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8. 如图,在$\odot O$中半径OA,OB互相垂直,点C在劣弧AB上.若$∠ ABC = 18°$,则$∠ BAC$等于(
A.$24°$
B.$25°$
C.$26°$
D.$27°$
D
)A.$24°$
B.$25°$
C.$26°$
D.$27°$
答案
8. D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据OA与OB互相垂直，得出圆心角∠AOB的度数，对应得到劣弧AB的度数；第二步，依据圆周角定理，由已知的∠ABC的度数求出它所对的弧AC的度数；第三步，计算出劣弧BC的度数，再用一次圆周角定理，求出弧BC对应的圆周角∠BAC的度数即可。
【解析】
解：
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，即劣弧AB的度数为90°。
∵∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠ABC=18°，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，
∴弧AC的度数=2×∠ABC=2×18°=36°。
∴劣弧BC的度数=劣弧AB的度数-弧AC的度数=90°-36°=54°。
又
∵∠BAC是劣弧BC所对的圆周角，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$×54°=27°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；垂直的性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于圆中角度计算的常规题型，核心是找准圆周角对应的弧，熟练运用圆周角定理完成圆心角和圆周角的角度转换，只要理清弧、圆心角、圆周角三者的对应关系就可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先根据OA与OB互相垂直，得出圆心角∠AOB的度数，对应得到劣弧AB的度数；第二步，依据圆周角定理，由已知的∠ABC的度数求出它所对的弧AC的度数；第三步，计算出劣弧BC的度数，再用一次圆周角定理，求出弧BC对应的圆周角∠BAC的度数即可。
【解析】
解：
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，即劣弧AB的度数为90°。
∵∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠ABC=18°，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，
∴弧AC的度数=2×∠ABC=2×18°=36°。
∴劣弧BC的度数=劣弧AB的度数-弧AC的度数=90°-36°=54°。
又
∵∠BAC是劣弧BC所对的圆周角，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$×54°=27°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；垂直的性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于圆中角度计算的常规题型，核心是找准圆周角对应的弧，熟练运用圆周角定理完成圆心角和圆周角的角度转换，只要理清弧、圆心角、圆周角三者的对应关系就可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9. 在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点旋转$180°$得到抛物线$y = x^2 + 5x + 6$,则原抛物线的解析式是(
A.$y = -(x - \dfrac{5}{2})^2 - \dfrac{11}{4}$
B.$y = -(x + \dfrac{5}{2})^2 - \dfrac{11}{4}$
C.$y = -(x - \dfrac{5}{2})^2 - \dfrac{1}{4}$
D.$y = -(x + \dfrac{5}{2})^2 + \dfrac{1}{4}$
A
)A.$y = -(x - \dfrac{5}{2})^2 - \dfrac{11}{4}$
B.$y = -(x + \dfrac{5}{2})^2 - \dfrac{11}{4}$
C.$y = -(x - \dfrac{5}{2})^2 - \dfrac{1}{4}$
D.$y = -(x + \dfrac{5}{2})^2 + \dfrac{1}{4}$
答案
9. A
解析
【分析】
本题可采用逆推法求解：已知最终变换后得到的抛物线解析式，需反向还原变换过程：①先将最终抛物线绕原点旋转180°，得到“向上平移3个单位后”的抛物线；②再将所得抛物线向下平移3个单位，即可得到原抛物线。解题需明确两个变换规则：绕原点旋转180°时，解析式中x替换为-x、y替换为-y；平移遵循“上加下减常数项”的规则。
【解析】
第一步：将已知抛物线配方为顶点式
$y = x^2 + 5x + 6 = (x+\frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 6 = (x+\frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}$
第二步：逆推第一步，将上述抛物线绕原点旋转180°
绕原点旋转180°时，将解析式中$x$换为$-x$，$y$换为$-y$，代入得：
$-y = (-x+\frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}$
整理得：$y = -(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{1}{4}$，此为原抛物线向上平移3个单位后的解析式。
