时针旋转180°后，对应点与原点点关于原点对称，横、纵坐标均变为原坐标的相反数，
因此旋转后D点的坐标为$(-1,-1)$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，中点坐标计算，旋转的坐标变化
【点评】
本题属于基础综合题，将菱形性质、中点坐标计算和旋转坐标变换结合考查，解题的关键是先确定初始点的坐标，再结合旋转角度对应坐标变换规律求解，掌握基础性质和规律就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
6. 某景点观赏人数逐年增加,据有关部门统计,2022年约为20万人次,2024年约为28.8万人次.设观赏人数年均增长率为x,则下列方程中正确的是(
A.$20(1 + 2x) = 28.8$
B.$28.8(1 + x)^2 = 20$
C.$20(1 + x)^2 = 28.8$
D.$20 + 20(1 + x) + 20(1 + x)^2 = 28.8$
C
)A.$20(1 + 2x) = 28.8$
B.$28.8(1 + x)^2 = 20$
C.$20(1 + x)^2 = 28.8$
D.$20 + 20(1 + x) + 20(1 + x)^2 = 28.8$
答案
6. C
解析
【分析】
本题考查平均增长率问题的方程列写，解题思路如下：首先确定基期（2022年）的观赏人数为20万人次，年均增长率为x；平均增长率问题中，每一年的数量都是前一年的(1+x)倍，2022年到2024年间隔2年，因此2024年的人数是基期人数乘以(1+x)的平方，再对应2024年的28.8万人次即可列出方程。同时可快速排除错误选项：A选项错误将两年增长率直接相加计算，B选项颠倒了基期和末期的数值，D选项是三年人数的总和，不符合题意要求。
【解析】
已知2022年观赏人数为20万人次，年均增长率为x：
1. 2023年的观赏人数为：$20(1+x)$ 万人次
2. 2024年的观赏人数是在2023年人数的基础上再增长x，因此为：$20(1+x) × (1+x) = 20(1+x)^2$ 万人次
又已知2024年观赏人数为28.8万人次，因此可列方程：
$20(1+x)^2 = 28.8$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是平均增长率类的基础常考题，解题核心是准确掌握平均增长率下各期数量的计算逻辑，找准对应时间的基期、末期数值，避免混淆增长次数和数值对应关系。
【难度系数】
0.8
本题考查平均增长率问题的方程列写，解题思路如下：首先确定基期（2022年）的观赏人数为20万人次，年均增长率为x；平均增长率问题中，每一年的数量都是前一年的(1+x)倍，2022年到2024年间隔2年，因此2024年的人数是基期人数乘以(1+x)的平方，再对应2024年的28.8万人次即可列出方程。同时可快速排除错误选项：A选项错误将两年增长率直接相加计算，B选项颠倒了基期和末期的数值，D选项是三年人数的总和，不符合题意要求。
【解析】
已知2022年观赏人数为20万人次，年均增长率为x：
1. 2023年的观赏人数为：$20(1+x)$ 万人次
2. 2024年的观赏人数是在2023年人数的基础上再增长x，因此为：$20(1+x) × (1+x) = 20(1+x)^2$ 万人次
又已知2024年观赏人数为28.8万人次，因此可列方程：
$20(1+x)^2 = 28.8$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是平均增长率类的基础常考题，解题核心是准确掌握平均增长率下各期数量的计算逻辑，找准对应时间的基期、末期数值，避免混淆增长次数和数值对应关系。
【难度系数】
0.8
7. 如图, 在平面直角坐标系中, 点 A、B 在函数 $y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$ 的图象上, 分别以 A、B 为圆心, 1 为半径作圆, 当 $\odot A$ 与 x 轴相切、$\odot B$ 与 y 轴相切时, 连接 $AB,AB=4\sqrt{2}$, 则 k 的值为(
A.3
B.4
C.5
D.8
C
)A.3
B.4
C.5
D.8
答案
7. C
解析
【分析】
解题时先利用圆和坐标轴相切的性质：圆心到切线的距离等于半径，得到A、B两点的横、纵坐标特征；再结合A、B在反比例函数图象上的条件，用含k的式子表示出两点坐标；最后代入两点间距离公式列方程求解，结合k＞0的隐含条件舍去不符合的解即可。
【解析】
1. 求点A的坐标：
已知⊙A与x轴相切，半径为1，且点A在第一象限，因此点A的纵坐标等于半径1。
把$y=1$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$x=k$，即$A(k,1)$。
2. 求点B的坐标：
已知⊙B与y轴相切，半径为1，且点B在第一象限，因此点B的横坐标等于半径1。
把$x=1$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$y=k$，即$B(1,k)$。
3. 列方程求k：
已知$AB=4\sqrt{2}$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，代入两点坐标得：
$\sqrt{(k-1)^2+(1-k)^2}=4\sqrt{2}$
化简根号内的式子：$(k-1)^2+(k-1)^2=2(k-1)^2$，因此方程变为：
$\sqrt{2(k-1)^2}=4\sqrt{2}$
两边同时平方得：$2(k-1)^2=32$，整理得$(k-1)^2=16$，解得$k-1=\pm4$。
结合$k＞0$且图象中$k＞1$的条件，得$k-1=4$，即$k=5$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，切线的性质，两点间距离公式
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的典型题，将圆的切线性质和反比例函数坐标特征结合，核心是通过坐标转化把几何线段长度问题变为代数解方程问题，解题思路清晰，综合性适中。
【难度系数】
0.7
解题时先利用圆和坐标轴相切的性质：圆心到切线的距离等于半径，得到A、B两点的横、纵坐标特征；再结合A、B在反比例函数图象上的条件，用含k的式子表示出两点坐标；最后代入两点间距离公式列方程求解，结合k＞0的隐含条件舍去不符合的解即可。
【解析】
1. 求点A的坐标：
已知⊙A与x轴相切，半径为1，且点A在第一象限，因此点A的纵坐标等于半径1。
把$y=1$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$x=k$，即$A(k,1)$。
2. 求点B的坐标：
已知⊙B与y轴相切，半径为1，且点B在第一象限，因此点B的横坐标等于半径1。
把$x=1$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$y=k$，即$B(1,k)$。
3. 列方程求k：
已知$AB=4\sqrt{2}$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，代入两点坐标得：
$\sqrt{(k-1)^2+(1-k)^2}=4\sqrt{2}$
化简根号内的式子：$(k-1)^2+(k-1)^2=2(k-1)^2$，因此方程变为：
$\sqrt{2(k-1)^2}=4\sqrt{2}$
两边同时平方得：$2(k-1)^2=32$，整理得$(k-1)^2=16$，解得$k-1=\pm4$。
结合$k＞0$且图象中$k＞1$的条件，得$k-1=4$，即$k=5$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，切线的性质，两点间距离公式
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的典型题，将圆的切线性质和反比例函数坐标特征结合，核心是通过坐标转化把几何线段长度问题变为代数解方程问题，解题思路清晰，综合性适中。
【难度系数】
0.7