第三步：逆推第二步，将所得抛物线向下平移3个单位
向下平移3个单位，即解析式整体减3：
$y = -(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{1}{4} - 3 = -(x-\frac{5}{2})^2 - \frac{11}{4}$
【答案】
A
【知识点】
二次函数图像平移；二次函数图像旋转；二次函数配方
【点评】
本题考查二次函数图像的变换问题，逆推法能有效降低解题难度，核心是准确掌握平移和中心对称（旋转180°）的变换规则，注意变换顺序不要颠倒。
【难度系数】
0.6
本题可采用逆推法求解：已知最终变换后得到的抛物线解析式，需反向还原变换过程：①先将最终抛物线绕原点旋转180°，得到“向上平移3个单位后”的抛物线；②再将所得抛物线向下平移3个单位，即可得到原抛物线。解题需明确两个变换规则：绕原点旋转180°时，解析式中x替换为-x、y替换为-y；平移遵循“上加下减常数项”的规则。
【解析】
第一步：将已知抛物线配方为顶点式
$y = x^2 + 5x + 6 = (x+\frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 6 = (x+\frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}$
第二步：逆推第一步，将上述抛物线绕原点旋转180°
绕原点旋转180°时，将解析式中$x$换为$-x$，$y$换为$-y$，代入得：
$-y = (-x+\frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}$
整理得：$y = -(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{1}{4}$，此为原抛物线向上平移3个单位后的解析式。
第三步：逆推第二步，将所得抛物线向下平移3个单位
向下平移3个单位，即解析式整体减3：
$y = -(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{1}{4} - 3 = -(x-\frac{5}{2})^2 - \frac{11}{4}$
【答案】
A
【知识点】
二次函数图像平移；二次函数图像旋转；二次函数配方
【点评】
本题考查二次函数图像的变换问题，逆推法能有效降低解题难度，核心是准确掌握平移和中心对称（旋转180°）的变换规则，注意变换顺序不要颠倒。
【难度系数】
0.6
10.如图,线段AB的长为1,点P为线段AB上的一个动点(P不与A,B重合),以AP,BP为边在线段AB的同侧作正三角形AEP与正三角形BFP.过E作EM⊥AP于点M,过F作FN⊥BP于点N,连接EF.设AP的长度为x,四边形EMNF的面积为y,则能表示y与x之间函数关系的大致图象是(
D
)答案
10. D
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据已知AP=x，AB=1，得到BP=1-x；2. 利用等边三角形三线合一的性质，分别得到M是AP中点、N是BP中点，求出EM、FN的长度以及MN的长度；3. 判定四边形EMNF是直角梯形，代入梯形面积公式化简表达式，判断y与x的关系，即可匹配对应图像。
【解析】
解：已知AP=x，AB=1，且P不与A、B重合，则0＜x＜1，BP=1-x。
∵△AEP是等边三角形，EM⊥AP，
∴EM为等边△AEP的高，M是AP的中点，
∴EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$，MP=$\frac{x}{2}$。
同理，△BFP是等边三角形，FN⊥BP，
∴FN为等边△BFP的高，N是BP的中点，
∴FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BP=$\frac{\sqrt{3}}{2}(1-x)$，PN=$\frac{1-x}{2}$。
∴MN=MP+PN=$\frac{x}{2}+\frac{1-x}{2}=\frac{1}{2}$。
∵EM⊥AB，FN⊥AB，
∴EM//FN，四边形EMNF为直角梯形，
根据梯形面积公式得：
$y=\frac{(EM+FN)× MN}{2}$
代入EM、FN、MN的表达式：
$y=\frac{(\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}(1-x))× \frac{1}{2}}{2}$
化简后括号内$x$项抵消，得：
$y=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}× \frac{1}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$，为固定值，
即y不随x的变化而变化，对应图像为平行于x轴的空心线段，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，梯形面积计算，函数图像判断
【点评】
本题是动点结合函数图像的典型题型，解题核心是不要被表面的动点变化误导，通过代数运算化简面积表达式，发现面积为定值即可快速得到答案，易错点是未化简表达式直接误判为二次函数图像。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先根据已知AP=x，AB=1，得到BP=1-x；2. 利用等边三角形三线合一的性质，分别得到M是AP中点、N是BP中点，求出EM、FN的长度以及MN的长度；3. 判定四边形EMNF是直角梯形，代入梯形面积公式化简表达式，判断y与x的关系，即可匹配对应图像。
【解析】
解：已知AP=x，AB=1，且P不与A、B重合，则0＜x＜1，BP=1-x。
∵△AEP是等边三角形，EM⊥AP，
∴EM为等边△AEP的高，M是AP的中点，
∴EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$，MP=$\frac{x}{2}$。
同理，△BFP是等边三角形，FN⊥BP，
∴FN为等边△BFP的高，N是BP的中点，
∴FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BP=$\frac{\sqrt{3}}{2}(1-x)$，PN=$\frac{1-x}{2}$。
∴MN=MP+PN=$\frac{x}{2}+\frac{1-x}{2}=\frac{1}{2}$。
∵EM⊥AB，FN⊥AB，
∴EM//FN，四边形EMNF为直角梯形，
根据梯形面积公式得：
$y=\frac{(EM+FN)× MN}{2}$
代入EM、FN、MN的表达式：
$y=\frac{(\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}(1-x))× \frac{1}{2}}{2}$
化简后括号内$x$项抵消，得：
$y=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}× \frac{1}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$，为固定值，
即y不随x的变化而变化，对应图像为平行于x轴的空心线段，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，梯形面积计算，函数图像判断
【点评】
本题是动点结合函数图像的典型题型，解题核心是不要被表面的动点变化误导，通过代数运算化简面积表达式，发现面积为定值即可快速得到答案，易错点是未化简表达式直接误判为二次函数图像。
【难度系数】
0.6
11.若关于x的一元二次方程$x^2 + 3x - k = 0$有两个不相等的实数根,则k的取值范围是
$k ＞ -\dfrac{9}{4}$
.答案
11. $k ＞ -\dfrac{9}{4}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的个数与判别式的关系：对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；接着确定题干中方程对应的$a、b、c$的值，代入判别式列出关于$k$的不等式，最后解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 + 3x - k = 0$有两个不相等的实数根，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-k$。
根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个不相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，代入系数得：
$3^2 - 4×1×(-k) ＞ 0$
计算化简：
$9 + 4k ＞ 0$
移项得：
$4k ＞ -9$
两边同时除以4，解得：
$k ＞ -\dfrac{9}{4}$
【答案】
$k ＞ -\dfrac{9}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心是掌握一元二次方程根的个数与判别式符号的对应关系，解题时需注意准确识别常数项的符号，避免代入计算时出错。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的个数与判别式的关系：对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；接着确定题干中方程对应的$a、b、c$的值，代入判别式列出关于$k$的不等式，最后解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 + 3x - k = 0$有两个不相等的实数根，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-k$。
根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个不相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，代入系数得：
$3^2 - 4×1×(-k) ＞ 0$
计算化简：
$9 + 4k ＞ 0$
移项得：
$4k ＞ -9$
两边同时除以4，解得：
$k ＞ -\dfrac{9}{4}$
【答案】
$k ＞ -\dfrac{9}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心是掌握一元二次方程根的个数与判别式符号的对应关系，解题时需注意准确识别常数项的符号，避免代入计算时出错。
【难度系数】
0.8
12. 如图，$∠ APB = 30°$，圆心O在直线PB上，$\odot O$的半径为1 cm，$OP = 3$ cm. 若$\odot O$沿BP方向移动，当$\odot O$与直线PA相切时，圆心O移动的距离为
1或5
cm. 答案
12. 1或5
解析
【分析】
解题时首先回忆直线与圆相切的核心性质：圆心到切线的距离等于圆的半径。结合已知的30°角，可利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出相切时圆心到点P的距离。由于圆沿BP方向移动时存在两种相切情况：圆心在点P右侧、圆心在点P左侧，分别计算两种情况的移动距离即可，避免漏解。
【解析】
设⊙O移动到与直线PA相切时，圆心为O'，过O'作O'C⊥PA于点C。
∵⊙O'与PA相切，⊙O半径为1cm，
∴O'C = 1cm。
在Rt△PO'C中，∠APB=30°，∠PCO'=90°，
∴PO' = 2O'C = 2×1 = 2cm。
分两种情况讨论：
1. 当O'在点P右侧时：
已知原OP=3cm，此时圆心移动的距离为 $OO' = OP - PO' = 3 - 2 = 1\mathrm{cm}$；
2. 当O'在点P左侧时：
圆沿BP方向移动越过P点，此时圆心移动的距离为 $OO' = OP + PO' = 3 + 2 = 5\mathrm{cm}$。
【答案】
1或5
【知识点】
直线与圆相切的性质；含30°角的直角三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查直线与圆的位置关系，解题时要注意移动类问题往往存在多种符合条件的情况，需结合图形分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆直线与圆相切的核心性质：圆心到切线的距离等于圆的半径。结合已知的30°角，可利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出相切时圆心到点P的距离。由于圆沿BP方向移动时存在两种相切情况：圆心在点P右侧、圆心在点P左侧，分别计算两种情况的移动距离即可，避免漏解。
【解析】
设⊙O移动到与直线PA相切时，圆心为O'，过O'作O'C⊥PA于点C。
∵⊙O'与PA相切，⊙O半径为1cm，
∴O'C = 1cm。
在Rt△PO'C中，∠APB=30°，∠PCO'=90°，
∴PO' = 2O'C = 2×1 = 2cm。
分两种情况讨论：
1. 当O'在点P右侧时：
已知原OP=3cm，此时圆心移动的距离为 $OO' = OP - PO' = 3 - 2 = 1\mathrm{cm}$；
2. 当O'在点P左侧时：
圆沿BP方向移动越过P点，此时圆心移动的距离为 $OO' = OP + PO' = 3 + 2 = 5\mathrm{cm}$。
【答案】
1或5
【知识点】
直线与圆相切的性质；含30°角的直角三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查直线与圆的位置关系，解题时要注意移动类问题往往存在多种符合条件的情况，需结合图形分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
13. 如图，点A,C在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$的图象上，点B,D在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，AB // CD // y轴，若AB=2，CD=3，AB与CD的距离为5，则$k_1 - k_2$的值为
6
。答案
13. 6
解析
【分析】
我们可以利用平行于y轴的直线上点横坐标相同的特点，设出A、D两点的横坐标，分别表示出A、B、C、D四点的纵坐标，再根据AB、CD的长度以及AB和CD的水平距离建立等式，把$k_1-k_2$看作整体求解即可。具体步骤：先设点A横坐标为$a(a＞0)$，点D横坐标为$-b(b＞0)$，分别用$k_1$、$k_2$、$a$、$b$表示AB和CD的长度，得到$a$、$b$与$k_1-k_2$的关系，再结合$a+b=5$代入计算。
【解析】
设点A的横坐标为$a(a＞0)$，点D的横坐标为$-b(b＞0)$。
$\because AB// y$轴，点A在$y=\frac{k_1}{x}$上，点B在$y=\frac{k_2}{x}$上，
$\therefore A(a,\frac{k_1}{a})$，$B(a,\frac{k_2}{a})$，
$\because AB=2$，且A在B上方，
$\therefore \frac{k_1}{a}-\frac{k_2}{a}=2$，即$\frac{k_1-k_2}{a}=2$ ①，
同理，$CD// y$轴，点D在$y=\frac{k_2}{x}$上，点C在$y=\frac{k_1}{x}$上，
$\therefore D(-b,\frac{k_2}{-b})$，$C(-b,\frac{k_1}{-b})$，
$\because CD=3$，且D在C上方，
$\therefore -\frac{k_2}{b}-(-\frac{k_1}{b})=3$，即$\frac{k_1-k_2}{b}=3$ ②，
又$\because$AB与CD的距离为5，
$\therefore a+b=5$ ③，
由①得$a=\frac{k_1-k_2}{2}$，由②得$b=\frac{k_1-k_2}{3}$，代入③得：
$\frac{k_1-k_2}{2}+\frac{k_1-k_2}{3}=5$，
通分计算得$\frac{3(k_1-k_2)+2(k_1-k_2)}{6}=5$，
$5(k_1-k_2)=30$，
解得$k_1-k_2=6$。
【答案】
$\boxed{6}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，坐标与图形性质
【点评】
本题解题关键是合理设出点的横坐标，利用反比例函数上点的坐标特征结合线段长度建立关系，将$k_1-k_2$看作整体求解，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.6
我们可以利用平行于y轴的直线上点横坐标相同的特点，设出A、D两点的横坐标，分别表示出A、B、C、D四点的纵坐标，再根据AB、CD的长度以及AB和CD的水平距离建立等式，把$k_1-k_2$看作整体求解即可。具体步骤：先设点A横坐标为$a(a＞0)$，点D横坐标为$-b(b＞0)$，分别用$k_1$、$k_2$、$a$、$b$表示AB和CD的长度，得到$a$、$b$与$k_1-k_2$的关系，再结合$a+b=5$代入计算。
【解析】
设点A的横坐标为$a(a＞0)$，点D的横坐标为$-b(b＞0)$。
$\because AB// y$轴，点A在$y=\frac{k_1}{x}$上，点B在$y=\frac{k_2}{x}$上，
$\therefore A(a,\frac{k_1}{a})$，$B(a,\frac{k_2}{a})$，
$\because AB=2$，且A在B上方，
$\therefore \frac{k_1}{a}-\frac{k_2}{a}=2$，即$\frac{k_1-k_2}{a}=2$ ①，
同理，$CD// y$轴，点D在$y=\frac{k_2}{x}$上，点C在$y=\frac{k_1}{x}$上，
$\therefore D(-b,\frac{k_2}{-b})$，$C(-b,\frac{k_1}{-b})$，
$\because CD=3$，且D在C上方，
$\therefore -\frac{k_2}{b}-(-\frac{k_1}{b})=3$，即$\frac{k_1-k_2}{b}=3$ ②，
又$\because$AB与CD的距离为5，
$\therefore a+b=5$ ③，
由①得$a=\frac{k_1-k_2}{2}$，由②得$b=\frac{k_1-k_2}{3}$，代入③得：
$\frac{k_1-k_2}{2}+\frac{k_1-k_2}{3}=5$，
通分计算得$\frac{3(k_1-k_2)+2(k_1-k_2)}{6}=5$，
$5(k_1-k_2)=30$，
解得$k_1-k_2=6$。
【答案】
$\boxed{6}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，坐标与图形性质
【点评】
本题解题关键是合理设出点的横坐标，利用反比例函数上点的坐标特征结合线段长度建立关系，将$k_1-k_2$看作整体求解，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.6
14.若函数$y=(a-1)x^2 -4x +2a$的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为
-1或2或1
答案
14. -1或2或1
解析
【分析】
题目未明确该函数是二次函数，因此需分类讨论：①当函数为一次函数时，二次项系数为0，此时一次函数与x轴仅有1个交点，符合要求；②当函数为二次函数时，二次项系数不为0，图象与x轴仅有1个交点等价于对应一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，代入参数计算即可，解题时注意不要遗漏一次函数的情况。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当函数为一次函数时，二次项系数为0，即$a-1=0$，解得$a=1$。
此时函数为$y=-4x+2$，属于一次函数，与x轴有且只有一个交点，符合题意。
2. 当函数为二次函数时，需满足$a-1≠0$，即$a≠1$。
二次函数图象与x轴仅有1个交点，说明对应一元二次方程$(a-1)x^2 -4x +2a=0$有两个相等实根，因此判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。
代入$a_{\mathrm{二次项}}=a-1$、$b=-4$、$c=2a$得：
$\Delta=(-4)^2 -4×(a-1)×2a=16-8a(a-1)=0$
整理得$a^2 -a -2=0$，因式分解为$(a-2)(a+1)=0$，解得$a=2$或$a=-1$，均满足$a≠1$的条件。
综上，a的值为-1或2或1。
【答案】
-1或2或1
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数与x轴交点；根的判别式应用
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，解题关键是注意未明确函数类型时，要分一次函数和二次函数两种情况分析，避免遗漏一次函数的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
题目未明确该函数是二次函数，因此需分类讨论：①当函数为一次函数时，二次项系数为0，此时一次函数与x轴仅有1个交点，符合要求；②当函数为二次函数时，二次项系数不为0，图象与x轴仅有1个交点等价于对应一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，代入参数计算即可，解题时注意不要遗漏一次函数的情况。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当函数为一次函数时，二次项系数为0，即$a-1=0$，解得$a=1$。
此时函数为$y=-4x+2$，属于一次函数，与x轴有且只有一个交点，符合题意。
2. 当函数为二次函数时，需满足$a-1≠0$，即$a≠1$。
二次函数图象与x轴仅有1个交点，说明对应一元二次方程$(a-1)x^2 -4x +2a=0$有两个相等实根，因此判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。
代入$a_{\mathrm{二次项}}=a-1$、$b=-4$、$c=2a$得：
$\Delta=(-4)^2 -4×(a-1)×2a=16-8a(a-1)=0$
整理得$a^2 -a -2=0$，因式分解为$(a-2)(a+1)=0$，解得$a=2$或$a=-1$，均满足$a≠1$的条件。
综上，a的值为-1或2或1。
【答案】
-1或2或1
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数与x轴交点；根的判别式应用
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，解题关键是注意未明确函数类型时，要分一次函数和二次函数两种情况分析，避免遗漏一次函数的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
15. 如图,半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b,然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动,使半圆的直径与直线b重合为止,则圆心O运动路径的长度等于
5π
。答案
15. 5π
解析
【分析】
解决这道题我们可以按以下思路思考：
1. 先明确所求：需要求圆心O运动的路径长度，首先得分析圆心的运动规律和滚动的特点；
2. 回忆无滑动滚动的性质：滚动过程中半圆和直线b之间没有相对滑动，所以半圆滚动过的距离等于半圆上接触过直线b的部分的弧长；
3. 对比初始和最终状态：初始时半圆直径平行于b、弧向下接触b，最终直径与b重合、弧向上，整个过程中半圆接触直线b的弧长恰好等于半圆自身的弧长，且圆心到直线b的距离始终等于半径，圆心运动的路径长度就等于这段弧长，代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：已知半圆的半径$ r=5 $。
半圆沿直线b做无滑动滚动时，圆心运动的路径长度等于滚动过程中半圆接触直线b的弧长。
从初始状态到直径与直线b重合，半圆接触直线b的弧长为半圆的总弧长，根据半圆弧长公式：
$ L=π r $
代入$ r=5 $得：
$ L=π×5=5π $
【答案】
$ 5π $
【知识点】
弧长计算；图形滚动的性质；圆的基本性质
【点评】
本题重点考查无滑动滚动的特点和弧长的计算，解题的核心是准确分析出圆心运动的路径长度和半圆弧长的关系，需要学生具备一定的空间想象能力，理清滚动的全过程即可得出正确结果。
【难度系数】
0.6
解决这道题我们可以按以下思路思考：
1. 先明确所求：需要求圆心O运动的路径长度，首先得分析圆心的运动规律和滚动的特点；
2. 回忆无滑动滚动的性质：滚动过程中半圆和直线b之间没有相对滑动，所以半圆滚动过的距离等于半圆上接触过直线b的部分的弧长；
3. 对比初始和最终状态：初始时半圆直径平行于b、弧向下接触b，最终直径与b重合、弧向上，整个过程中半圆接触直线b的弧长恰好等于半圆自身的弧长，且圆心到直线b的距离始终等于半径，圆心运动的路径长度就等于这段弧长，代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：已知半圆的半径$ r=5 $。
半圆沿直线b做无滑动滚动时，圆心运动的路径长度等于滚动过程中半圆接触直线b的弧长。
从初始状态到直径与直线b重合，半圆接触直线b的弧长为半圆的总弧长，根据半圆弧长公式：
$ L=π r $
代入$ r=5 $得：
$ L=π×5=5π $
【答案】
$ 5π $
【知识点】
弧长计算；图形滚动的性质；圆的基本性质
【点评】
本题重点考查无滑动滚动的特点和弧长的计算，解题的核心是准确分析出圆心运动的路径长度和半圆弧长的关系，需要学生具备一定的空间想象能力，理清滚动的全过程即可得出正确结果。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共55分)
16. (6分) 用配方法解下列方程：
$x^2 - 5x + 1 = 0$
16. (6分) 用配方法解下列方程：
$x^2 - 5x + 1 = 0$
答案
16. $x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2},x_2 = \dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}$
解析
【分析】
要使用配方法解一元二次方程，遵循以下思路：首先将方程中的常数项移到等号右侧，使左侧只含二次项和一次项；由于本题二次项系数已经是1，直接在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；最后利用直接开平方法求解方程即可。
【解析】
解：移项，得 $x^2 - 5x = -1$
配方，两边同时加上$(\dfrac{5}{2})^2$，得：
$x^2 - 5x + \dfrac{25}{4} = -1 + \dfrac{25}{4}$
即 $(x - \dfrac{5}{2})^2 = \dfrac{21}{4}$
开平方，得：
$x - \dfrac{5}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{21}}{2}$
解得：
$x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}, x_2 = \dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}$
【答案】
$x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2},x_2 = \dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础应用，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时需在等号两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏加右侧的错误。
【难度系数】
0.8
要使用配方法解一元二次方程，遵循以下思路：首先将方程中的常数项移到等号右侧，使左侧只含二次项和一次项；由于本题二次项系数已经是1，直接在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；最后利用直接开平方法求解方程即可。
【解析】
解：移项，得 $x^2 - 5x = -1$
配方，两边同时加上$(\dfrac{5}{2})^2$，得：
$x^2 - 5x + \dfrac{25}{4} = -1 + \dfrac{25}{4}$
即 $(x - \dfrac{5}{2})^2 = \dfrac{21}{4}$
开平方，得：
$x - \dfrac{5}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{21}}{2}$
解得：
$x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}, x_2 = \dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}$
【答案】
$x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2},x_2 = \dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础应用，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时需在等号两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏加右侧的错误。
【难度系数】
0.8
